מה זה דמיון · דמיון משולשים · כיתה י׳

צילמתם בטלפון משולש שמצויר על הלוח, והגדלתם את התמונה. המשולש שעל המסך גדול יותר, אבל הוא אותו משולש: כל זווית נשארה בדיוק כפי שהייתה, וכל צלע גדלה באותו יחס. זה בדיוק מה שנקרא דמיון. הסתכלו על שני המשולשים לפני שקוראים את ההגדרה.

המשולש

DEF

הוא הגדלה של

ABC

D

מול

A

E

מול

B

F

מול

C

. הזוויות שוות, וכל צלע ב-

DEF

ארוכה פי 2 מהצלע המתאימה לה ב-

ABC

במשולש $ABC$ הצלעות הן $3$ , $4$ ו- $5$ , ובמשולש $DEF$ הן $6$ , $8$ ו- $10$ . פי כמה גדולה כל צלע ב- $DEF$ מהצלע המתאימה לה?

להציג את התשובה והפתרון

פי 2. $\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2$ . שלושת היחסים שווים, וזה לא מקרה: זו התכונה שמגדירה דמיון.

ההגדרה

שני משולשים הם דומים אם הזוויות המתאימות בהם שוות, והצלעות המתאימות פרופורציוניות, כלומר היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא אותו מספר. המספר הזה נקרא יחס הדמיון, ומסמנים אותו ב- $k$ .

\begin{aligned}\triangle ABC \sim \triangle DEF \quad \Longrightarrow \quad \frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC} \\ &= k\end{aligned}

חפיפה היא דמיון עם $k=1$ : אותה צורה ואותו גודל. דמיון הוא הכללה: אותה צורה, בכל גודל.

סדר האותיות הוא הצהרה

כשכותבים $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , סדר האותיות מצהיר מי מתאים למי: $A$ מול $D$ , $B$ מול $E$ , $C$ מול $F$ . מכאן יודעים מיד גם אילו צלעות מתאימות: $AB$ מול $DE$ , $BC$ מול $EF$ , $AC$ מול $DF$ . הכלל שעוזר לבדוק: צלע מתאימה נמצאת מול זווית שווה — $BC$ מול $\angle A$ , ו- $EF$ מול $\angle D$ .

A \leftrightarrow D

הזווית הראשונה מול הראשונה

BC \leftrightarrow EF

הצלע שמול $A$ מול הצלע שמול $D$

k = \frac{DE}{AB}

יחס הדמיון: צלע מהשני חלקי הצלע המתאימה מהראשון

נתון $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ . איזו צלע מתאימה ל- $BC$ ? ואיזו זווית שווה ל- $\angle C$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$BC$ מתאימה ל- $LM$ : האות השנייה והשלישית בכל משולש. $\angle C$ שווה ל- $\angle M$ : האות השלישית. אם היו כותבים $\triangle ABC \sim \triangle MLK$ , התשובות היו משתנות — ולכן הסדר חשוב.

קנה מידה הוא יחס דמיון

מפה היא הקטנה בדמיון: כל מרחק במציאות מוקטן באותו יחס, והזוויות בין הרחובות נשמרות. קנה המידה של המפה הוא בדיוק יחס הדמיון בין המפה למציאות.

מוצאים צלע חסרה

יחס הדמיון קודם, ואז הצלעות

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB=4$ , $BC=6$ , $AC=8$ ו- $DE=6$ . מצאו את $k$ , את $EF$ ואת $DF$ .

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון מזוג צלעות מתאימות שנתונות שתיהן

\begin{aligned}EF &= 1.5 \cdot BC \\ &= 1.5 \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

$EF$ מתאימה ל- $BC$

\begin{aligned}DF &= 1.5 \cdot AC \\ &= 1.5 \cdot 8 \\ &= 12\end{aligned}

$DF$ מתאימה ל- $AC$

\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{9}{6} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= 1.5\end{aligned}

בדיקה: שלושת היחסים שווים ✓

במשולש $ABC$ הצלעות $4$ , $6$ , $7$ . משולש דומה לו, והצלע הקצרה ביותר בו היא $10$ . מהי הצלע הארוכה ביותר במשולש הדומה?

להציג את התשובה והפתרון

הצלע הקצרה מתאימה לקצרה, ולכן $k=\frac{10}{4}=2.5$ . הארוכה ביותר: $7 \cdot 2.5 =$ 17.5. במשולשים דומים, הסדר לפי גודל נשמר: קצרה מול קצרה, ארוכה מול ארוכה.

שלוש הטעויות של ההגדרה.

\triangle ABC \sim \triangle DEF \ \Rightarrow \ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{DF}

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

$BC$ מתאימה ל- $EF$ (אותיות שנייה ושלישית), לא ל- $DF$ . קוראים את הזוגות מהכתיב, לא מהשרטוט.

\begin{aligned}k &= \frac{4}{6} \ \text{וגם} \ k \\ &= \frac{9}{6}\end{aligned}

\begin{aligned}k &= \frac{6}{4} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

כל היחסים באותו כיוון: תמיד השני חלקי הראשון, או תמיד להפך. ערבוב כיוונים נותן שני מספרים שונים ל- $k$ .

\text{דומים} \ \Rightarrow \ AB = DE

\text{דומים} \ \Rightarrow \ DE = k \cdot AB

צלעות מתאימות שוות רק בחפיפה. בדמיון הן פרופורציוניות.

תרגילים

תרגיל 1

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ . איזו צלע מתאימה לצלע $AC$ ?

$FE$ ו- $DE$ יחד
$DE$
$EF$
$DF$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $DF$

הפתרון:

A \leftrightarrow D ,\quad C \leftrightarrow F

האות הראשונה מול הראשונה, השלישית מול השלישית

AC \leftrightarrow DF

צלע מתאימה

הנכונה: $DF$ . $DE$ מתאימה ל- $AB$ ו- $EF$ ל- $BC$ . הצלע המתאימה נקראת מהכתיב, לא מגודל הצלעות בשרטוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB=5$ ו- $DE=15$ . מהו יחס הדמיון $\dfrac{DE}{AB}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{15}{5} \\ &= 3\end{aligned}

יחס הדמיון מזוג צלעות מתאימות

$k=3$ : כל צלע ב- $DEF$ גדולה פי $3$ מהצלע המתאימה ב- $ABC$ . מי שכתב $\frac{5}{15}$ חישב את היחס בכיוון ההפוך, $\frac{1}{3}$ , וזה גם יחס נכון — אבל של $ABC$ ביחס ל- $DEF$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ . $AB=6$ , $BC=9$ , $AC=12$ ו- $DE=4$ . השלימו.

$EF=$ ____ , $DF=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $EF=$ 6 , $DF=$ 8

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}EF &= \frac{2}{3} \cdot 9 \\ &= 6\end{aligned}

$EF$ מול $BC$

\begin{aligned}DF &= \frac{2}{3} \cdot 12 \\ &= 8\end{aligned}

$DF$ מול $AC$

כאן $k<1$ : המשולש $DEF$ קטן יותר. מי שקיבל $EF=13.5$ כפל ב- $\frac{3}{2}$ במקום ב- $\frac{2}{3}$ , וקיבל משולש גדול יותר, בניגוד לנתון $DE<AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: כל שני משולשים שווי-צלעות דומים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\angle A &= \angle B \\ &= \angle C \\ &= 60^\circ\end{aligned}

בכל משולש שווה-צלעות כל הזוויות שוות $60°$

\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC}\end{aligned}

כל הצלעות בכל משולש שוות, ולכן שלושת היחסים שווים

הטענה נכונה. שני התנאים של ההגדרה מתקיימים: הזוויות שוות והצלעות פרופורציוניות. מי שהפריך בגלל «הצלעות לא שוות» בלבל בין דמיון לחפיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ : $\angle A = 50^\circ$ , $\angle B = 70^\circ$ . במשולש $DEF$ : $\angle D = 60^\circ$ , $\angle E = 50^\circ$ . המשולשים דומים. מהו הכתיב הנכון של הדמיון?

$\triangle ABC \sim \triangle EFD$
$\triangle ABC \sim \triangle EDF$
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$
$\triangle ABC \sim \triangle FDE$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\triangle ABC \sim \triangle EFD$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

\begin{aligned}\angle F &= 180^\circ - 60^\circ - 50^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

A \leftrightarrow E ,\quad B \leftrightarrow F ,\quad C \leftrightarrow D

זווית מול זווית שווה: $50°$ מול $50°$ , $70°$ מול $70°$ , $60°$ מול $60°$

הנכונה: $\triangle ABC \sim \triangle EFD$ . הכתיב $\triangle DEF$ מציב את $A$ ( $50°$ ) מול $D$ ( $60°$ ), ולכן הוא שגוי אף שהמשולשים דומים. סדר האותיות נקבע לפי הזוויות, לא לפי האלף-בית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ביחס דמיון $\dfrac{DE}{AB} = 2.5$ , ו- $BC = 4$ . מצאו את $EF$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

EF \leftrightarrow BC

צלע מתאימה: אותיות שנייה ושלישית

\begin{aligned}EF &= 2.5 \cdot 4 \\ &= 10\end{aligned}

כופלים ביחס הדמיון

$EF=10$ . כל צלע ב- $DEF$ מתקבלת מהצלע המתאימה ב- $ABC$ בכפל ב- $2.5$ . מי שחילק ב- $2.5$ הלך בכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: אם $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , אז $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{DF}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

BC \leftrightarrow EF

לפי הכתיב, $B$ מול $E$ ו- $C$ מול $F$

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

זה השוויון הנכון; $DF$ מתאימה ל- $AC$

הטענה לא נכונה. $BC$ מתאימה ל- $EF$ , לא ל- $DF$ . דוגמה נגדית: $AB=3$ , $BC=4$ , $AC=5$ ו- $DE=6$ , $EF=8$ , $DF=10$ — אז $\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$ אבל $\frac{BC}{DF}=\frac{4}{10}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ . מיינו: מה תמיד נכון, ומה לא בהכרח?

תמיד נכון
לא בהכרח

הזוויות המתאימות שוות
היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא אותו מספר
הצלעות המתאימות פרופורציוניות
הצלעות המתאימות שוות
לשני המשולשים אותו היקף
לשני המשולשים אותו שטח

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הזוויות המתאימות שוות — תמיד נכון · הצלעות המתאימות פרופורציוניות — תמיד נכון · היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא אותו מספר — תמיד נכון · הצלעות המתאימות שוות — לא בהכרח · לשני המשולשים אותו היקף — לא בהכרח · לשני המשולשים אותו שטח — לא בהכרח

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC} \\ &= k\end{aligned}

ההגדרה: יחסים שווים, לא צלעות שוות

k = 1

רק במקרה הזה הצלעות, ההיקף והשטח שווים

דמיון שומר על הצורה: הזוויות והיחסים. הוא לא שומר על הגודל: צלעות, היקף ושטח. שלוש הטענות של הגודל נכונות רק כשהמשולשים חופפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

צלעות המשולש $ABC$ הן $4$ , $6$ ו- $7$ . משולש $DEF$ דומה לו, והצלע הקצרה ביותר בו היא $10$ . מצאו את הצלע הארוכה ביותר ב- $DEF$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17.5

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

הצלע הקצרה מתאימה לקצרה

7 \cdot 2.5 = 17.5

הצלע הארוכה מתאימה לארוכה

$17.5$ . בדמיון הסדר לפי גודל נשמר: קצרה מול קצרה, ארוכה מול ארוכה. מי שהתאים את $10$ ל- $7$ קיבל $k=\frac{10}{7}$ , ואז שום צלע לא יוצאת מספר נוח — סימן לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB=8$ ו- $DE=4$ . מה נכון?

הזוויות ב- $DEF$ קטנות פי 2 מהזוויות ב- $ABC$
כל צלע ב- $DEF$ היא חצי מהצלע המתאימה לה ב- $ABC$
כל צלע ב- $DEF$ גדולה פי 2 מהצלע המתאימה לה ב- $ABC$
רק $DE$ היא חצי מ- $AB$ ; על שאר הצלעות אי אפשר לדעת

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כל צלע ב- $DEF$ היא חצי מהצלע המתאימה לה ב- $ABC$

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}EF &= \frac{1}{2} BC \\ \quad DF &= \frac{1}{2} AC\end{aligned}

אותו יחס לכל זוג צלעות מתאימות

הנכונה: כל צלע ב- $DEF$ היא חצי. יחס אחד שנמצא מזוג אחד תקף לכל הזוגות, זו ההגדרה. והזוויות לא משתנות בדמיון, לעולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ההגדרה

סדר האותיות הוא הצהרה

קנה מידה הוא יחס דמיון

מוצאים צלע חסרה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev