משפטי הדמיון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כדי להוכיח ששני משולשים דומים לפי ההגדרה צריך שישה דברים: שלוש זוויות שוות ושלושה יחסים שווים. בפועל אף פעם לא בודקים שישה. שלושה משפטים אומרים איזה חלק קטן מהמידע מספיק, ובכל הוכחת דמיון בבגרות מופיע שם של אחד מהם.

משפט דמיון ז.ז

אם שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של משולש אחר, המשולשים דומים. זה המשפט השימושי ביותר בפרק, כי זוויות שוות מסתתרות בכל שרטוט: זווית משותפת לשני משולשים, זוויות קודקודיות, זוויות מתאימות או מתחלפות בין ישרים מקבילים, ושתי זוויות ישרות.

למה מספיקות שתי זוויות, ולא צריך את השלישית?

להציג את התשובה והפתרון

כי סכום הזוויות בכל משולש הוא 180°180°. אם שתי זוויות שוות בהתאמה, השלישית בכל משולש היא «מה שנשאר עד 180°180°», ולכן גם היא שווה. שלוש זוויות שוות, וזו הצורה של המשולש.

משפט דמיון צ.ז.צ

אם שתי צלעות של משולש אחד פרופורציוניות לשתי צלעות של משולש אחר, והזוויות הכלואות ביניהן שוות, המשולשים דומים. המילה כלואה היא לב המשפט: הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות שבדקנו.

DEAB=DFAC וגם ∠A=∠D⟹△ABC∼△DEF\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{DF}{AC} \ \text{וגם} \ \angle A \\ &= \angle D \quad \Longrightarrow \quad \triangle ABC \sim \triangle DEF\end{aligned}

משפט דמיון צ.צ.צ

אם שלוש צלעות של משולש אחד פרופורציוניות לשלוש צלעות של משולש אחר, המשולשים דומים. כאן לא צריך אף זווית, אבל צריך את שלושת היחסים, וכולם שווים.

DEAB=EFBC=DFAC⟹△ABC∼△DEF\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC} \quad \Longrightarrow \quad \triangle ABC \sim \triangle DEF\end{aligned}

ראשי התיבות זהים לאלה של החפיפה, אבל המשמעות שונה: בחפיפה צלעות שוות, בדמיון צלעות פרופורציוניות. בנימוק כותבים «משפט דמיון צ.צ.צ», והמילה «דמיון» היא חלק מהשם.

צלעות משולש אחד הן 33, 44 ו-66, וצלעות משולש שני הן 66, 88 ו-99. האם המשולשים דומים לפי צ.צ.צ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. 63=2\frac{6}{3}=2 ו-84=2\frac{8}{4}=2, אבל 96=1.5\frac{9}{6}=1.5. שני יחסים שווים לא מספיקים — צ.צ.צ דורש שלושה. אילו הצלע השלישית הייתה 1212, המשולשים היו דומים.

ההוכחה הראשונה: ישר מקביל לצלע

ABCDE
במשולש ABCABC הקטע DEDE מקביל ל-BCBC. שני המשולשים ADEADE ו-ABCABC חולקים את הזווית AA.

DE∥BCDE \parallel BC יוצר משולש דומה

במשולש ABCABC, DD על ABAB ו-EE על ACAC, ו-DE∥BCDE \parallel BC. הוכיחו △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC, ואם AD=4AD=4, DB=2DB=2 ו-DE=6DE=6, מצאו את BCBC.

∠A=∠A\angle A = \angle A

זווית משותפת לשני המשולשים

∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים (DE∥BCDE \parallel BC)

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז

BCDE=ABAD=64=1.5\begin{aligned}\frac{BC}{DE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5\end{aligned}

צלעות מתאימות: AB=4+2=6AB = 4 + 2 = 6, החלק מול השלם

BC=1.5⋅6=9\begin{aligned}BC &= 1.5 \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

התשובה

סדר הפעולות בכל שאלת דמיון: (1) מוצאים שתי זוויות שוות ומנמקים כל אחת, (2) כותבים את הדמיון בסדר האותיות הנכון, (3) רק אז כותבים את היחסים. מי שמתחיל מהיחסים בלי הדמיון לא מקבל נקודות.

צ.ז.צ בפעולה

שתי צלעות והזווית שביניהן

במשולש ABCABC: AB=4AB=4, AC=6AC=6 ו-∠A=50∘\angle A = 50^\circ. במשולש DEFDEF: DE=6DE=6, DF=9DF=9 ו-∠D=50∘\angle D = 50^\circ. האם המשולשים דומים?

DEAB=64=1.5DFAC=96=1.5\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5 \\ \qquad \frac{DF}{AC} &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

שני היחסים שווים

∠A=∠D=50∘\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ &= 50^\circ\end{aligned}

הזווית הכלואה בין ABAB ל-ACAC שווה לזווית הכלואה בין DEDE ל-DFDF

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

משפט דמיון צ.ז.צ

שלוש הטעויות בשימוש במשפטים.

DEAB=EFBC ∠A=∠D ⇒ צ.ז.צ\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ \ \angle A &= \angle D \ \Rightarrow \ \text{צ.ז.צ}\end{aligned}
DEAB=DFAC ∠A=∠D ⇒ צ.ז.צ\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{DF}{AC} \\ \ \angle A &= \angle D \ \Rightarrow \ \text{צ.ז.צ}\end{aligned}

הזווית AA כלואה בין ABAB ל-ACAC, לא בין ABAB ל-BCBC. יחסים של צלעות שהזווית אינה ביניהן אינם מוכיחים דמיון לפי צ.ז.צ.

DEAB=EFBC ⇒ צ.צ.צ\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} \ \Rightarrow \ \text{צ.צ.צ}
DEAB=EFBC=DFAC ⇒ צ.צ.צ\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC} \ \Rightarrow \ \text{צ.צ.צ}\end{aligned}

שני יחסים בלי זווית אינם משפט. צ.צ.צ דורש שלושה יחסים, וצ.ז.צ דורש שניים וזווית כלואה.

∠A=∠D ⇒ ז.ז\angle A = \angle D \ \Rightarrow \ \text{ז.ז}
∠A=∠D ∠B=∠E ⇒ ז.ז\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \ \Rightarrow \ \text{ז.ז}\end{aligned}

זווית אחת שווה לא קובעת צורה: יש אינסוף משולשים שונים עם זווית של 50°50°.

תרגילים

תרגיל 1

ABCDEF

במשולש ABCABC: ∠A=40∘\angle A = 40^\circ ו-∠B=60∘\angle B = 60^\circ. במשולש DEFDEF: ∠D=40∘\angle D = 40^\circ ו-∠F=80∘\angle F = 80^\circ. מה נכון?

  1. המשולשים דומים לפי ז.ז, ו-△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF
  2. המשולשים אינם דומים: רק זווית אחת שווה
  3. אי אפשר לדעת בלי אורכי צלעות
  4. המשולשים דומים לפי ז.ז, ו-△ABC∼△DFE\triangle ABC \sim \triangle DFE
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א המשולשים דומים לפי ז.ז, ו-△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

הפתרון:

∠E=180∘−40∘−80∘=60∘\begin{aligned}\angle E &= 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

∠A=∠D=40∘∠B=∠E=60∘\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ &= 40^\circ \\ \quad \angle B &= \angle E \\ &= 60^\circ\end{aligned}

שתי זוויות שוות בהתאמה

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

משפט דמיון ז.ז

הנכונה: דומים, △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. הזווית ∠E\angle E לא נתונה, אבל היא מחושבת מהסכום. מי שכתב △DFE\triangle DFE הציב את BB (60°60°) מול FF (80°80°).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCDEF

צלעות המשולש ABCABC הן 22, 33 ו-44, וצלעות המשולש DEFDEF הן 44, 66 ו-88. הוכיחו או הפריכו: המשולשים דומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

42=63=84=2\begin{aligned}\frac{4}{2} &= \frac{6}{3} \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

שלושת היחסים שווים, קצרה מול קצרה

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

משפט דמיון צ.צ.צ

הטענה נכונה, לפי משפט דמיון צ.צ.צ עם k=2k=2. לא צריך אף זווית: שלוש צלעות קובעות את המשולש, ולכן שלושה יחסים שווים קובעים את צורתו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCDEF

צלעות המשולש ABCABC הן 33, 44 ו-55, וצלעות המשולש DEFDEF הן 66, 88 ו-99. הוכיחו או הפריכו: המשולשים דומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

63=284=295=1.8\begin{aligned}\frac{6}{3} &= 2 \\ \quad \frac{8}{4} &= 2 \\ \quad \frac{9}{5} &= 1.8\end{aligned}

שלושה יחסים, ואחד מהם שונה

∠B=90∘ ב-ABC\angle B = 90^\circ \ \text{ב-} ABC

32+42=523^2+4^2=5^2, משפט פיתגורס ההפוך; ב-DEFDEF: 62+82=100≠816^2+8^2=100 \neq 81

הטענה לא נכונה. צ.צ.צ דורש שלושה יחסים שווים, וכאן רק שניים. גם המבט על הזוויות מסכים: ABCABC ישר-זווית ו-DEFDEF לא, ולכן הזוויות אינן שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDE

במשולש ABCABC הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC, ו-DE∥BCDE \parallel BC. הוכיחו: △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC.

  • DD על ABAB, EE על ACAC
  • DE∥BCDE \parallel BC

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠DAE=∠BAC\angle DAE = \angle BAC — זווית משותפת לשני המשולשים
  2. ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות (DE∥BCDE \parallel BC)
  3. △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠A משותפת\angle A \ \text{משותפת}

אותה זווית בשני המשולשים

∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

מתאימות, DE∥BCDE \parallel BC

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז

שני צעדים לזוויות, צעד אחד למשפט. המלכודת: לכתוב △ADE∼△ACB\triangle ADE \sim \triangle ACB — DD על ABAB מתאים ל-BB, לא ל-CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDE

במשולש ABCABC הקטע DEDE מקביל ל-BCBC (DD על ABAB, EE על ACAC). נתון AD=3AD=3, DB=3DB=3 ו-DE=5DE=5. מצאו את BCBC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: ∠A\angle A משותפת, ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC מתאימות

BCDE=ABAD=63=2\begin{aligned}\frac{BC}{DE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

צלעות מתאימות; AB=3+3=6AB = 3+3 = 6

BC=2⋅5=10\begin{aligned}BC &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

התשובה

BC=10BC=10. היחס הוא חלק מול שלם: ADAB\frac{AD}{AB}, לא ADDB\frac{AD}{DB}. כאן ADDB=1\frac{AD}{DB} = 1 אבל ADAB=12\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2} — מי שכתב DEBC=ADDB=1\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{DB} = 1 קיבל BC=5BC = 5, וזה לא ייתכן: BCBC הבסיס של המשולש הגדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDO

הקטעים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה OO, ו-AC∥DBAC \parallel DB. הוכיחו: △AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD.

  • ABAB ו-CDCD נחתכים ב-OO
  • AC∥DBAC \parallel DB

△AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD — זוויות קודקודיות שוות
  2. ∠CAO=∠DBO\angle CAO = \angle DBO — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות (AC∥DBAC \parallel DB)
  3. △AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD

קודקודיות

∠CAO=∠DBO\angle CAO = \angle DBO

מתחלפות, AC∥DBAC \parallel DB

△AOC∼△BOD\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז

המלכודת היא הסדר: AA מול BB (הזוויות המתחלפות), OO מול OO, CC מול DD. מי שכותב △AOC∼△DOB\triangle AOC \sim \triangle DOB הציב את AA מול DD, ואת היחסים אחר כך יכתוב הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDEF

במשולש ABCABC: AB=6AB=6, AC=9AC=9 ו-∠A=50∘\angle A = 50^\circ. במשולש DEFDEF: DE=4DE=4, DF=6DF=6 ו-∠D=50∘\angle D = 50^\circ. מה נכון?

  1. המשולשים אינם דומים, כי 6≠46 \neq 4
  2. המשולשים דומים לפי ז.ז
  3. אי אפשר להסיק בלי הצלע השלישית
  4. המשולשים דומים לפי צ.ז.צ, ו-△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד המשולשים דומים לפי צ.ז.צ, ו-△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

הפתרון:

ABDE=64=1.5ACDF=96=1.5\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5 \\ \qquad \frac{AC}{DF} &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

שני יחסים שווים

∠A=∠D=50∘\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ &= 50^\circ\end{aligned}

הזווית הכלואה בין הצלעות שבדקנו

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

משפט דמיון צ.ז.צ

הנכונה: דומים לפי צ.ז.צ. «6≠46 \neq 4» הוא נימוק של חפיפה, לא של דמיון. ו«ז.ז» לא מתאים: יש רק זווית אחת נתונה. הצלע השלישית לא נחוצה, זו בדיוק התועלת של המשפט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDEF

במשולש ABCABC: AB=8AB=8, BC=7BC=7 ו-∠A=50∘\angle A = 50^\circ. במשולש DEFDEF: DE=4DE=4, EF=3.5EF=3.5 ו-∠D=50∘\angle D = 50^\circ. מה אפשר להסיק?

  1. המשולשים אינם דומים, כי 84≠73.5\frac{8}{4} \neq \frac{7}{3.5}
  2. אי אפשר להסיק דמיון: הזווית אינה כלואה בין הצלעות הפרופורציוניות
  3. המשולשים דומים לפי ז.ז
  4. המשולשים דומים לפי צ.ז.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אי אפשר להסיק דמיון: הזווית אינה כלואה בין הצלעות הפרופורציוניות

הפתרון:

ABDE=BCEF=2\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\ &= 2\end{aligned}

שני יחסים שווים

∠A בין AB, AC\angle A \ \text{בין} \ AB ,\ AC

הזווית AA כלואה בין ABAB ל-ACAC, ו-ACAC לא נתונה: צ.ז.צ לא חל

BC=7<AB=8\begin{aligned}BC &= 7 < AB \\ &= 8\end{aligned}

הזווית נמצאת מול הצלע הקצרה מבין השתיים, ולכן שני משולשים שונים מתאימים לאותם נתונים

הנכונה: אי אפשר להסיק. היחסים שווים (84=73.5=2\frac{8}{4}=\frac{7}{3.5}=2, ולכן האפשרות הרביעית שגויה), אבל הזווית הנתונה אינה כלואה בין שתי הצלעות. והיא גם נמצאת מול הצלע הקצרה (BC=7<AB=8BC=7<AB=8): במצב כזה שני משולשים שונים מתאימים לאותם נתונים, ואחד מהם יכול להיות ABCABC והשני DEFDEF. לו עמדה הזווית מול הצלע הארוכה, המשולש היה נקבע — ואז הם היו דומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ADBC

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, ו-CDCD הוא הגובה ליתר ABAB. נתון AD=4AD=4 ו-AC=6AC=6. הוכיחו △ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC, ומצאו את ABAB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

∠ADC=∠ACB=90∘\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

CDCD גובה, ו-∠C\angle C ישרה

∠A=∠A\angle A = \angle A

זווית משותפת

△ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז: A↔AA \leftrightarrow A, C↔BC \leftrightarrow B, D↔CD \leftrightarrow C

ACAB=ADAC ⇒ 6AB=46\begin{aligned}\frac{AC}{AB} &= \frac{AD}{AC} \ \Rightarrow \ \frac{6}{AB} \\ &= \frac{4}{6}\end{aligned}

צלעות מתאימות לפי סדר האותיות

AB=364=9\begin{aligned}AB &= \frac{36}{4} \\ &= 9\end{aligned}

כפל בהצלבה

AB=9AB=9. המלכודת היא הסדר: CC במשולש הקטן מול BB במשולש הגדול, ו-DD מול CC. מי שכתב △ACD∼△ACB\triangle ACD \sim \triangle ACB הציב את CC מול CC, וקיבל יחסים שאינם נכונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCDEF

על שני משולשים נתון המידע הבא. מיינו: מה מספיק כדי להוכיח שהם דומים, ומה לא?

  • מספיק לדמיון
  • לא מספיק
  • זווית אחת שווה
  • שלוש צלעות פרופורציוניות
  • שתי זוויות שוות בהתאמה
  • שתי צלעות פרופורציוניות בלבד
  • שתי צלעות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה
  • שתי צלעות פרופורציוניות וזווית שאינה ביניהן שווה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שתי זוויות שוות בהתאמה — מספיק לדמיון · שלוש צלעות פרופורציוניות — מספיק לדמיון · שתי צלעות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה — מספיק לדמיון · זווית אחת שווה — לא מספיק · שתי צלעות פרופורציוניות בלבד — לא מספיק · שתי צלעות פרופורציוניות וזווית שאינה ביניהן שווה — לא מספיק

הפתרון:

ז.ז,צ.ז.צ,צ.צ.צ\text{ז.ז} ,\quad \text{צ.ז.צ} ,\quad \text{צ.צ.צ}

שלושת המשפטים, ורק הם

1 זווית,2 יחסים1 \ \text{זווית} ,\quad 2 \ \text{יחסים}

זווית אחת בלבד, או שני יחסים בלבד: פחות ממשפט, לא קובע צורה

שלושה נתונים בכל משפט — שתי זוויות, או שלושה יחסים, או שני יחסים וזווית כלואה. הפריט השישי הוא המלכודת המוכרת של צ.ז.צ: היחסים נכונים, אבל הזווית במקום הלא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה משולבת — שני משולשים ישרי זווית וזווית ישרה ביניהם

תרגיל 11

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ) הקודקוד CC מונח על ציר ה-xx, והקודקוד AA על ציר ה-yy. מהקודקוד BB הורידו אנך לציר ה-xx, החותך אותו בנקודה DD. OO ראשית הצירים. א. הוכיחו: △AOC∼△CDB\triangle AOC \sim \triangle CDB.

  • ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ
  • BD⊥BD \perp ציר ה-xx
  • AA על ציר ה-yy, CC ו-DD על ציר ה-xx

△AOC∼△CDB\triangle AOC \sim \triangle CDB

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠AOC=∠CDB=90∘\angle AOC = \angle CDB = 90^\circ — הצירים מאונכים; BDBD אנך לציר ה-xx
  2. ∠OCA+∠BCD=90∘\angle OCA + \angle BCD = 90^\circ — זווית שטוחה: ∠OCA+90∘+∠BCD=180∘\angle OCA + 90^\circ + \angle BCD = 180^\circ
  3. ∠OAC+∠OCA=90∘\angle OAC + \angle OCA = 90^\circ — סכום הזוויות במשולש AOCAOC הוא 180∘180^\circ
  4. ∠OAC=∠BCD\angle OAC = \angle BCD — שתיהן משלימות את ∠OCA\angle OCA ל-90∘90^\circ
  5. △AOC∼△CDB\triangle AOC \sim \triangle CDB — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠AOC=∠CDB=90∘\begin{aligned}\angle AOC &= \angle CDB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי זוויות ישרות

∠OAC=90∘−∠OCA=∠BCD\begin{aligned}\angle OAC &= 90^\circ - \angle OCA \\ &= \angle BCD\end{aligned}

בנקודה CC: שלוש זוויות על ישר, והאמצעית ישרה

△AOC∼△CDB\triangle AOC \sim \triangle CDB

ז.ז: A↔CA \leftrightarrow C, O↔DO \leftrightarrow D, C↔BC \leftrightarrow B

זו תצורת "שלוש זוויות ישרות על ישר": שני משולשים ישרי זווית משני צידי זווית ישרה שקודקודה על הישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ) הקודקוד CC מונח על ציר ה-xx, והקודקוד AA על ציר ה-yy. מהקודקוד BB הורידו אנך לציר ה-xx, החותך אותו בנקודה DD. OO ראשית הצירים. משוואת הצלע ACAC היא 3y+4x=483y + 4x = 48. ב. מצאו את אורך הצלע AOAO.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

x=0⇒3y=48⇒y=16\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow 3y \\ &= 48 \Rightarrow y \\ &= 16\end{aligned}

AA על ציר ה-yy

AO=16AO = 16

המרחק מהראשית

AO=16AO = 16. ובאותה דרך CC: y=0⇒x=12y = 0 \Rightarrow x = 12, כלומר OC=12OC = 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ) הקודקוד CC מונח על ציר ה-xx, והקודקוד AA על ציר ה-yy. מהקודקוד BB הורידו אנך לציר ה-xx, החותך אותו בנקודה DD. OO ראשית הצירים. משוואת ACAC היא 3y+4x=483y + 4x = 48, AO=16AO = 16, והוכח △AOC∼△CDB\triangle AOC \sim \triangle CDB. נתון S△AOCS△CDB=16\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle CDB}} = 16. ג. (1) מצאו את אורך הצלע CDCD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

k2=16⇒k=4\begin{aligned}k^2 &= 16 \Rightarrow k \\ &= 4\end{aligned}

יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים

AOCD=4\frac{AO}{CD} = 4

צלעות מתאימות: A↔CA \leftrightarrow C, O↔DO \leftrightarrow D

CD=164=4\begin{aligned}CD &= \frac{16}{4} \\ &= 4\end{aligned}

התשובה

CD=4CD = 4. המלכודת: לחלק ב-1616 — יחס השטחים הוא k2k^2, לא kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ) הקודקוד CC מונח על ציר ה-xx, והקודקוד AA על ציר ה-yy. מהקודקוד BB הורידו אנך לציר ה-xx, החותך אותו בנקודה DD. OO ראשית הצירים. משוואת ACAC היא 3y+4x=483y + 4x = 48, △AOC∼△CDB\triangle AOC \sim \triangle CDB ביחס דמיון 44, ו-CD=4CD = 4. ג. (2) מצאו את אורכי הצלעות COCO ו-BDBD.

CO=CO = ____ , BD=BD = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: CO=CO = 12 , BD=BD = 3

הפתרון:

y=0⇒4x=48⇒CO=12\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow 4x \\ &= 48 \Rightarrow CO \\ &= 12\end{aligned}

CC על ציר ה-xx

OCDB=4⇒BD=3\begin{aligned}\frac{OC}{DB} &= 4 \Rightarrow BD \\ &= 3\end{aligned}

צלעות מתאימות: O↔DO \leftrightarrow D, C↔BC \leftrightarrow B

CO=12CO = 12, BD=3BD = 3, ולכן B(16,3)B(16, 3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ) הקודקוד CC מונח על ציר ה-xx, והקודקוד AA על ציר ה-yy. מהקודקוד BB הורידו אנך לציר ה-xx, החותך אותו בנקודה DD. OO ראשית הצירים. נמצא A(0,16)A(0, 16), C(12,0)C(12, 0), D(16,0)D(16, 0) ו-B(16,3)B(16, 3). ד. (1) חשבו את גודל הזווית ∠CBA\angle CBA (במעלות, דיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75.96

הפתרון:

AC=122+162=20CB=42+32=5\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 16^2} \\ &= 20 \\ \quad CB &= \sqrt{4^2 + 3^2} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק (או פיתגורס)

tan⁡∠CBA=ACCB=205=4\begin{aligned}\tan \angle CBA &= \frac{AC}{CB} \\ &= \frac{20}{5} \\ &= 4\end{aligned}

במשולש ACBACB הזווית CC ישרה

∠CBA≈75.96∘\angle CBA \approx 75.96^\circ

tan⁡−14\tan^{-1} 4

∠CBA≈75.96∘\angle CBA \approx 75.96^\circ. גם יחס הדמיון בא לידי ביטוי: ACCB=4\frac{AC}{CB} = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ) הקודקוד CC מונח על ציר ה-xx, והקודקוד AA על ציר ה-yy. מהקודקוד BB הורידו אנך לציר ה-xx, החותך אותו בנקודה DD. OO ראשית הצירים. נמצא ∠CBA≈75.96∘\angle CBA \approx 75.96^\circ, ובמשולש AOCAOC: AO=16AO = 16, OC=12OC = 12. ד. (2) האם המשולשים ACBACB ו-AOCAOC דומים זה לזה?

  1. לא — הזוויות החדות ב-ACBACB הן כ-75.96∘75.96^\circ ו-14.04∘14.04^\circ, וב-AOCAOC כ-53.13∘53.13^\circ ו-36.87∘36.87^\circ
  2. כן — כי △AOC∼△CDB\triangle AOC \sim \triangle CDB
  3. כן — הם חולקים את הצלע ACAC
  4. כן — שניהם ישרי זווית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא — הזוויות החדות ב-ACBACB הן כ-75.96∘75.96^\circ ו-14.04∘14.04^\circ, וב-AOCAOC כ-53.13∘53.13^\circ ו-36.87∘36.87^\circ

הפתרון:

∠CBA≈75.96∘⇒∠CAB≈14.04∘\angle CBA \approx 75.96^\circ \Rightarrow \angle CAB \approx 14.04^\circ

במשולש ACBACB

tan⁡∠OCA=1612⇒∠OCA≈53.13∘ ∠OAC≈36.87∘\begin{aligned}\tan \angle OCA &= \frac{16}{12} \Rightarrow \angle OCA \approx 53.13^\circ \\ \ \angle OAC \approx 36.87^\circ\end{aligned}

במשולש AOCAOC

לא דומים: משולשים ישרי זווית דומים רק אם גם זווית חדה אחת שווה. זווית ישרה אחת משותפת אינה מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת