היקפים, שטחים וקווים · דמיון משולשים · כיתה י׳

במשולש שצלעותיו $3$ , $4$ ו- $5$ ההיקף הוא $12$ והשטח $6$ . מגדילים אותו פי $2$ : הצלעות $6$ , $8$ ו- $10$ , ההיקף $24$ — פי $2$ , כצפוי. אבל השטח הוא $\frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ , כלומר פי 4. הזיזו את המחוון וראו את זה קורה עם כל יחס.

למה השטח גדל פי $k^2$ ולא פי $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי שטח הוא אורך כפול אורך: $S = \frac{a \cdot h}{2}$ . בדמיון גם הצלע $a$ וגם הגובה $h$ גדלים פי $k$ , ולכן המכפלה גדלה פי $k \cdot k = k^2$ .

היקפים ושטחים

\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \qquad\qquad \frac{S_2}{S_1} \\ &= k^2\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון; יחס השטחים שווה לריבועו

ההיקף הוא סכום של אורכים, וכל אורך גדל פי $k$ , ולכן גם הסכום גדל פי $k$ . השטח הוא מכפלה של שני אורכים, ולכן פי $k^2$ . הכיוון ההפוך שימושי לא פחות: מיחס שטחים מוציאים שורש כדי לקבל את יחס הדמיון.

מהיקפים לשטח

היקפי שני משולשים דומים הם $18$ ו- $27$ . שטח הקטן הוא $8$ . מצאו את שטח הגדול.

\begin{aligned}k &= \frac{27}{18} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

יחס השטחים

\begin{aligned}S_2 &= 8 \cdot \frac{9}{4} \\ &= 18\end{aligned}

שטח הגדול

יחס השטחים של שני משולשים דומים הוא $1:16$ . מהו יחס ההיקפים?

להציג את התשובה והפתרון

$k^2 = 16$ , ולכן $k = 4$ : יחס ההיקפים $1:4$ . משטחים לאורכים הולכים דרך השורש, לא דרך חלוקה ב- $2$ .

גבהים, תיכונים וחוצי זוויות

במשולשים דומים, הגובה של הגדול הוא הגובה של הקטן כפול

k

. אותו דבר לתיכון ולחוצה הזווית המתאימים.

במשולשים דומים, היחס בין גבהים מתאימים, בין תיכונים מתאימים ובין חוצי זוויות מתאימים שווה ליחס הדמיון $k$ . הסיבה: הגובה יוצר במשולש הקטן משולש ישר-זווית, ובגדול משולש ישר-זווית דומה לו לפי ז.ז (זווית ישרה וזווית שווה של המשולשים המקוריים). לכן גם הגבהים הם צלעות מתאימות של משולשים דומים, ויחסם $k$ .

\text{צלע}

פי $k$

\text{היקף}

פי $k$

\text{גובה}

פי $k$ , וכך גם תיכון וחוצה זווית

\text{שטח}

פי $k^2$ — היחיד שמתנהג אחרת

גובה מתאים

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB=6$ ו- $DE=9$ . הגובה לצלע $AB$ במשולש $ABC$ הוא $4$ . מצאו את הגובה לצלע $DE$ במשולש $DEF$ .

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}h_2 &= 1.5 \cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס $k$

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{9 \cdot 6}{6 \cdot 4} \\ &= \frac{54}{24} \\ &= 2.25 \\ &= 1.5^2\end{aligned}

בדיקה דרך השטחים ✓

שאלת בקרה לפני כל תשובה: מה מדדתי — אורך או שטח? אורך (צלע, היקף, גובה, תיכון, חוצה זווית) הולך עם $k$ . שטח הולך עם $k^2$ . אין סוג שלישי.

שלוש הטעויות של היחסים.

\begin{aligned}k &= 3 \ \Rightarrow \ \frac{S_2}{S_1} \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}k &= 3 \ \Rightarrow \ \frac{S_2}{S_1} \\ &= 9\end{aligned}

השטח גדל פי $k^2$ . בדיקה קלה: משולש $3$ - $4$ - $5$ ששטחו $6$ , מוגדל פי $3$ הוא $9$ - $12$ - $15$ ששטחו $54 = 6 \cdot 9$ .

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{25}{9} \ \Rightarrow \ k \\ &= \frac{25}{9}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{25}{9} \ \Rightarrow \ k \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

מיחס שטחים ליחס דמיון מוציאים שורש. מי ששוכח מקבל היקפים גדולים כמעט פי שניים ממה שצריך.

\begin{aligned}k &= 2 \ \Rightarrow \ \frac{h_2}{h_1} \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}k &= 2 \ \Rightarrow \ \frac{h_2}{h_1} \\ &= 2\end{aligned}

גובה הוא אורך, לא שטח. רק השטח מקבל את הריבוע.

תרגילים

תרגיל 1

יחס הדמיון בין משולש גדול למשולש קטן הוא $3$ . היקף המשולש הקטן הוא $12$ . מהו היקף המשולש הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \\ &= 3\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

\begin{aligned}P_2 &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

היקף הגדול

$36$ . ההיקף הוא סכום אורכים, ולכן גדל פי $k$ ולא פי $k^2$ . מי שענה $108$ כפל ב- $9$ , וזה יחס של שטחים.

היקפים ושטחים

גבהים, תיכונים וחוצי זוויות

תרגילים

חזרה משולבת — משולש האמצעים

חזרה משולבת — טרפז ישר זווית במערכת צירים

השיעור הבא מחכה ב-elev