התצורות הקלאסיות · דמיון משולשים · כיתה י׳

בצהריים, בחצר בית ספר בקריית גת, מקל שגובהו $1.2$ מטר מטיל צל של $1.5$ מטר. באותו רגע עמוד תאורה מטיל צל של $10$ מטר. אף אחד לא מטפס על העמוד, ובכל זאת יודעים את גובהו: שני משולשים דומים עושים את העבודה.

AB

העמוד ו-

BC

הצל שלו;

DE

המקל ו-

EF

הצל שלו. קרני השמש

AC

ו-

DF

מקבילות, ולכן הזוויות

\angle C

ו-

\angle F

שוות.

אילו שתי זוויות שוות מוכיחות ש- $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , ומה גובה העמוד?

להציג את התשובה והפתרון

$\angle B = \angle E = 90^\circ$ (עמוד ומקל מאונכים לקרקע), ו- $\angle C = \angle F$ (זוויות מתאימות בין קרני שמש מקבילות). ז.ז. ואז $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{10}{1.5}$ , כלומר $AB = 1.2 \cdot \frac{10}{1.5} =$ 8 מטר.

תצורה 1: ישר מקביל לצלע

זו התצורה השכיחה ביותר בבגרות. $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ : המשולש הקטן $ADE$ דומה למשולש הגדול $ABC$ לפי ז.ז (זווית משותפת וזוויות מתאימות). מכאן שלושה יחסים שווים, וכולם חלק מול שלם.

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AE}{AC} \\ &= \frac{DE}{BC}\end{aligned}

$AD$ מול כל $AB$ , $AE$ מול כל $AC$

המלכודת מספר אחת של הפרק: $\frac{DE}{BC}$ אינו שווה ל- $\frac{AD}{DB}$ . הצלע $DE$ שייכת למשולש הקטן, ולכן היא מושווית לכל $AB$ , לא לחלק $DB$ .

תצורה 2: שני ישרים נחתכים ושני מקבילים

AB

ו-

CD

נחתכים ב-

O

, ו-

AC \parallel DB

. שני המשולשים

AOC

ו-

BOD

עומדים זה מול זה כמו שעון חול.

כאן שתי הזוויות השוות באות ממקורות אחרים: זוויות קודקודיות ב- $O$ , וזוויות מתחלפות בין המקבילים. לכן $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ , וסדר האותיות מציב את $A$ מול $B$ ואת $C$ מול $D$ .

מהצד הידוע לצד החסר

$AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $O$ , $AC \parallel DB$ . נתון $AO=4$ , $OB=6$ ו- $AC=6$ . מצאו את $BD$ .

\angle AOC = \angle BOD

זוויות קודקודיות

\angle CAO = \angle DBO

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ( $AC \parallel DB$ )

\triangle AOC \sim \triangle BOD

משפט דמיון ז.ז

\begin{aligned}\frac{BD}{AC} &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5\end{aligned}

צלעות מתאימות: $A \leftrightarrow B$ , $C \leftrightarrow D$

\begin{aligned}BD &= 1.5 \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

התשובה

תצורה 3: מלבן חסום במשולש

במשולש

ABC

הגובה

AH

. המלבן

KLMN

K

על

AB

L

על

AC

M

ו-

N

על

BC

. הגובה

AH

חותך את

KL

בנקודה

P

הצלע העליונה $KL$ של המלבן מקבילה ל- $BC$ , ולכן $\triangle AKL \sim \triangle ABC$ לפי ז.ז. הגובה $AP$ של המשולש הקטן והגובה $AH$ של הגדול הם גבהים מתאימים, ויחסם $k$ . ומה זה $AP$ ? כל הגובה פחות גובה המלבן: $AP = AH - KN$ .

\begin{aligned}\frac{KL}{BC} &= \frac{AP}{AH} \\ &= \frac{AH - KN}{AH}\end{aligned}

צלע המלבן מגובהו

במשולש $ABC$ , $BC=12$ והגובה $AH=8$ . חסום בו המלבן $KLMN$ שגובהו $KN=2$ . מצאו את $KL$ .

KL \parallel BC \ \Rightarrow \ \triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle AKL = \angle ABC$ מתאימות

\begin{aligned}AP &= AH - KN \\ &= 8 - 2 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה של המשולש הקטן

\frac{KL}{12} = \frac{6}{8}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון

\begin{aligned}KL &= 12 \cdot \frac{6}{8} \\ &= 9\end{aligned}

התשובה

באותו משולש, אם המלבן החסום הוא ריבוע, מה צלעו?

להציג את התשובה והפתרון

מסמנים את הצלע $x$ . אז $KL = x$ ו- $AP = 8 - x$ , ולכן $\frac{x}{12} = \frac{8-x}{8}$ . כפל בהצלבה: $8x = 96 - 12x$ , ומכאן $20x = 96$ ו- $x = 4.8$ .

תצורה 4: טרפז מצלעות פרופורציוניות

עד עכשיו ההקבלה הייתה נתון. בתצורה הזאת ההקבלה היא מסקנה: נתון ש- $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ , והזווית $A$ משותפת. לפי צ.ז.צ המשולשים $ADE$ ו- $ABC$ דומים, ולכן $\angle ADE = \angle ABC$ . שתי זוויות מתאימות שוות, ולכן $DE \parallel BC$ , ו- $DBCE$ הוא טרפז.

AD:AB = AE:AC = 1:3

. ההקבלה של

DE

ל-

BC

עדיין לא נתונה — אותה מוכיחים.

להוכיח שטרפז

במשולש $ABC$ , $AB=9$ , $AC=12$ , $D$ על $AB$ עם $AD=3$ , ו- $E$ על $AC$ עם $AE=4$ . הוכיחו ש- $DBCE$ טרפז, ואם $BC=15$ מצאו את $DE$ .

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3} \\ \qquad \frac{AE}{AC} &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שני היחסים שווים

\angle A = \angle A

זווית משותפת, כלואה בין $AD$ ל- $AE$ ובין $AB$ ל- $AC$

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון צ.ז.צ

\angle ADE = \angle ABC

זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות

DE \parallel BC

זוויות מתאימות שוות, ולכן הישרים מקבילים; $DBCE$ טרפז

\begin{aligned}DE &= \frac{1}{3} \cdot 15 \\ &= 5\end{aligned}

$\frac{DE}{BC} = k = \frac{1}{3}$

שלוש הטעויות של התצורות.

\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{DB}

\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}

חלק מול שלם. $DE$ היא צלע של המשולש הקטן, ומולה עומדת צלע שלמה של הגדול.

\triangle AOC \sim \triangle DOB

\triangle AOC \sim \triangle BOD

בשעון החול $A$ מתאימה ל- $B$ (הזוויות המתחלפות על אותו זוג מקבילים), לא ל- $D$ . הסדר קובע את היחסים.

\frac{KL}{BC} = \frac{KN}{AH}

\frac{KL}{BC} = \frac{AH - KN}{AH}

הגובה המתאים ל- $AH$ במשולש הקטן הוא $AP$ , מהקודקוד $A$ עד $KL$ , לא גובה המלבן.

תרגילים

תרגיל 1

AB

הבניין,

BC

הצל שלו;

DE

המקל,

EF

הצל שלו.

מקל שגובהו $1$ מטר מטיל צל של $1.5$ מטר. באותו רגע בניין מטיל צל של $18$ מטר. מה גובה הבניין, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}\angle B &= \angle E \\ &= 90^\circ \\ \quad \angle C &= \angle F\end{aligned}

הבניין והמקל מאונכים לקרקע; קרני השמש מקבילות, זוויות מתאימות

\triangle ABC \sim \triangle DEF

משפט דמיון ז.ז

\begin{aligned}\frac{AB}{1} &= \frac{18}{1.5} \\ &= 12\end{aligned}

צלעות מתאימות: גובה מול גובה, צל מול צל

$12$ מטר. הזוג «גובה מול גובה, צל מול צל» הוא זוג הצלעות המתאימות. מי שכתב $\frac{AB}{1.5} = \frac{18}{1}$ ערבב בין גובה לצל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=4$ , $AB=10$ ו- $BC=15$ . מצאו את $DE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{4}{10}\end{aligned}

צלעות מתאימות, חלק מול שלם

\begin{aligned}DE &= 15 \cdot \frac{4}{10} \\ &= 6\end{aligned}

התשובה

$DE=6$ . כאן נתון $AB$ השלם, ולכן היחס הוא ישירות $\frac{4}{10}$ . שימו לב ש- $DB=6$ אינו נחוץ לחישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=2$ , $DB=6$ ו- $BC=12$ . מהו $DE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $3$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 2 + 6 \\ &= 8\end{aligned}

השלם

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{2}{8}\end{aligned}

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ לפי ז.ז; חלק מול שלם

\begin{aligned}DE &= 12 \cdot \frac{2}{8} \\ &= 3\end{aligned}

התשובה

הנכונה: $3$ . $4$ מתקבל מהיחס השגוי $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{6}$ — חלק מול חלק. $DE$ מושווית ל- $BC$ , ולכן $AD$ מושווית ל- $AB$ השלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . הוכיחו: $\dfrac{AO}{OB} = \dfrac{CO}{OD}$ .

$AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $O$
$AC \parallel DB$

$\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD}$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle AOC = \angle BOD$ — זוויות קודקודיות שוות
$\angle ACO = \angle BDO$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות ( $AC \parallel DB$ )
$\triangle AOC \sim \triangle BOD$ — משפט דמיון ז.ז
$\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD}$ — צלעות מתאימות במשולשים דומים פרופורציוניות

הפתרון:

\begin{aligned}\angle AOC &= \angle BOD \\ \quad \angle ACO &= \angle BDO\end{aligned}

קודקודיות; מתחלפות

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז

\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD}

צלעות מתאימות: $AO \leftrightarrow BO$ , $CO \leftrightarrow DO$

היחס הסופי הוא תוצאה של הדמיון, לא נימוק בפני עצמו. המלכודת: לכתוב את היחס ישר מהשרטוט בלי להוכיח קודם שהמשולשים דומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=6$ , $OB=9$ ו- $AC=8$ . מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז: $\angle AOC = \angle BOD$ קודקודיות, $\angle CAO = \angle DBO$ מתחלפות

\begin{aligned}\frac{BD}{AC} &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}BD &= 1.5 \cdot 8 \\ &= 12\end{aligned}

התשובה

$BD=12$ . $BD$ מתאימה ל- $AC$ (שתי הצלעות המקבילות), ו- $OB$ ל- $AO$ . מי שכתב $\frac{BD}{AC} = \frac{AO}{OB}$ הפך את היחס וקיבל $BD = \frac{16}{3}$ , קטן מ- $AC$ אף ש- $OB > AO$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ומתקיים $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ . הוכיחו: $DE \parallel BC$ .

$D$ על $AB$ , $E$ על $AC$
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

$DE \parallel BC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle DAE = \angle BAC$ — זווית משותפת לשני המשולשים
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ — משפט דמיון צ.ז.צ: שני יחסים שווים והזווית הכלואה ביניהם שווה
$\angle ADE = \angle ABC$ — זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות
$DE \parallel BC$ — אם זוויות מתאימות שוות, הישרים מקבילים

הפתרון:

\begin{aligned}\angle A \ \text{משותפת} \\ \quad \frac{AD}{AB} &= \frac{AE}{AC}\end{aligned}

צ.ז.צ

\triangle ADE \sim \triangle ABC \ \Rightarrow \ \angle ADE = \angle ABC

זוויות מתאימות במשולשים דומים

DE \parallel BC

זוויות מתאימות שוות

כאן ההקבלה היא המסקנה, ולכן אסור לנמק את הדמיון ב-ז.ז עם «זוויות מתאימות בין מקבילים» — זה מעגלי. המשפט שפותח הוא צ.ז.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ , $BC=12$ והגובה $AH=6$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=2$ . מצאו את $KL$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$ , זווית משותפת וזוויות מתאימות

\begin{aligned}AP &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

הגובה של המשולש הקטן: $AH$ פחות גובה המלבן

\begin{aligned}\frac{KL}{12} &= \frac{4}{6} \ \Rightarrow \ KL \\ &= 8\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון

$KL=8$ . מי שכתב $\frac{KL}{12} = \frac{2}{6}$ השווה את גובה המלבן לגובה המשולש וקיבל $4$ . הגובה המתאים ל- $AH$ הוא $AP = 6 - 2$ , מהקודקוד עד הצלע העליונה של המלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ , $BC=16$ והגובה $AH=12$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), ו- $NM=8$ . מצאו את גובה המלבן $KN$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}KL &= NM \\ &= 8\end{aligned}

צלעות נגדיות במלבן שוות

\begin{aligned}\triangle AKL \sim \triangle ABC \ \Rightarrow \ \frac{AP}{AH} &= \frac{KL}{BC} \\ &= \frac{8}{16}\end{aligned}

ז.ז; גבהים מתאימים ביחס הדמיון

\begin{aligned}AP &= 12 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הגובה של המשולש הקטן

\begin{aligned}KN &= AH - AP \\ &= 12 - 6 \\ &= 6\end{aligned}

גובה המלבן

$KN=6$ . הפעם נתונה הצלע ומחפשים את הגובה: מוצאים קודם $AP$ , ורק אז מחסרים. מי שענה $AP=6$ עצר צעד אחד לפני הסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ , $AB=12$ , $AC=15$ ו- $BC=18$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=4$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=5$ . הוכיחו ש- $DBCE$ טרפז, והשלימו.

$DE=$ ____ , היקף הטרפז $DBCE$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $DE=$ 6 , היקף הטרפז $DBCE$ : 42

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3} \\ \qquad \frac{AE}{AC} &= \frac{5}{15} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שני יחסים שווים, והזווית $A$ כלואה ומשותפת

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון צ.ז.צ

\angle ADE = \angle ABC \ \Rightarrow \ DE \parallel BC

זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות, ולכן הישרים מקבילים; $DBCE$ טרפז

\begin{aligned}DE &= \frac{1}{3} \cdot 18 \\ &= 6\end{aligned}

$\frac{DE}{BC} = k$

\begin{aligned}DB &= 8 \\ \quad CE &= 10 \\ \quad P &= 8 + 18 + 10 + 6 \\ &= 42\end{aligned}

היקף הטרפז: שתי שוקיים ושני בסיסים

$DE=6$ והיקף $42$ . השוקיים של הטרפז הן החלקים $DB=12-4$ ו- $CE=15-5$ , לא הצלעות השלמות של המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD=3$ , $DB=6$ , $AE=4$ ו- $EC=8$ . הוכיחו או הפריכו: $DE \parallel BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3} \\ \qquad \frac{AE}{AC} &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

חלק מול שלם: $AB = 9$ , $AC = 12$

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון צ.ז.צ: היחסים שווים והזווית $A$ משותפת

\angle ADE = \angle ABC \ \Rightarrow \ DE \parallel BC

זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות; זוויות מתאימות שוות, ולכן מקבילים

הטענה נכונה. הדרך: יחסים שווים, ואז צ.ז.צ, ואז זווית מתאימה שווה, ואז ההקבלה. מי שכותב « $DE \parallel BC$ לפי ז.ז» מניח את מה שצריך להוכיח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תצורה 1: ישר מקביל לצלע

תצורה 2: שני ישרים נחתכים ושני מקבילים

תצורה 3: מלבן חסום במשולש

תצורה 4: טרפז מצלעות פרופורציוניות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev