פותרים יחד · דמיון משולשים · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון שאלון 471, אחת לכל תצורה של הפרק: ישר מקביל לצלע, יחס שטחים, שעון חול, מלבן חסום במשולש, וטרפז שמוכיחים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ובכל שלב כתוב שם המשפט. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה כתבו על דף טענה ונימוק, ובכל דמיון — את סדר האותיות. הפער בין מה שכתבתם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — ישר מקביל לצלע

DE \parallel BC

. נתון

AD=6

DB=4

DE=9

ו-

AE=3

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 1 — מקבילה ושלושה סעיפים

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=4$ , $DE=9$ ו- $AE=3$ . א. הוכיחו $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . ב. מצאו את $BC$ . ג. מצאו את $EC$ .

$BC=15$ , $EC=2$

$BC=6$ , $EC=2$

$BC=15$ , $EC=5$

$BC=13.5$ , $EC=3$

סעיף א: אילו שתי זוויות שוות?

$\angle A$ משותפת, ו- $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות בין מקבילים

להציג את התשובה והפתרון

כן. זה הזוג הקבוע של התצורה הזאת.

$\angle ADE = \angle ACB$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ADE$ נמצאת על הישר $AB$ , ולכן היא מתאימה ל- $\angle ABC$ , לא ל- $\angle ACB$ .

$\angle AED = \angle ABC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle AED$ נמצאת על $AC$ , ולכן היא מתאימה ל- $\angle ACB$ .

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז. הסדר: $A \leftrightarrow A$ , $D \leftrightarrow B$ , $E \leftrightarrow C$ .

סעיף ב: איזה יחס נותן את $BC$ ?

$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{10}{6}$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AB = 6 + 4 = 10$ : חלק מול שלם.

$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{DB}{AD} = \dfrac{4}{6}$

להציג את התשובה והפתרון

$DB$ אינו צלע של אף אחד משני המשולשים. הצלע המתאימה ל- $AD$ היא $AB$ כולה.

$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AD}{AB}$

להציג את התשובה והפתרון

הפוך: $BC$ במשולש הגדול, ולכן היחס גדול מ- $1$ .

\begin{aligned}BC &= 9 \cdot \frac{10}{6} \\ &= 15\end{aligned}

צלעות מתאימות במשולשים דומים.

סעיף ג: איך מגיעים ל- $EC$ ?

מוצאים $AC$ מהדמיון, ומחסרים $AE$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $EC$ אינו צלע של אף משולש, ולכן קודם $AC$ .

$\dfrac{EC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}$

להציג את התשובה והפתרון

$EC$ אינו צלע של המשולש $ABC$ . היחס הזה לא נובע מהדמיון.

$EC = DB = 4$

להציג את התשובה והפתרון

אין סיבה ש- $EC = DB$ : המשולש אינו שווה-שוקיים.

\begin{aligned}AC &= 3 \cdot \frac{10}{6} \\ &= 5 \ \Rightarrow \ EC \\ &= 5 - 3 \\ &= 2\end{aligned}

$\frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AD}$ , ואז חיסור.

להציג את התשובה והפתרון

$BC=15$ , $EC=2$ . שתי המלכודות של השאלה: $DB$ במקום $AB$ בסעיף ב, ו- $EC$ ישר מהיחס בסעיף ג. הצלעות שביחס הן תמיד צלעות של המשולשים הדומים עצמם.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשאלה 1, מהו היחס $\dfrac{AE}{EC}$ ? ולמה הוא שווה ל- $\dfrac{AD}{DB}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{AE}{EC} = \frac{3}{2}$ ו- $\frac{AD}{DB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ . השוויון נובע מהדמיון: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (חלק מול שלם), ומשוויון של «חלק מול שלם» יוצא גם «חלק מול חלק». אבל $DE$ לא משתתף בזה: $\frac{DE}{BC}$ שווה רק לחלק מול שלם.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — יחס השטחים

DE \parallel BC

, ו-

AD:DB = 2:3

. שטח המשולש

ABC

הוא

50

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 2 — שטח הטרפז שנשאר

\begin{aligned}DE \parallel BC \\ \quad AD : DB &= 2 : 3 \\ \quad S_{ABC} &= 50 \\ \quad S_{DBCE} &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הדמיון קודם, אחר כך $k$ מול השלם, ורק אז השטח.

דמיון

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות ( $DE \parallel BC$ ).

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{2}{2+3} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

חלק מול שלם: $AB$ הוא $2+3=5$ חלקים.

שטחים

\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= k^2 \\ &= \frac{4}{25}\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

המשולש הקטן

\begin{aligned}S_{ADE} &= 50 \cdot \frac{4}{25} \\ &= 8\end{aligned}

הטרפז

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 50 - 8 \\ &= 42\end{aligned}

הטרפז הוא מה שנשאר מהמשולש הגדול.

המלכודת: $k = \frac{2}{3}$ . היחס $2:3$ הוא חלק מול חלק, ואילו $k$ הוא חלק מול שלם.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשאלה 2, אם היו נותנים $AD:AB = 2:3$ במקום $AD:DB = 2:3$ , מה היה שטח הטרפז?

להציג את התשובה והפתרון

אז $k = \frac{2}{3}$ ישירות, $S_{ADE} = 50 \cdot \frac{4}{9} = \frac{200}{9}$ , והטרפז $50 - \frac{200}{9} = \frac{250}{9}$ . הנתון « $AD:DB$ » ו« $AD:AB$ » נראים דומים, ומשנים הכול.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שעון חול

AB

ו-

CD

נחתכים ב-

O

, ו-

AC \parallel DB

. נתון

AO=4

OB=6

CO=6

ו-

AC=8

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 3 — שני ישרים נחתכים

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=4$ , $OB=6$ , $CO=6$ ו- $AC=8$ . א. הוכיחו $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ . ב. מצאו את $OD$ ואת $BD$ . ג. מצאו את היקף המשולש $BOD$ .

$OD=9$ , $BD=12$ , היקף $27$

$OD=4$ , $BD=8$ , היקף $18$

$OD=9$ , $BD=12$ , היקף $18$

$OD=9$ , $BD=10$ , היקף $25$

סעיף א: מאיפה באות שתי הזוויות השוות?

קודקודיות ב- $O$ , ומתחלפות בין $AC \parallel DB$

להציג את התשובה והפתרון

כן. אין כאן זווית משותפת: הזוויות באות מהחיתוך ומהמקבילים.

זווית משותפת ב- $O$ וזוויות מתאימות

להציג את התשובה והפתרון

אין למשולשים זווית משותפת: הם משני צדי $O$ . הזוויות ב- $O$ קודקודיות, לא משותפות.

$\angle A = \angle D$ מתחלפות

להציג את התשובה והפתרון

$\angle CAO$ מתחלפת עם $\angle DBO$ — שתיהן על הישר $AB$ . $\angle D$ מתחלפת עם $\angle C$ .

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז. הסדר: $A \leftrightarrow B$ , $O \leftrightarrow O$ , $C \leftrightarrow D$ .

סעיף ב: מהו יחס הדמיון $k$ , גדול חלקי קטן?

$k = \dfrac{OB}{AO} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $OB$ מול $AO$ : זוג צלעות מתאימות ששתיהן נתונות.

$k = \dfrac{CO}{AO} = \dfrac{6}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

$CO$ ו- $AO$ הן שתי צלעות של אותו משולש. יחס דמיון הוא בין צלעות מתאימות של שני משולשים.

$k = \dfrac{OB}{CO} = 1$

להציג את התשובה והפתרון

$OB$ מתאימה ל- $AO$ , לא ל- $CO$ .

\begin{aligned}OD &= \frac{3}{2} \cdot 6 \\ &= 9 \\ \qquad BD &= \frac{3}{2} \cdot 8 \\ &= 12\end{aligned}

$OD \leftrightarrow CO$ , $BD \leftrightarrow AC$ .

סעיף ג: איך מוצאים את היקף $BOD$ בלי לחבר?

היקף $AOC$ כפול $k$

להציג את התשובה והפתרון

כן. יחס ההיקפים הוא $k$ .

היקף $AOC$ כפול $k^2$

להציג את התשובה והפתרון

$k^2$ הוא יחס השטחים. היקף הוא אורך.

היקף $AOC$ ועוד $k$

להציג את התשובה והפתרון

יחס הוא כפל, לא חיבור.

\begin{aligned}P_{BOD} &= (4 + 6 + 8) \cdot \frac{3}{2} \\ &= 27\end{aligned}

בדיקה: $6 + 9 + 12 = 27$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

$OD=9$ , $BD=12$ , היקף $27$ . שתי הדרכים להיקף מסכימות, וזו הבדיקה הטובה ביותר. המלכודת בסעיף ב: להשוות שתי צלעות של אותו משולש.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשאלה 3, מהו יחס השטחים $\dfrac{S_{BOD}}{S_{AOC}}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$k^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ . שטח הוא היחיד שמקבל ריבוע; ההיקף, כמו שראינו, פי $\frac{3}{2}$ בלבד.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מלבן חסום במשולש

BC=18

, הגובה

AH=12

. המלבן

KLMN

שגובהו

KN=4

;

P

הוא חיתוך

AH

עם

KL

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 4 — צלע המלבן ושטחו

\begin{aligned}BC &= 18 \\ \quad AH &= 12 \\ \quad KN &= 4 \\ \quad KL &= \ ? \\ \quad S_{KLMN} &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הגובה של המשולש הקטן הוא לא גובה המלבן.

דמיון

KL \parallel BC \ \Rightarrow \ \triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle AKL = \angle ABC$ מתאימות.

גובה קטן

\begin{aligned}AP &= AH - KN \\ &= 12 - 4 \\ &= 8\end{aligned}

$AP$ הוא הגובה של $AKL$ מהקודקוד $A$ לצלע $KL$ .

יחס

\begin{aligned}\frac{KL}{BC} &= \frac{AP}{AH} \\ &= \frac{8}{12} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון.

צלע

\begin{aligned}KL &= 18 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 12\end{aligned}

שטח

\begin{aligned}S_{KLMN} &= 12 \cdot 4 \\ &= 48\end{aligned}

צלע כפול גובה.

אם השאלה נותנת את $KL$ ומבקשת את הגובה, הולכים הפוך: $AP$ מהיחס, ואז $KN = AH - AP$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

באותו משולש, מהו גובה המלבן החסום שצלעו העליונה $KL = 6$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{AP}{12} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ , ולכן $AP = 4$ , ו- $KN = 12 - 4 =$ 8. מלבן צר וגבוה: $KL$ קטן פירושו $AP$ קטן, כלומר המלבן מטפס גבוה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — טרפז שמוכיחים

AB=15

AC=12

AD=5

AE=4

ו-

BC=18

. ההקבלה של

DE

ל-

BC

אינה נתונה.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 5 — מצלעות פרופורציוניות לטרפז

במשולש $ABC$ , $AB=15$ , $AC=12$ ו- $BC=18$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=5$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=4$ . א. הוכיחו ש- $DBCE$ טרפז. ב. מצאו את $DE$ . ג. מצאו את היקף הטרפז $DBCE$ .

$DE=6$ , היקף $42$

$DE=6$ , היקף $51$

$DE=4.5$ , היקף $40.5$

$DE=6$ , היקף $36$

סעיף א: באיזה משפט דמיון מתחילים?

צ.ז.צ: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{3}$ והזווית $A$ משותפת

להציג את התשובה והפתרון

כן. ההקבלה עוד לא ידועה, ולכן אין זוויות מתאימות. יש יחסים וזווית כלואה.

ז.ז: $\angle A$ משותפת ו- $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

להציג את התשובה והפתרון

זוויות מתאימות שוות רק אם $DE \parallel BC$ , וזה מה שצריך להוכיח. הנימוק מעגלי.

צ.צ.צ

להציג את התשובה והפתרון

הצלע השלישית $DE$ אינה נתונה.

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון צ.ז.צ.

סעיף א, המשך: איך מגיעים מהדמיון להקבלה?

$\angle ADE = \angle ABC$ (זוויות מתאימות במשולשים דומים), ולכן $DE \parallel BC$

להציג את התשובה והפתרון

כן. זוויות מתאימות שוות מוכיחות הקבלה.

$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{1}{3}$ , ולכן $DE \parallel BC$

להציג את התשובה והפתרון

יחס של אורכים לא מוכיח הקבלה. מקבילות מוכיחים בזוויות.

$DE < BC$ , ולכן $DE \parallel BC$

להציג את התשובה והפתרון

קטע קצר יותר אינו בהכרח מקביל.

\angle ADE = \angle ABC \ \Rightarrow \ DE \parallel BC

$DBCE$ טרפז: זוג אחד של צלעות מקבילות.

סעיפים ב ו-ג: מה מחשבים?

$DE = \dfrac{1}{3} \cdot 18 = 6$ , והיקף $= DB + BC + CE + ED$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $DB = 15 - 5 = 10$ , $CE = 12 - 4 = 8$ .

$DE = 6$ , והיקף $= AB + BC + CA$

להציג את התשובה והפתרון

זה היקף המשולש הגדול ( $45$ ), לא של הטרפז.

$DE = \dfrac{1}{3} \cdot 18 = 6$ , והיקף $= 15 + 18 + 12 + 6$

להציג את התשובה והפתרון

$AB$ ו- $AC$ הן צלעות שלמות של המשולש. השוקיים של הטרפז הן $DB$ ו- $CE$ .

\begin{aligned}P &= 10 + 18 + 8 + 6 \\ &= 42\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

$DE=6$ , היקף $42$ . המלכודת בסעיף א: ז.ז עם «מתאימות» היא הנחה של המסקנה. המלכודת בסעיף ג: היקף עם $AB$ ו- $AC$ במקום $DB$ ו- $CE$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

בשאלה 5, איזה חלק משטח המשולש $ABC$ הוא שטח הטרפז $DBCE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = k^2 = \frac{1}{9}$ , ולכן הטרפז הוא $1 - \frac{1}{9} =$ $\frac{8}{9}$ מהשטח. אין צורך בשום מספר של הצלעות: רק $k$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים תאומים. חמשת התרגילים שלמטה בנויים כמו חמש השאלות, עם נתונים אחרים.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=4$ , $DB=8$ ו- $DE=5$ . מצאו את $BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

\begin{aligned}\frac{BC}{DE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

חלק מול שלם: $AB = 4 + 8 = 12$

\begin{aligned}BC &= 3 \cdot 5 \\ &= 15\end{aligned}

התשובה

$BC=15$ . מי שכתב $\frac{BC}{DE} = \frac{DB}{AD} = 2$ קיבל $10$ : $DB$ אינו צלע של אף אחד משני המשולשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ), ו- $AD:DB = 1:2$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $36$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

חלק מול שלם: $1 + 2 = 3$ חלקים

\begin{aligned}S_{ADE} &= 36 \cdot \frac{1}{9} \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 36 - 4 \\ &= 32\end{aligned}

מה שנשאר

$32$ . המלכודת: $k = \frac{1}{2}$ מהיחס $1:2$ . זה חלק מול חלק, ו- $k$ הוא חלק מול שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=3$ , $OB=9$ ו- $AC=5$ . מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז: קודקודיות ב- $O$ , מתחלפות בין $AC \parallel DB$

\begin{aligned}\frac{BD}{AC} &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}BD &= 3 \cdot 5 \\ &= 15\end{aligned}

התשובה

$BD=15$ . $BD$ מול $AC$ (שני המקבילים), $OB$ מול $AO$ . הסדר $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ אומר בדיוק את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ , $BC=20$ והגובה $AH=10$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=4$ . מצאו את $KL$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\begin{aligned}AP &= 10 - 4 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה של המשולש הקטן

\begin{aligned}\frac{KL}{20} &= \frac{6}{10} \ \Rightarrow \ KL \\ &= 12\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון

$KL=12$ . הגובה המתאים הוא $AP = AH - KN$ , לא $KN$ . מי שכתב $\frac{KL}{20} = \frac{4}{10}$ קיבל $8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ , $AB=12$ ו- $AC=9$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=4$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=3$ . הוכיחו או הפריכו: $DBCE$ טרפז.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3} \\ \qquad \frac{AE}{AC} &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

יחסים שווים, והזווית $A$ כלואה ומשותפת

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון צ.ז.צ

\angle ADE = \angle ABC \ \Rightarrow \ DE \parallel BC

זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות; זוויות מתאימות שוות, ולכן מקבילים

הטענה נכונה: $DBCE$ טרפז, כי $DE \parallel BC$ . המשפט שפותח הוא צ.ז.צ, לא ז.ז — ההקבלה היא המסקנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — ישר מקביל לצלע

2 — יחס השטחים

3 — שעון חול

4 — מלבן חסום במשולש

5 — טרפז שמוכיחים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev