סינוס, קוסינוס וטנגנס

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בכניסה לקניון בנתניה בונים כבש לכיסאות גלגלים. הכבש מגיע לגובה 55 מטר, ואורכו על הקרקע 1212 מטר. באמצע הדרך, אחרי 66 מטר על הקרקע, כמה גבוה נמצאים? הסתכלו על השרטוט לפני שתחשבו.

ABCDE
כבש לכיסא גלגלים: ACAC הוא הכבש, BCBC הגובה שלו. באמצע הדרך, בנקודה DD, מודדים את הגובה DEDE. שני משולשים ישרי זווית, אותה זווית AA.

למה המשולש ADEADE והמשולש ABCABC דומים? ומה זה אומר על היחס DEAD\frac{DE}{AD} לעומת CBAB\frac{CB}{AB}?

להציג את התשובה והפתרון

בשניהם יש זווית ישרה, והזווית AA משותפת. שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים לפי ז.ז. במשולשים דומים היחס בין צלעות מתאימות שווה: DEAD=CBAB=512\frac{DE}{AD} = \frac{CB}{AB} = \frac{5}{12}, ולכן DE=6⋅512=2.5DE = 6 \cdot \frac{5}{12} = 2.5 מטר.

זו כל הטריגונומטריה של המשולש ישר הזווית: היחס בין שתי צלעות אינו תלוי בגודל המשולש, אלא רק בזווית. לכן אפשר לתת ליחס שם, ולחשב אותו פעם אחת לכל זווית.

שלושת היחסים

בוחרים זווית חדה α\alpha במשולש. ביחס אליה, לכל צלע יש תפקיד: הניצב שמול הזווית, הניצב שליד הזווית, והיתר. שימו לב: כשעוברים לזווית החדה השנייה, «מול» ו«ליד» מתחלפים, והיתר נשאר יתר.

sin⁡α=ac\sin\alpha = \dfrac{a}{c}

סינוס: הניצב שמול הזווית, חלקי היתר.

cos⁡α=bc\cos\alpha = \dfrac{b}{c}

קוסינוס: הניצב שליד הזווית, חלקי היתר.

tan⁡α=ab\tan\alpha = \dfrac{a}{b}

טנגנס: הניצב שמול, חלקי הניצב שליד. בלי היתר.

כאן aa הוא הניצב שמול α\alpha, bb הניצב שלידה ו-cc היתר. שלושת היחסים מוגדרים לזווית חדה, והזווית נמדדת במעלות.

לפני כל חישוב: לסמן את הזווית, ואז לכתוב ליד כל צלע «מול», «ליד» או «יתר». רוב הטעויות בפרק הן החלפה בין «מול» ל«ליד».

למה הערך תלוי רק בזווית

קחו שני משולשים ישרי זווית עם אותה זווית חדה α\alpha. יש בהם זווית ישרה וזווית α\alpha, ולכן הם דומים לפי ז.ז. במשולשים דומים כל היחסים בין צלעות מתאימות שווים: הניצב שמול α\alpha חלקי היתר יוצא אותו מספר בשניהם. לכן sin⁡α\sin\alpha הוא מספר אחד לכל זווית, ולא משנה באיזה משולש מדדנו אותו. זו הסיבה שמחשבון יכול לדעת את sin⁡37∘\sin 37^\circ בלי לראות את המשולש שלכם.

האם ייתכן ש-sin⁡α=1.2\sin\alpha = 1.2 עבור זווית חדה α\alpha?

להציג את התשובה והפתרון

לא. sin⁡α\sin\alpha הוא ניצב חלקי יתר, והניצב תמיד קצר מהיתר. לכן 0<sin⁡α<10 < \sin\alpha < 1 לכל זווית חדה, וכך גם הקוסינוס. אם קיבלתם סינוס גדול מ-11, החלפתם בין הניצב ליתר.

כשהזווית גדלה

נשאיר את היתר באורך 11 ונגדיל את הזווית α\alpha מ-0∘0^\circ עד 90∘90^\circ. הניצב שמול α\alpha גדל מ-00 עד 11, והניצב שליד קטן מ-11 עד 00. לכן:

sin⁡0∘=0 ⟶ sin⁡90∘=1\begin{aligned}\sin 0^\circ &= 0 \ \longrightarrow \ \sin 90^\circ \\ &= 1\end{aligned}

הסינוס עולה מ-00 ל-11.

cos⁡0∘=1 ⟶ cos⁡90∘=0\begin{aligned}\cos 0^\circ &= 1 \ \longrightarrow \ \cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

הקוסינוס יורד מ-11 ל-00.

tan⁡0∘=0 ⟶ tan⁡90∘ ?\tan 0^\circ = 0 \ \longrightarrow \ \tan 90^\circ \ \text{?}

הטנגנס עולה מ-00 וגדל ללא גבול. ב-90∘90^\circ הניצב שליד הוא 00, ואסור לחלק ב-00: tan⁡90∘\tan 90^\circ אינו מוגדר.

ב-0∘0^\circ וב-90∘90^\circ אין משולש של ממש, אבל הערכים האלה הם הגבולות שאליהם היחסים מתקרבים, ומשתמשים בהם כמו בכל ערך אחר.

מי גדול יותר, sin⁡20∘\sin 20^\circ או sin⁡70∘\sin 70^\circ? ומי גדול יותר, cos⁡20∘\cos 20^\circ או cos⁡70∘\cos 70^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

sin⁡70∘\sin 70^\circ גדול יותר: הסינוס עולה עם הזווית. cos⁡20∘\cos 20^\circ גדול יותר: הקוסינוס יורד עם הזווית. במחשבון: sin⁡70∘≈0.94\sin 70^\circ \approx 0.94 לעומת sin⁡20∘≈0.34\sin 20^\circ \approx 0.34.

טנגנס ושיפוע

ישר במערכת צירים יוצר זווית α\alpha עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx. אם מתקדמים על הישר, ה«עלייה» חלקי ה«התקדמות» היא השיפוע mm. אבל העלייה היא הניצב שמול α\alpha, וההתקדמות היא הניצב שלידה. לכן:

OPQ
הישר OQOQ יוצא מהראשית. כשמתקדמים 44 ימינה עולים 33: השיפוע הוא 34\frac{3}{4}, וזה בדיוק tan⁡\tan של הזווית OO שבין הישר לציר ה-xx.
m=tan⁡αm = \tan\alpha

השיפוע של ישר הוא הטנגנס של הזווית שהוא יוצר עם ציר ה-xx

מהישר לזווית

ישר עובר דרך הנקודות (1, 2)(1,\,2) ו-(4, 8)(4,\,8). מהי הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

m=8−24−1=63=2\begin{aligned}m &= \frac{8-2}{4-1} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע: הפרש ה-yy חלקי הפרש ה-xx

tan⁡α=2\tan\alpha = 2

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית

α=tan⁡−1(2)≈63.43∘\alpha = \tan^{-1}(2) \approx 63.43^\circ

במחשבון: tan⁡−1\tan^{-1}, במצב מעלות

שיפוע חיובי: הישר עולה, והזווית חדה. ישר עם שיפוע 11 יוצר זווית של 45∘45^\circ, כי tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1. ישר יורד? השיפוע שלילי, ואז −m-m הוא הטנגנס של הזווית החדה שבין הישר לציר.

שלוש טעויות שחוזרות בהגדרות.

sin⁡α=bc\sin\alpha = \frac{b}{c}
sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}

סינוס הולך עם הניצב שמול הזווית, aa. הניצב שליד, bb, שייך לקוסינוס.

tan⁡90∘=1\tan 90^\circ = 1
tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1

tan⁡90∘\tan 90^\circ אינו מוגדר: ב-90∘90^\circ הניצב שליד הוא 00, וחילוק ב-00 אסור. הזווית שהטנגנס שלה 11 היא 45∘45^\circ.

sin⁡α=106\sin\alpha = \frac{10}{6}
sin⁡α=610\sin\alpha = \frac{6}{10}

המכנה של סינוס וקוסינוס הוא תמיד היתר, הצלע הארוכה. תוצאה גדולה מ-11 היא סימן שהתהפכתם.

תרגילים

תרגיל 1

RPQ

במשולש PQRPQR הזווית RR ישרה. איזה יחס שווה ל-sin⁡P\sin P?

  1. QRPQ\frac{QR}{PQ}
  2. PRPQ\frac{PR}{PQ}
  3. PQQR\frac{PQ}{QR}
  4. QRPR\frac{QR}{PR}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א QRPQ\frac{QR}{PQ}

הפתרון:

sin⁡P=QRPQ\sin P = \frac{QR}{PQ}

הניצב שמול PP הוא QRQR, והיתר, מול הזווית הישרה, הוא PQPQ

הנכונה: QRPQ\frac{QR}{PQ}. המלכודת: PRPQ\frac{PR}{PQ} הוא cos⁡P\cos P, כי PRPR יוצא מהקדקוד PP ולכן הוא הניצב שליד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

RPQ

במשולש PQRPQR הזווית RR ישרה. איזה יחס שווה ל-tan⁡Q\tan Q?

  1. PRPQ\frac{PR}{PQ}
  2. PRQR\frac{PR}{QR}
  3. QRPR\frac{QR}{PR}
  4. QRPQ\frac{QR}{PQ}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב PRQR\frac{PR}{QR}

הפתרון:

tan⁡Q=PRQR\tan Q = \frac{PR}{QR}

מול QQ נמצא הניצב PRPR, ליד QQ הניצב QRQR. טנגנס: מול חלקי ליד

הנכונה: PRQR\frac{PR}{QR}. QRPR\frac{QR}{PR} הוא tan⁡P\tan P: כשעוברים לזווית השנייה, «מול» ו«ליד» מתחלפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, BC=6BC = 6, AC=8AC = 8 ו-AB=10AB = 10. חשבו את sin⁡A\sin A.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

sin⁡A=BCAB=610=0.6\begin{aligned}\sin A &= \frac{BC}{AB} \\ &= \frac{6}{10} \\ &= 0.6\end{aligned}

BCBC מול AA, ABAB היתר

sin⁡A=0.6\sin A = 0.6. מי שקיבל 0.80.8 לקח את ACAC, הניצב שליד, וזה cos⁡A\cos A.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

CAB

באותו משולש ABCABC (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, BC=6BC = 6, AC=8AC = 8, AB=10AB = 10) חשבו את tan⁡B\tan B. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.33

הפתרון:

tan⁡B=ACBC=86≈1.33\begin{aligned}\tan B &= \frac{AC}{BC} \\ &= \frac{8}{6} \approx 1.33\end{aligned}

מול BB נמצא ACAC, ליד BB נמצא BCBC

tan⁡B≈1.33\tan B \approx 1.33, גדול מ-11: הזווית BB גדולה מ-45∘45^\circ, כי הניצב שמולה ארוך מהניצב שלידה. טנגנס יכול להיות גדול מ-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: קיימת זווית חדה α\alpha שעבורה cos⁡α=1.25\cos\alpha = 1.25.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c}

ניצב חלקי יתר

b<c ⇒ bc<1b < c \ \Rightarrow \ \frac{b}{c} < 1

הניצב קצר מהיתר

הטענה לא נכונה. קוסינוס של זווית חדה תמיד בין 00 ל-11, כי היתר הוא הצלע הארוכה ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מיינו: אילו מהמספרים יכולים להיות sin⁡α\sin\alpha של זווית חדה α\alpha?

  • יכול להיות סינוס של זווית חדה
  • לא יכול
  • −0.2-0.2
  • 12\frac{1}{2}
  • 0.30.3
  • 0.990.99
  • 1.51.5
  • 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.30.3 — יכול להיות סינוס של זווית חדה · 0.990.99 — יכול להיות סינוס של זווית חדה · 12\frac{1}{2} — יכול להיות סינוס של זווית חדה · 1.51.5 — לא יכול · −0.2-0.2 — לא יכול · 22 — לא יכול

הפתרון:

0<sin⁡α<10 < \sin\alpha < 1

הניצב חיובי וקצר מהיתר

סינוס של זווית חדה הוא מספר חיובי וקטן מ-11. שלילי אי אפשר (אורכים חיוביים), ו-1.51.5 או 22 אי אפשר (הניצב קצר מהיתר).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מי מהערכים הבאים הוא הגדול ביותר?

  1. cos⁡10∘\cos 10^\circ
  2. שלושתם שווים
  3. cos⁡40∘\cos 40^\circ
  4. cos⁡80∘\cos 80^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א cos⁡10∘\cos 10^\circ

הפתרון:

cos⁡10∘≈0.98,cos⁡40∘≈0.77,cos⁡80∘≈0.17\cos 10^\circ \approx 0.98 ,\quad \cos 40^\circ \approx 0.77 ,\quad \cos 80^\circ \approx 0.17

הקוסינוס יורד כשהזווית גדלה

הנכונה: cos⁡10∘\cos 10^\circ. ככל שהזווית גדלה, הניצב שלידה מתקצר, והקוסינוס קטן. בסינוס זה הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הישר y=3x−1y = 3x - 1 יוצר זווית α\alpha עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx. חשבו את tan⁡α\tan\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

m=3m = 3

השיפוע של y=3x−1y = 3x - 1

tan⁡α=m=3\begin{aligned}\tan\alpha &= m \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית

tan⁡α=3\tan\alpha = 3. המספר החופשי −1-1 מזיז את הישר למעלה ולמטה ואינו משנה את הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ישר עובר דרך הנקודות (2, 1)(2,\,1) ו-(6, 4)(6,\,4). חשבו את הטנגנס של הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

m=4−16−2=34\begin{aligned}m &= \frac{4-1}{6-2} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע: הפרש ה-yy חלקי הפרש ה-xx

tan⁡α=0.75\tan\alpha = 0.75

השיפוע הוא הטנגנס

tan⁡α=0.75\tan\alpha = 0.75. מי שחישב 43\frac{4}{3} חילק את ההתקדמות בעלייה: הטנגנס הוא עלייה חלקי התקדמות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו tan⁡90∘\tan 90^\circ?

  1. 9090
  2. לא מוגדר
  3. 00
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא מוגדר

הפתרון:

tan⁡α=abb→0\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{a}{b} \\ \quad b \to 0\end{aligned}

ב-90∘90^\circ הניצב שליד מתאפס, ואי אפשר לחלק ב-00

הנכונה: לא מוגדר. sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1 ו-cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0 מוגדרים היטב, אבל 10\frac{1}{0} אינו מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת