זהויות והזוויות המיוחדות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלושת היחסים של אותה זווית נבנים מאותן שלוש צלעות. לכן הם קשורים זה לזה: מי שיודע אחד מהם יכול למצוא את שני האחרים, בלי מחשבון ובלי לדעת את הזווית. הסתכלו על המשולש.

CAB
במשולש ABCABC עם זווית ישרה ב-CC: a=BCa = BC הניצב שמול AA, b=ACb = AC הניצב שליד AA, c=ABc = AB היתר. שלושת היחסים של הזווית AA נבנים מאותן שלוש צלעות.

הזהות הראשונה: טנגנס הוא סינוס חלקי קוסינוס

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

הוכחה מההגדרה. sin⁡αcos⁡α=ac:bc=ac⋅cb=ab=tan⁡α\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = \tan\alpha. היתר cc מצטמצם, ונשאר בדיוק «מול חלקי ליד».

הזהות השנייה: פיתגורס בתחפושת

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

הוכחה ממשפט פיתגורס. במשולש: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. מחלקים את שני האגפים ב-c2c^2: a2c2+b2c2=1\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1, כלומר (ac)2+(bc)2=1\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1, וזה sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. הסימון sin⁡2α\sin^2\alpha פירושו (sin⁡α)2(\sin\alpha)^2.

נתון sin⁡α=0.6\sin\alpha = 0.6 עבור זווית חדה. מהו cos⁡α\cos\alpha? ומהו tan⁡α\tan\alpha?

להציג את התשובה והפתרון

cos⁡2α=1−0.36=0.64\cos^2\alpha = 1 - 0.36 = 0.64, ולכן cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8 (חיובי, כי הזווית חדה). ואז tan⁡α=0.60.8=0.75\tan\alpha = \frac{0.6}{0.8} = 0.75. בלי לדעת את הזווית עצמה.

הזהות השלישית: שתי הזוויות החדות

sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha

במשולש ישר זווית סכום שתי הזוויות החדות הוא 90∘90^\circ: אם אחת היא α\alpha, השנייה היא 90∘−α90^\circ - \alpha. הניצב שמול הזווית הראשונה הוא הניצב שליד השנייה. לכן sin⁡(90∘−α)=bc=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \frac{b}{c} = \cos\alpha, ובאותו אופן cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha.

sin⁡20∘=cos⁡70∘\sin 20^\circ = \cos 70^\circ

שתי הזוויות משלימות ל-90∘90^\circ.

cos⁡35∘=sin⁡55∘\cos 35^\circ = \sin 55^\circ

הניצב שליד 35∘35^\circ הוא הניצב שמול 55∘55^\circ.

sin⁡45∘=cos⁡45∘\sin 45^\circ = \cos 45^\circ

הזווית משלימה את עצמה.

השלימו: cos⁡17∘=sin⁡ ?\cos 17^\circ = \sin \ ?

להציג את התשובה והפתרון

sin⁡73∘\sin 73^\circ, כי 90∘−17∘=73∘90^\circ - 17^\circ = 73^\circ. בדקו במחשבון: שניהם ≈0.956\approx 0.956.

30∘30^\circ ו-60∘60^\circ: חצי משולש שווה צלעות

ההוכחה. במשולש שווה צלעות כל זווית היא 60∘60^\circ. הגובה לבסיס הוא גם תיכון וגם חוצה זווית, ולכן חצי המשולש הוא משולש ישר זווית עם זוויות 30∘30^\circ ו-60∘60^\circ, יתר 22, ניצב 11 מול 30∘30^\circ וניצב 3\sqrt{3} מול 60∘60^\circ. מכאן כל הערכים:

sin⁡30∘=12cos⁡30∘=32tan⁡30∘=13=33\begin{aligned}\sin 30^\circ &= \dfrac{1}{2} \\ \quad \cos 30^\circ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \quad \tan 30^\circ &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

הזווית 30∘30^\circ: מולה הניצב הקצר 11.

sin⁡60∘=32cos⁡60∘=12tan⁡60∘=3\begin{aligned}\sin 60^\circ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \quad \cos 60^\circ &= \dfrac{1}{2} \\ \quad \tan 60^\circ &= \sqrt{3}\end{aligned}

הזווית 60∘60^\circ: מולה הניצב הארוך 3\sqrt{3}.

45∘45^\circ: משולש ישר זווית שווה שוקיים

ABC
חצי ריבוע: שני הניצבים שווים, ולכן שתי הזוויות החדות שוות, 45∘45^\circ כל אחת. עם ניצבים באורך 11, היתר הוא 2\sqrt{2} לפי פיתגורס.

ההוכחה. ניצבים 11 ו-11, ולפי פיתגורס היתר 1+1=2\sqrt{1+1} = \sqrt{2}. שתי הזוויות החדות שוות, ולכן כל אחת 45∘45^\circ. מכאן sin⁡45∘=cos⁡45∘=12=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ו-tan⁡45∘=11=1\tan 45^\circ = \frac{1}{1} = 1.

בדיקה עם הזהות השנייה

ודאו ש-sin⁡230∘+cos⁡230∘=1\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1 וש-sin⁡245∘+cos⁡245∘=1\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = 1.

(12)2+(32)2=14+34=1\begin{aligned}\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 &= \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} \\ &= 1\end{aligned}

הזווית 30∘30^\circ

(22)2+(22)2=24+24=1\begin{aligned}\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 &= \tfrac{2}{4} + \tfrac{2}{4} \\ &= 1\end{aligned}

הזווית 45∘45^\circ

בבחינה כותבים ערך מדויק: 32\frac{\sqrt{3}}{2} ולא 0.870.87. את הערכים לא חייבים לזכור בעל פה: מציירים את חצי המשולש שווה הצלעות ואת חצי הריבוע, וקוראים אותם מהשרטוט.

סינוס של זווית קהה

בנוסחת השטח S=12absin⁡γS = \frac{1}{2}ab\sin\gamma הזווית γ\gamma יכולה להיות קהה, וצריך לדעת מה הסינוס שלה. הכלל: לזווית ולזווית המשלימה אותה ל-180∘180^\circ יש אותו סינוס.

sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha
sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\begin{aligned}\sin 150^\circ &= \sin 30^\circ \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}

180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ

sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\begin{aligned}\sin 120^\circ &= \sin 60^\circ \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

sin⁡135∘=sin⁡45∘=22\begin{aligned}\sin 135^\circ &= \sin 45^\circ \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

180∘−135∘=45∘180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

מהו sin⁡150∘\sin 150^\circ? ומהו sin⁡100∘\sin 100^\circ (במחשבון, שלוש ספרות אחרי הנקודה)?

להציג את התשובה והפתרון

sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. sin⁡100∘=sin⁡80∘≈0.985\sin 100^\circ = \sin 80^\circ \approx 0.985. המחשבון יודע לחשב סינוס של זווית קהה ישירות, אבל כשהזווית «מיוחדת» עדיף הערך המדויק.

שלוש טעויות בזהויות ובערכים.

sin⁡60∘=12\sin 60^\circ = \frac{1}{2}
sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

מול 60∘60^\circ נמצא הניצב הארוך, 3\sqrt{3}. הערך 12\frac{1}{2} שייך ל-sin⁡30∘\sin 30^\circ ול-cos⁡60∘\cos 60^\circ.

sin⁡α+cos⁡α=1\sin\alpha + \cos\alpha = 1
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

הזהות היא על הריבועים. בדיקה: sin⁡45∘+cos⁡45∘=2≠1\sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \sqrt{2} \neq 1.

tan⁡45∘=22\tan 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1

טנגנס הוא ניצב חלקי ניצב, ובחצי ריבוע שני הניצבים שווים. 22\frac{\sqrt{2}}{2} הוא הסינוס והקוסינוס.

תרגילים

תרגיל 1

מהו הערך המדויק של sin⁡60∘\sin 60^\circ?

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. 3\sqrt{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 32\frac{\sqrt{3}}{2}

הפתרון:

sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

בחצי המשולש שווה הצלעות: מול 60∘60^\circ הניצב 3\sqrt{3}, והיתר 22

הנכונה: 32\frac{\sqrt{3}}{2}. 12\frac{1}{2} הוא sin⁡30∘\sin 30^\circ; 3\sqrt{3} הוא tan⁡60∘\tan 60^\circ, ולא יכול להיות סינוס כי הוא גדול מ-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הערך המדויק של tan⁡30∘\tan 30^\circ?

  1. 3\sqrt{3}
  2. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 33\frac{\sqrt{3}}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 33\frac{\sqrt{3}}{3}

הפתרון:

tan⁡30∘=13=33\begin{aligned}\tan 30^\circ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

מול 30∘30^\circ הניצב 11, לידו הניצב 3\sqrt{3}

הנכונה: 33\frac{\sqrt{3}}{3}. 3\sqrt{3} הוא tan⁡60∘\tan 60^\circ: היחס ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

עבור זווית חדה α\alpha נתון sin⁡α=0.8\sin\alpha = 0.8. חשבו את cos⁡α\cos\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

cos⁡2α=1−0.82=1−0.64=0.36\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.8^2 \\ &= 1 - 0.64 \\ &= 0.36\end{aligned}

הזהות sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

cos⁡α=0.36=0.6\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{0.36} \\ &= 0.6\end{aligned}

הזווית חדה, ולכן הקוסינוס חיובי

cos⁡α=0.6\cos\alpha = 0.6. מי שכתב cos⁡α=1−0.8=0.2\cos\alpha = 1 - 0.8 = 0.2 שכח שהזהות היא על הריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

עבור זווית חדה α\alpha נתון cos⁡α=0.6\cos\alpha = 0.6. חשבו את tan⁡α\tan\alpha. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.33

הפתרון:

sin⁡α=1−0.36=0.8\begin{aligned}\sin\alpha &= \sqrt{1 - 0.36} \\ &= 0.8\end{aligned}

הזהות השנייה

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=0.80.6≈1.33\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ &= \frac{0.8}{0.6} \approx 1.33\end{aligned}

הזהות הראשונה

tan⁡α≈1.33\tan\alpha \approx 1.33. שתי זהויות, שני צעדים: קודם הסינוס מפיתגורס, ואז טנגנס = סינוס חלקי קוסינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

השלימו לפי הזהות sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha.

sin⁡25∘=cos⁡\sin 25^\circ = \cos ____∘^\circ , cos⁡10∘=sin⁡\cos 10^\circ = \sin ____∘^\circ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡25∘=cos⁡\sin 25^\circ = \cos 65∘^\circ , cos⁡10∘=sin⁡\cos 10^\circ = \sin 80∘^\circ

הפתרון:

90∘−25∘=65∘90^\circ - 25^\circ = 65^\circ

הזווית המשלימה

90∘−10∘=80∘90^\circ - 10^\circ = 80^\circ

הזווית המשלימה

הזוויות משלימות ל-90∘90^\circ, לא ל-180∘180^\circ: הן שתי הזוויות החדות של אותו משולש ישר זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו הערך המדויק של sin⁡135∘\sin 135^\circ?

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. −22-\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. 12\frac{1}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 22\frac{\sqrt{2}}{2}

הפתרון:

sin⁡135∘=sin⁡(180∘−45∘)=sin⁡45∘\begin{aligned}\sin 135^\circ &= \sin(180^\circ - 45^\circ) \\ &= \sin 45^\circ\end{aligned}

לזווית ולמשלימה שלה ל-180∘180^\circ אותו סינוס

=22= \frac{\sqrt{2}}{2}

מחצי הריבוע

הנכונה: 22\frac{\sqrt{2}}{2}. סינוס של זווית קהה הוא חיובי, בדיוק כמו של הזווית החדה המשלימה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו הערך המדויק של sin⁡120∘\sin 120^\circ?

  1. 3\sqrt{3}
  2. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. 12\frac{1}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 32\frac{\sqrt{3}}{2}

הפתרון:

sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\begin{aligned}\sin 120^\circ &= \sin 60^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

הנכונה: 32\frac{\sqrt{3}}{2}. המלכודת: 12\frac{1}{2}, מי שחישב 120∘−90∘=30∘120^\circ - 90^\circ = 30^\circ. משלימים ל-180∘180^\circ, לא ל-90∘90^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: sin⁡150∘=sin⁡30∘\sin 150^\circ = \sin 30^\circ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ

הזווית המשלימה ל-180∘180^\circ

sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\begin{aligned}\sin 150^\circ &= \sin 30^\circ \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הזהות sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha

הטענה נכונה. זה הכלל שמאפשר להשתמש בנוסחת השטח גם כשהזווית בין הצלעות קהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל יחס את ערכו המדויק.

  • sin⁡30∘\sin 30^\circ
  • cos⁡30∘\cos 30^\circ
  • tan⁡45∘\tan 45^\circ
  • sin⁡45∘\sin 45^\circ
  • 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  • 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • 12\frac{1}{2}
  • 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡30∘\sin 30^\circ — 12\frac{1}{2} · cos⁡30∘\cos 30^\circ — 32\frac{\sqrt{3}}{2} · tan⁡45∘\tan 45^\circ — 11 · sin⁡45∘\sin 45^\circ — 22\frac{\sqrt{2}}{2}

הפתרון:

1:2:31 : 2 : \sqrt{3}

חצי המשולש שווה הצלעות: 30∘30^\circ מול 11

1:1:21 : 1 : \sqrt{2}

חצי הריבוע: 45∘45^\circ

שני שרטוטים נותנים את כל הטבלה. cos⁡30∘=sin⁡60∘\cos 30^\circ = \sin 60^\circ: אותו מספר, שתי זוויות משלימות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה. נסמן a=BCa = BC, b=ACb = AC, c=ABc = AB. הוכיחו: sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1.

  • ∠C=90∘\angle C = 90^\circ
  • a=BCa = BC, b=ACb = AC, c=ABc = AB

sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1

להציג את התשובה והפתרון
  1. a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 — משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית ABCABC
  2. sin⁡A=ac\sin A = \frac{a}{c}, cos⁡A=bc\cos A = \frac{b}{c} — הגדרת הסינוס והקוסינוס: aa מול AA, bb ליד AA, cc היתר
  3. sin⁡2A+cos⁡2A=a2c2+b2c2=a2+b2c2\sin^2 A + \cos^2 A = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} — מציבים ומחברים שברים עם אותו מכנה
  4. sin⁡2A+cos⁡2A=c2c2=1\sin^2 A + \cos^2 A = \frac{c^2}{c^2} = 1 — מציבים a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 במונה

הפתרון:

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

פיתגורס

a2c2+b2c2=1\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1

מחלקים ב-c2c^2

ההוכחה היא פיתגורס חלקי c2c^2. המלכודת: לנמק ב«סכום הזוויות», שאינו קשור לאורכי הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת