ערך מוחלט — משוואות ואי-שוויונות · משוואות ואי-שוויונות — שיטת הקטעים · כיתה י׳

הסתכלו על הגרף של $y=|x-2|$ ועל הישר $y=3$ . המשוואה $|x-2|=3$ שואלת איפה הם נפגשים, והאי-שוויון $|x-2|<3$ שואל איפה ה-V מתחת לישר.

על פי הגרף, מה הפתרון של $|x-2|<3$ ? ומה הפתרון של $|x-2|>3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$-1<x<5$ — בין שתי נקודות החיתוך, שם ה-V מתחת לישר. ו- $|x-2|>3$ הוא $x<-1$ או $x>5$ — שני הקטעים שבחוץ.

ערך מוחלט הוא מרחק

|a|=\begin{cases} a, & a\ge0 \\ -a, & a<0 \end{cases}

$|x-2|$ הוא המרחק בין $x$ לבין $2$ על ציר המספרים. לכן $|x-2|<3$ פירושו « $x$ במרחק פחות מ- $3$ מ- $2$ » — ורואים מיד את הקטע $-1<x<5$ .

|x-a|<r \iff a-r<x<a+r

קרוב ל- $a$ : קטע אחד

|x-a|>r \iff x<a-r \ \text{או}\ x>a+r

רחוק מ- $a$ : שני קטעים

ומכאן גם: $|x|=-3$ אין לה פתרון, ו- $|x|>-2$ מתקיים לכל $x$ — כי מרחק אינו שלילי. ועוד עובדה שחוזרת בפונקציות: $\sqrt{x^2}=|x|$ , ולא $x$ .

כשבאגף השני יש $x$

במשוואה $|x-3|=2x$ האגף הימני תלוי ב- $x$ , ולכן חובה לבדוק כל פתרון בסוף. נסו:

פעילות אינטראקטיבית

ערך מוחלט שווה לביטוי

פתרו את המשוואה $|x-3|=2x$ . בכל שלב — בחרו את הצעד הנכון.

איך מתחילים?

מפצלים לשני מקרים: $x-3=2x$ או $x-3=-2x$

להציג את התשובה והפתרון

נכון. מה שבתוך הערך המוחלט שווה לאגף השני, או לנגדי שלו.

מעלים את שני האגפים בחזקה שלישית

להציג את התשובה והפתרון

חזקה שלישית לא מבטלת ערך מוחלט. $|a|^3$ עדיין תלוי בסימן.

כותבים $x-3=2x$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

כך מאבדים את המקרה שבו $x-3$ שלילי. ערך מוחלט נותן שני מקרים.

\begin{aligned}x-3 &= 2x \quad \text{או} \quad x-3 \\ &= -2x\end{aligned}

שתי משוואות ליניאריות.

מה הפתרונות של שתי המשוואות?

$x=-3$ ו- $x=1$

להציג את התשובה והפתרון

נכון: $x-3=2x \Rightarrow x=-3$ , ו- $3x=3 \Rightarrow x=1$ .

$x=3$ ו- $x=-1$

להציג את התשובה והפתרון

בדקו שוב את המעבר אגף: $x-3=2x$ נותן $-3=x$ .

$x=-3$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

גם המשוואה השנייה פתירה: $x-3=-2x \Rightarrow 3x=3$ .

\begin{aligned}x &= -3 \quad \text{או} \quad x \\ &= 1\end{aligned}

שני מועמדים — עוד לא פתרונות.

מה עושים עכשיו?

מציבים כל מועמד במשוואה המקורית

להציג את התשובה והפתרון

נכון. $x=-3$ : $\ |{-6}|=6$ אבל $2x=-6$ — נפסל. $x=1$ : $\ |{-2}|=2=2x$ ✓.

עונים $x=-3$ או $x=1$

להציג את התשובה והפתרון

$x=-3$ נותן בצד שמאל $6$ ובצד ימין $-6$ . ערך מוחלט לא יכול להיות שווה למספר שלילי.

בוחרים את הפתרון החיובי כי ערך מוחלט חיובי

להציג את התשובה והפתרון

הכלל «בוחרים חיובי» מקרי. בודקים את האגף הימני $2x\ge0$ , או מציבים.

x=1

רק $x=1$ עומד בבדיקה.

להציג את התשובה והפתרון

$x=1$ . הצבה בודקת את מה שהפיצול לא רואה: באגף הימני $2x$ חייב להיות אי-שלילי.

לעשות את הפעילות ב-elev

אי-שוויון עם ערך מוחלט

פתרו: $|2x+1|\ge5$ .

2x+1\ge5 \quad \text{או} \quad 2x+1\le-5

«גדול מ» — שני קטעים, מחוץ לטווח

x\ge2 \quad \text{או} \quad x\le-3

פותרים כל אחד

הערך המוחלט של פונקציה

את $y=|f(x)|$ משרטטים מהגרף של $f$ : מה שמעל הציר נשאר, ומה שמתחתיו מתהפך למעלה.

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-4|=3$ ? ולמשוואה $|x^2-4|=4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ל- $|x^2-4|=3$ — ארבעה: $x^2=7$ או $x^2=1$ , כלומר $\pm\sqrt7,\ \pm1$ . ל- $|x^2-4|=4$ — שלושה: $x^2=8$ או $x^2=0$ . הישר $y=4$ עובר בדיוק דרך ה«פסגה» שהתהפכה, ב- $(0,4)$ .

שלוש טעויות של ערך מוחלט.

|x+2|<5 \Rightarrow x<3

-5<x+2<5 \Rightarrow -7<x<3

ערך מוחלט קטן מ- $5$ פירושו שני גבולות. $x=-10$ מקיים $x<3$ אבל $|{-8}|=8$ .

\begin{aligned}|x-3| &= 2x \Rightarrow x \\ &= -3 \ \text{או}\ x \\ &= 1\end{aligned}

x=1

כשבאגף השני יש $x$ , מציבים כל מועמד. $x=-3$ נותן $6=-6$ .

|x|>-2 \Rightarrow \varnothing

|x|>-2 \ \text{לכל}\ x

מרחק תמיד גדול ממספר שלילי, ולכן זה לא «אין פתרון» ( $\varnothing$ ). «אין פתרון» שייך ל- $|x|<-2$ .

תרגילים

תרגיל 1

פתרו: $|x-3|=7$ .

$x=10$
$x=10$ או $x=4$
$x=4$ או $x=-10$
$x=10$ או $x=-4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x=10$ או $x=-4$

הפתרון:

\begin{aligned}x-3 &= 7 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

מקרה ראשון

\begin{aligned}x-3 &= -7 \Rightarrow x \\ &= -4\end{aligned}

מקרה שני

המספרים שמרחקם מ- $3$ הוא $7$ : אחד מימין ואחד משמאל. מי שכותב $x=-10$ פותר $|x+3|=7$ . התשובה: $x=10$ או $x=-4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה מספרים שלמים מקיימים $|x+1|<4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

-4<x+1<4

קטע אחד

-5<x<3

מחסירים $1$

\{-4,-3,-2,-1,0,1,2\}

שבעה שלמים

$|x+1|$ הוא המרחק מ- $-1$ , לא מ- $1$ . והקצוות $-5$ ו- $3$ לא נכללים באי-שוויון חזק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו את האי-שוויון $|2x-3|\ge5$ .

$x\le-4$ או $x\ge1$
$-1\le x\le4$
$x\ge4$
$x\le-1$ או $x\ge4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x\le-1$ או $x\ge4$

הפתרון:

2x-3\ge5 \Rightarrow x\ge4

מקרה ראשון

2x-3\le-5 \Rightarrow x\le-1

מקרה שני

«גדול או שווה» — שני קטעים בחוץ, לא קטע אחד באמצע. התשובה: $x\le-1$ או $x\ge4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו את המשוואה $|x-4|=2x+1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}x-4 &= 2x+1 \Rightarrow x \\ &= -5\end{aligned}

מקרה ראשון

\begin{aligned}x &= -5:\ |{-9}| \\ &= 9 \\ \ 2x+1 &= -9 \ \text{נפסל}\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}x-4 &= -(2x+1) \Rightarrow 3x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

מקרה שני

\begin{aligned}x &= 1:\ |{-3}| \\ &= 3 \\ &= 2\cdot1+1 \ \checkmark\end{aligned}

הצבה

$x=-5$ יוצא מהחישוב אבל נותן $9=-9$ . כשבאגף השני יש $x$ — מציבים כל מועמד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: $\sqrt{x^2}=x$ לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x &= -3:\ \sqrt{(-3)^2} \\ &= \sqrt9 \\ &= 3\end{aligned}

דוגמה נגדית

3\ne-3

הטענה נכשלת

\sqrt{x^2}=|x|

הזהות הנכונה

הטענה שגויה. שורש ריבועי אינו שלילי לעולם, ולכן $\sqrt{x^2}=|x|$ . השוויון $\sqrt{x^2}=x$ נכון רק ל- $x\ge0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הגרף של

y=|x-1|

והישר

y=2

לפניכם הגרף של $y=|x-1|$ והישר $y=2$ . איזה אי-שוויון פתרונו $-1<x<3$ ?

$|x-1|<2$
$|x-1|\le2$
$|x-1|>2$
$|x+1|<2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $|x-1|<2$

הפתרון:

-1<x<3

הקטע שבו ה-V מתחת לישר

|x-1|<2 \iff -2<x-1<2 \iff -1<x<3

בדיקה אלגברית

$|x-1|\le2$ כוללת גם את הקצוות $-1$ ו- $3$ . ו- $|x+1|<2$ נותן $-3<x<1$ — מרחק מ- $-1$ . התשובה: $|x-1|<2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-4|=3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}x^2-4 &= 3 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt7\end{aligned}

מקרה ראשון

\begin{aligned}x^2-4 &= -3 \Rightarrow x \\ &= \pm1\end{aligned}

מקרה שני

4 \ \text{פתרונות}

מי שפותר רק $x^2-4=3$ עונה «שניים». בגרף של $|x^2-4|$ יש גם את החלק שהתהפך, והישר $y=3$ חותך גם אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בפתרון של $|x+2|\le3$ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

-3\le x+2\le3

-3-2\le x\le3-2

-1\le x\le1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $-1\le x\le1$ → $-5\le x\le1$

הפתרון:

-3\le x+2\le3

קטע אחד

\begin{aligned}-3-2 &= -5 \\ \quad 3-2 &= 1\end{aligned}

מחסירים $2$ משלושת האגפים

$-3-2=-5$ , לא $-1$ . בדיקה מהירה: המרכז של הקטע צריך להיות $-2$ — ובקטע $-1\le x\le1$ המרכז הוא $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השלימו את הפתרון של $|x-5|<2$ .

____ $<x<$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3 $<x<$ 7

הפתרון:

-2<x-5<2

קטע אחד

3<x<7

מוסיפים $5$

המספרים שמרחקם מ- $5$ פחות מ- $2$ . הקצוות לא נכללים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל אי-שוויון את הפתרון שלו.

$|x|<2$
$|x|>2$
$|x-2|<1$
$|x|<-2$

$-2<x<2$
$1<x<3$
$x<-2$ או $x>2$
אין פתרון

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $|x|<2$ — $-2<x<2$ · $|x|>2$ — $x<-2$ או $x>2$ · $|x-2|<1$ — $1<x<3$ · $|x|<-2$ — אין פתרון

הפתרון:

|x|<2

קרוב ל- $0$ — קטע אחד

|x|>2

רחוק מ- $0$ — שני קטעים

|x-2|<1:\ 1<x<3

קרוב ל- $2$

|x|\ge0>-2

מרחק אינו קטן ממספר שלילי

ההבדל בין קטע אחד לבין שני קטעים הוא כל ההבדל בין $<$ ל- $>$ . ו- $|x|<-2$ — אין לה פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ערך מוחלט הוא מרחק

כשבאגף השני יש xxx

הערך המוחלט של פונקציה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

כשבאגף השני יש $x$