תחום הגדרה ואי-שוויונות רציונליים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שבר שיש במכנה שלו xx אינו מוגדר בכל מקום. הסתכלו על הגרף לפני שאנחנו כותבים אף כלל:

על פי הגרף, מתי x−1x+2<0\frac{x-1}{x+2}<0?

להציג את התשובה והפתרון

−2<x<1-2<x<1. שם הגרף מתחת לציר. ב-x=1x=1 השבר שווה 00, וב-x=−2x=-2 הוא לא מוגדר — אף אחת מהנקודות לא נכללת.

שברים אלגבריים ותחום הגדרה

הסדר קבוע ואי אפשר לדלג עליו: מפרקים כל מונה וכל מכנה, רושמים תחום הגדרה, ורק אז מצמצמים.

תחום ההגדרה נקבע לפי המכנה המקורי, לפני הצמצום. גורם שהצטמצם ונעלם מהתשובה עדיין פוסל את הערך שמאפס אותו.

משוואה עם נעלם במכנה

סדר מלא

פתרו: xx−2=4x−2+1\frac{x}{x-2} = \frac{4}{x-2} + 1.

x≠2x \neq 2

קודם כול — תחום הגדרה

x=4+(x−2)x = 4 + (x - 2)

כופלים את שני האגפים ב-(x−2)(x-2) — במשוואה זה מותר

x=x+2x = x + 2

מפשטים

0=20 = 2

סתירה

⇒\Rightarrow

אין פתרון: המשוואה לא מתקיימת לאף xx

ולפעמים קורה ההפך: הפתרון שיוצא הוא בדיוק הערך שנפסל בתחום ההגדרה. גם אז הוא אינו פתרון.

אי-שוויון רציונלי: f(x)g(x)≥0\frac{f(x)}{g(x)}\ge0

במשוואה מותר לכפול במכנה. באי-שוויון אסור — הסימן של המכנה משתנה עם xx, וכפל בשלילי הופך את הסימן. אבל יש עובדה פשוטה: לשבר ולמכפלה אותו סימן. לכן עובדים בשיטת הקטעים, עם שני סוגים של נקודות:

f(x)=0f(x)=0

שורש של המונה — השבר שווה 00. נכלל ב-≥\ge וב-≤\le.

g(x)=0g(x)=0

שורש של המכנה — השבר לא מוגדר. לעולם לא נכלל.

f(x)g(x)≥0  ⟺  f(x)⋅g(x)≥0 וגם g(x)≠0\frac{f(x)}{g(x)}\ge0 \iff f(x)\cdot g(x)\ge0 \ \text{וגם}\ g(x)\ne0

צמצמתם (x−3)(x+1)(x−3)\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)} ל-x+1x+1. מה חייב להופיע בתשובה?

להציג את התשובה והפתרון

תחום ההגדרה x≠3x \neq 3. הגורם שהצטמצם ונעלם עדיין פוסל את הערך שמאפס אותו — התחום נקבע לפי המכנה המקורי.

שלוש הטעויות של הפרק.

x2x−3=9x−3⇒x=±3\begin{aligned}\frac{x^2}{x-3} &= \frac{9}{x-3} \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}
x=−3x=-3

הפתרון x=3x=3 מאפס את המכנה. פתרון שנפסל בתחום ההגדרה אינו פתרון.

x+3x−1≥2⇒x+3≥2(x−1)\frac{x+3}{x-1}\ge2 \Rightarrow x+3\ge2(x-1)
5−xx−1≥0\frac{5-x}{x-1}\ge0

כפל במכנה שסימנו לא ידוע אסור באי-שוויון. מעבירים אגף ומביאים למכנה משותף.

x−4x+1≥0⇒x≤−1 או x≥4\frac{x-4}{x+1}\ge0 \Rightarrow x\le-1 \ \text{או}\ x\ge4
x<−1 או x≥4x<-1 \ \text{או}\ x\ge4

את x=4x=4 מצרפים, את x=−1x=-1 לא — שם המכנה מתאפס.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו: xx−3=3x−3+2\frac{x}{x-3} = \frac{3}{x-3} + 2

  1. אין פתרון
  2. x=3x = 3
  3. x=−3x = -3
  4. x=5x = 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אין פתרון

הפתרון:

x≠3x \neq 3

תחום הגדרה

x=3+2(x−3)x = 3 + 2(x-3)

כופלים את שני האגפים ב-(x−3)(x-3) — גם את ה-22

x=2x−3⇒x=3\begin{aligned}x &= 2x-3 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

מפשטים

x=3 נפסלx=3 \ \text{נפסל}

הערך היחיד שיצא מאפס את המכנה

החישוב נותן x=3x=3 — בדיוק הערך שנפסל בתחום ההגדרה, ולכן הוא אינו פתרון. מי שעונה x=5x=5 שכח לכפול את ה-22 במכנה. התשובה: אין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בביטוי x2−1x2−4\frac{x^2-1}{x^2-4}, כמה ערכים של xx אסורים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2−4=0x^2 - 4 = 0

מאפסים את המכנה

x=2  x=−2\begin{aligned}x &= 2 \ \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני ערכים

רק המכנה קובע את תחום ההגדרה. ±1\pm1 מאפסים את המונה — שם השבר שווה 00, והוא מוגדר היטב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

צמצמו: x2−1x−1\frac{x^2 - 1}{x - 1}

  1. x−1x - 1
  2. לא ניתן לצמצום
  3. x+1x + 1 לכל xx
  4. x+1x + 1, כאשר x≠1x \neq 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x+1x + 1, כאשר x≠1x \neq 1

הפתרון:

(x−1)(x+1)x−1\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}

מפרקים את המונה

x+1,x≠1x + 1,\quad x\ne1

מצמצמים, והתנאי נשאר

הגורם נעלם מהתשובה, אבל התנאי נשאר — x=1x = 1 עדיין אסור. התשובה: x+1x+1, כאשר x≠1x\ne1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

צמצמו x2−9x−3\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} וחשבו את ערכו ב-x=5x = 5.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

(x−3)(x+3)x−3=x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3

מצמצמים, בתנאי x≠3x \neq 3

5+3=85 + 3 = 8

מציבים

התנאי x≠3x \neq 3 נשאר בתוקף אחרי הצמצום: אם היו שואלים על x=3x=3, התשובה הייתה «לא מוגדר» ולא 66.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו תחום ההגדרה של x+1x2−4\dfrac{x+1}{x^2 - 4}?

  1. כל xx פרט ל-22 ול-−2-2
  2. כל xx פרט ל-22
  3. כל xx
  4. כל xx פרט ל-−1-1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כל xx פרט ל-22 ול-−2-2

הפתרון:

x2−4≠0x^2 - 4 \neq 0

המכנה

(x−2)(x+2)≠0⇒x≠±2(x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x\ne\pm2

מפרקים

שני ערכים נפסלים — x2=4x^2=4 גם ב-x=−2x=-2. ו-x=−1x=-1 מאפס את המונה, לא את המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את האי-שוויון x−4x+1≥0\frac{x-4}{x+1}\ge0.

  1. x<−1x<-1 או x≥4x\ge4
  2. x≤−1x\le-1 או x≥4x\ge4
  3. x≥4x\ge4
  4. −1<x≤4-1<x\le4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x<−1x<-1 או x≥4x\ge4

הפתרון:

x=4 (מונה)x=−1 (מכנה)\begin{aligned}x &= 4\ (\text{מונה}) \\ \quad x &= -1\ (\text{מכנה})\end{aligned}

הנקודות על הציר

x>4: +,−1<x<4: −,x<−1: +x>4:\ +,\quad -1<x<4:\ -,\quad x<-1:\ +

סימנים בשיטת הקטעים

x<−1 או x≥4x<-1 \ \text{או}\ x\ge4

x=4x=4 נכלל, x=−1x=-1 לא

הטעות השכיחה היא לכלול את x=−1x=-1 «כי הסימן ≥\ge». שם המכנה מתאפס. התשובה: x<−1x<-1 או x≥4x\ge4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמה מספרים שלמים מקיימים x+3x−2<0\frac{x+3}{x-2}<0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x=−3x=2\begin{aligned}x &= -3 \\ \quad x &= 2\end{aligned}

שורש המונה ושורש המכנה

−3<x<2-3<x<2

השבר שלילי בין שתי הנקודות

{−2,−1,0,1}\{-2,-1,0,1\}

ארבעה שלמים

x=−3x=-3 נותן 00, ו-0<00<0 לא נכון; x=2x=2 לא מוגדר. אף אחת מהנקודות לא נכללת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו את האי-שוויון x+5x−2≥2\frac{x+5}{x-2}\ge2.

  1. 2≤x≤92\le x\le9
  2. x<2x<2 או x≥9x\ge9
  3. x≤9x\le9
  4. 2<x≤92<x\le9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 2<x≤92<x\le9

הפתרון:

x+5x−2−2≥0⇒9−xx−2≥0\frac{x+5}{x-2}-2\ge0 \Rightarrow \frac{9-x}{x-2}\ge0

מעבירים אגף ומכנה משותף

x<2: −,2<x<9: +,x>9: −x<2:\ -,\quad 2<x<9:\ +,\quad x>9:\ -

שיטת הקטעים

2<x≤92<x\le9

x=9x=9 נכלל, x=2x=2 לא

x≤9x\le9 היא התשובה של מי שכפל במכנה: x=0x=0 מקיים אותה, אבל 5−2=−2.5\frac{5}{-2}=-2.5 אינו ≥2\ge2. התשובה: 2<x≤92<x\le9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: האי-שוויון x2+1x−3>0\frac{x^2+1}{x-3}>0 מתקיים בדיוק כאשר x>3x>3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x2+1>0 לכל xx^2+1>0 \ \text{לכל}\ x

המונה תמיד חיובי

x2+1x−3>0  ⟺  x−3>0\frac{x^2+1}{x-3}>0 \iff x-3>0

לכן הסימן של השבר הוא הסימן של המכנה

x>3x>3

נכון. למונה אין שורשים, ולכן אין לו השפעה על הסימן. מי שמחפש «שורשים של המונה» ומוצא ±1\pm1 — טעה: x2+1≠0x^2+1\ne0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו את המשוואה x2x−3=9x−3\frac{x^2}{x-3}=\frac{9}{x-3}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

x≠3x\ne3

תחום הגדרה

x2=9⇒x=±3\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}

כופלים במכנה — במשוואה מותר

x=3 נפסל⇒x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \text{נפסל} \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

בודקים מול תחום ההגדרה

x=3x=3 יוצא מהחישוב, אבל הוא מאפס את המכנה. הפתרון היחיד הוא x=−3x=-3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת