פותרים יחד · משוואות ואי-שוויונות — שיטת הקטעים · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל נושא בפרק. כל שאלה נפתרת לאט, שלב אחרי שלב — ואחריה שאלה קצרה לבדוק שהבנתם, ותרגיל-תאום לפתור לבד למטה.

לפני כל שאלה נסו לענות בעצמכם על השאלה «מה הצעד הראשון?». רוב הנקודות בבגרות הולכות לאיבוד בצעד הזה — כפל במכנה, חילוק ב- $x$ , או שכחה של תחום ההגדרה.

שאלה 1 — משוואה דו-ריבועית ושיטת הקטעים

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x)=x^4-10x^2+9$

f(x)=x^4-10x^2+9

א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר $x$ . ב. פתרו את האי-שוויון $f(x)<0$ . לחצו «להתחיל».

א — הצבה

\begin{aligned}t &= x^2:\quad t^2-10t+9 \\ &= 0\end{aligned}

בפולינום רק חזקות זוגיות — מציבים $t=x^2$ .

א — פתרון ב-t

\begin{aligned}(t-1)(t-9) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 1 \\ \ t &= 9\end{aligned}

שני ערכים חיוביים.

א — חוזרים ל-x

\begin{aligned}x &= \pm1 \\ \quad x &= \pm3\end{aligned}

נקודות החיתוך: $(-3,0),\ (-1,0),\ (1,0),\ (3,0)$ .

ב — פירוק

f(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)

את $t^2-10t+9=(t-1)(t-9)$ כותבים ב- $x$ , ומפרקים הפרשים.

ב — סימנים

x>3:\ +,\ \ 1<x<3:\ -,\ \ -1<x<1:\ +,\ \ -3<x<-1:\ -,\ \ x<-3:\ +

ארבעה שורשים מריבוי 1 — הסימן מתחלף בכל אחד.

ב — תשובה

-3<x<-1 \quad \text{או} \quad 1<x<3

הקטעים השליליים, בלי השורשים.

סעיף א' הכין את סעיף ב': השורשים שמצאנו הם הנקודות של שיטת הקטעים. בבגרות כמעט תמיד יש קשר כזה בין הסעיפים.

לעשות את הפעילות ב-elev

בלי לחשב: מה הסימן של $f(0)$ , ואיך זה מתאים לתשובה של סעיף ב'?

להציג את התשובה והפתרון

$f(0)=9>0$ . ואכן $x=0$ נמצא בקטע $-1<x<1$ , שבו $f$ חיובית — ולכן הוא לא בתשובה של $f(x)<0$ .

שאלה 2 — אי-שוויון רציונלי

פעילות אינטראקטיבית

אי-שוויון עם מכנה

פתרו את האי-שוויון $\frac{2x-1}{x+3}\le1$ .

מה הצעד הראשון?

מעבירים את $1$ שמאלה ומביאים למכנה משותף

להציג את התשובה והפתרון

נכון. באגף ימין נשאר $0$ .

כופלים ב- $(x+3)$ : $\ 2x-1\le x+3$

להציג את התשובה והפתרון

הסימן של $x+3$ לא ידוע. כך מקבלים $x\le4$ — וגם $x=-4$ «עובר», אבל $\frac{-9}{-1}=9$ אינו $\le1$ .

רושמים $x\ne-3$ ועונים $x\le4$

להציג את התשובה והפתרון

תחום ההגדרה חשוב, אבל הוא לא מחליף את בדיקת הסימן בכל קטע.

\frac{2x-1-(x+3)}{x+3}\le0 \Rightarrow \frac{x-4}{x+3}\le0

זהירות עם הסוגריים: $-(x+3)=-x-3$ .

מה הסימנים של $\frac{x-4}{x+3}$ ?

$x<-3:\ +$ , $\ -3<x<4:\ -$ , $\ x>4:\ +$

להציג את התשובה והפתרון

נכון. למשל $x=0$ : $\ \frac{-4}{3}<0$ .

$x<-3:\ -$ , $\ -3<x<4:\ +$ , $\ x>4:\ -$

להציג את התשובה והפתרון

הציבו $x=10$ : $\ \frac{6}{13}>0$ . מימין הסימן חיובי.

שלילי בכל מקום פרט ל- $x=4$

להציג את התשובה והפתרון

סימן של שבר משתנה בשורשי המונה ובשורשי המכנה.

x<-3:\ +,\quad -3<x<4:\ -,\quad x>4:\ +

שתי נקודות — שלושה קטעים, והסימן מתחלף בכל אחת.

מה התשובה?

$-3<x\le4$

להציג את התשובה והפתרון

נכון. $x=4$ נותן $0$ ונכלל; $x=-3$ לא מוגדר.

$-3\le x\le4$

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=-3$ המכנה מתאפס. נקודה מהמכנה לעולם לא נכללת.

$x\le4$

להציג את התשובה והפתרון

זו תשובת מי שכפל במכנה. $x=-4$ לא מקיים את האי-שוויון.

-3<x\le4

הקטע השלילי, עם $x=4$ ובלי $x=-3$ .

להציג את התשובה והפתרון

$-3<x\le4$ . שלושה צעדים: אגף אחד ומכנה משותף, שיטת הקטעים, ובדיקת הקצוות — המונה נכלל, המכנה לא.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה היה משתנה בתשובה אם האי-שוויון היה חזק, $\frac{2x-1}{x+3}<1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$-3<x<4$ . עכשיו גם $x=4$ לא נכלל, כי שם השבר שווה בדיוק $1$ . הצד של $-3$ לא משתנה — הוא לא נכלל בשום מקרה.

שאלה 3 — ערך מוחלט ופרמטר

y=|x^2-2x|

. הפרבולה

x^2-2x

הייתה מתחת לציר בין

0

ל-

2

— שם היא התהפכה, והקודקוד

(1,-1)

הפך ל«פסגה»

(1,1)

. הישר המקווקו:

y=\tfrac12

פעילות אינטראקטיבית

כמה פתרונות יש ל- $|x^2-2x|=k$ ?

|x^2-2x|=k

לאילו ערכי $k$ יש למשוואה ארבעה פתרונות? הגרף למעלה הוא הכלי. לחצו «להתחיל».

שורשים

\begin{aligned}x^2-2x &= x(x-2) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שם הגרף נוגע בציר.

קודקוד

\begin{aligned}x &= 1:\ 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

הקודקוד של הפרבולה מתחת לציר...

היפוך

|{-1}|=1 \Rightarrow (1,1)

...ובגרף של הערך המוחלט הוא «פסגה» בגובה $1$ .

ישר אופקי

\begin{aligned}0<k<1:\ 4 \\ \quad k &= 1:\ 3 \\ \quad k>1:\ 2 \\ \quad k &= 0:\ 2\end{aligned}

מזיזים את $y=k$ ומונים נקודות חיתוך.

בדיקה

\begin{aligned}k &= \tfrac12:\ x^2-2x \\ &= \tfrac12 \ \text{או}\ x^2-2x \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

לכל אחת מהמשוואות $\Delta>0$ — שני פתרונות לכל אחת, ארבעה בסך הכול.

תשובה

0<k<1

רק כשהישר עובר מתחת לפסגה ומעל הציר הוא חותך את הגרף ארבע פעמים.

$0<k<1$ . הערכים המיוחדים של $k$ הם תמיד הגבהים של נקודות מיוחדות בגרף — כאן $0$ ו- $1$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

למה ב- $k=0$ יש רק שני פתרונות ולא ארבעה?

להציג את התשובה והפתרון

כי $|x^2-2x|=0$ פירושו $x^2-2x=0$ — אין «מקרה שני» עם מינוס, $-0=0$ . הישר $y=0$ נוגע בגרף ב- $x=0$ וב- $x=2$ בלבד.

שאלה 4 — פרמטר בפולינום ושיטת הקטעים

פעילות אינטראקטיבית

נתון $f(x)=x^3+ax^2-4x-12$ , ו- $x=-2$ שורש

\begin{aligned}f(x) &= x^3+ax^2-4x-12 \\ \quad f(-2) &= 0\end{aligned}

א. מצאו את $a$ . ב. פתרו את האי-שוויון $f(x)\le0$ . לחצו «להתחיל».

א — הצבה

\begin{aligned}f(-2) &= -8+4a+8-12 \\ &= 0\end{aligned}

« $x=-2$ שורש» פירושו $f(-2)=0$ .

א — תשובה

\begin{aligned}4a &= 12 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

משוואה ליניארית ב- $a$ .

ב — קיבוץ

x^3+3x^2-4x-12=x^2(x+3)-4(x+3)

עם $a=3$ הפולינום מתפרק בקיבוץ איברים.

ב — פירוק

=(x+3)(x-2)(x+2)

ואכן $x=-2$ שורש — בדיקה חינם לסעיף א'.

ב — סימנים

x>2:\ +,\ \ -2<x<2:\ -,\ \ -3<x<-2:\ +,\ \ x<-3:\ -

שלושה שורשים מריבוי 1.

ב — תשובה

x\le-3 \quad \text{או} \quad -2\le x\le2

הקטעים השליליים, עם השורשים.

הפירוק שיצא בסעיף ב' מכיל את הגורם $(x+2)$ — סימן שסעיף א' נכון.

לעשות את הפעילות ב-elev

אם הייתם טועים ומוצאים $a=2$ , איך הייתם מגלים את הטעות בסעיף ב'?

להציג את התשובה והפתרון

עם $a=2$ יוצא $f(-2)=-8+8+8-12=-4\ne0$ : הפולינום לא היה מתחלק ב- $(x+2)$ , והפירוק לא היה «נסגר». שורש שנתון בשאלה חייב להופיע כגורם.

שאלה 5 — מתי אי-שוויון מתקיים לכל $x$

פעילות אינטראקטיבית

פרמטר בטרינום

לאילו ערכי $m$ מתקיים $x^2-2mx+m+6>0$ לכל $x$ ?

מה צריך לבדוק?

מקדם מוביל חיובי ודיסקרימיננטה שלילית

להציג את התשובה והפתרון

נכון. $a=1>0$ כבר מתקיים, ונשאר $\Delta<0$ .

רק שהמקדם החופשי חיובי: $m+6>0$

להציג את התשובה והפתרון

גם $x^2-10x+1$ עם מקדם חופשי חיובי יורד מתחת לציר, למשל ב- $x=5$ .

שהדיסקרימיננטה חיובית

להציג את התשובה והפתרון

$\Delta>0$ פירושו שני שורשים — והפרבולה חוצה את הציר ויורדת מתחתיו.

\Delta=(2m)^2-4(m+6)<0

הדיסקרימיננטה של הטרינום ב- $x$ , כש- $b=-2m$ ו- $c=m+6$ .

מה מקבלים אחרי פישוט?

$m^2-m-6<0$

להציג את התשובה והפתרון

נכון: $4m^2-4m-24<0$ , ומחלקים ב- $4$ החיובי.

$m^2-m+6<0$

להציג את התשובה והפתרון

$-4\cdot6=-24$ . הסימן של $6$ מתהפך.

$4m^2-4m-24>0$

להציג את התשובה והפתרון

הכיוון הפוך: אנחנו רוצים $\Delta<0$ .

m^2-m-6<0 \Rightarrow (m-3)(m+2)<0

אי-שוויון ריבועי בפרמטר.

מה התשובה?

$-2<m<3$

להציג את התשובה והפתרון

נכון. פרבולה ב- $m$ «מחייכת» — שלילית בין השורשים.

$m<-2$ או $m>3$

להציג את התשובה והפתרון

זה התחום שבו $\Delta>0$ — שם יש שורשים.

$-2\le m\le3$

להציג את התשובה והפתרון

ב- $m=3$ : $\ x^2-6x+9=(x-3)^2$ מתאפס. האי-שוויון חזק.

-2<m<3

הקטע שבו $\Delta<0$ — לכל $m$ כזה הפרבולה ב- $x$ כולה מעל הציר.

להציג את התשובה והפתרון

$-2<m<3$ . אי-שוויון «לכל $x$ » הופך לאי-שוויון ב- $m$ — ושוב שיטת הקטעים.

לעשות את הפעילות ב-elev

בדקו את התשובה: הציבו $m=0$ . האם $x^2+6>0$ לכל $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כן, $x^2\ge0$ ולכן $x^2+6\ge6>0$ . ו- $m=0$ נמצא בתוך $-2<m<3$ — מתאים.

למטה חמישה תרגילי-תאום, אחד לכל שאלה. פתרו אותם לבד, באותו סדר צעדים.

תרגילים

תרגיל 1

תאום לשאלה 1. פתרו את האי-שוויון $x^4-5x^2+4\ge0$ .

$-2\le x\le-1$ או $1\le x\le2$
$x\le-2$ או $x\ge2$
$x\le-2$ או $-1\le x\le1$ או $x\ge2$
$-2\le x\le2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x\le-2$ או $-1\le x\le1$ או $x\ge2$

הפתרון:

\begin{aligned}t^2-5t+4 &= (t-1)(t-4) \Rightarrow x \\ &= \pm1 \\ \ \pm2\end{aligned}

שורשים

(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\ge0

פירוק

x>2:+,\ 1<x<2:-,\ -1<x<1:+,\ -2<x<-1:-,\ x<-2:+

סימנים

x\le-2 \ \text{או}\ -1\le x\le1 \ \text{או}\ x\ge2

הקטעים החיוביים עם השורשים

הקטע האמצעי $-1\le x\le1$ נשכח בקלות: $f(0)=4>0$ . ארבעה שורשים — חמישה קטעים, שלושה מהם חיוביים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

תאום לשאלה 2. כמה מספרים שלמים מקיימים $\frac{x+5}{x-1}\ge3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\frac{x+5-3(x-1)}{x-1}\ge0 \Rightarrow \frac{8-2x}{x-1}\ge0

אגף אחד ומכנה משותף

x<1:\ -,\quad 1<x<4:\ +,\quad x>4:\ -

סימנים

1<x\le4

$x=4$ נכלל, $x=1$ לא

\{2,3,4\}

שלושה שלמים

מי שכופל במכנה מקבל $x\le4$ — אינסוף שלמים. וסופרים את $4$ , לא את $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

תאום לשאלה 3. כמה ערכים שלמים של $k$ נותנים למשוואה $|x^2-6x+5|=k$ בדיוק ארבעה פתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2-6x+5=(x-1)(x-5)

שורשים $1$ ו- $5$

\begin{aligned}x &= 3:\ 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

הקודקוד מתחת לציר

(3,4)

אחרי ההיפוך — פסגה בגובה $4$

\begin{aligned}0<k<4 \Rightarrow k &= 1 \\ 2 \\ 3\end{aligned}

ארבעה פתרונות

$k=4$ נותן שלושה פתרונות — הישר נוגע בפסגה. והקצה $k=0$ נותן שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

תאום לשאלה 4. נתון $f(x)=x^3+bx^2-x-2$ , וידוע ש- $x=1$ שורש של $f$ . פתרו $f(x)>0$ .

$-2<x<-1$ או $x>1$
$-2<x<1$
$x>1$
$x<-2$ או $-1<x<1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $-2<x<-1$ או $x>1$

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= 1+b-1-2 \\ &= 0 \Rightarrow b \\ &= 2\end{aligned}

מציבים את השורש

x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x-1)(x+1)

קיבוץ איברים

x>1:+,\ -1<x<1:-,\ -2<x<-1:+,\ x<-2:-

סימנים

-2<x<-1 \ \text{או}\ x>1

מי שעוצר ב- $x>1$ שוכח את הקטע החיובי השני בין $-2$ ל- $-1$ . כל הקטעים, לא רק הימני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

תאום לשאלה 5. כמה ערכים שלמים של $m$ מקיימים: $x^2+2mx+3m+4>0$ לכל $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\Delta=4m^2-4(3m+4)<0

$a=1>0$ , וצריך $\Delta<0$

m^2-3m-4<0 \Rightarrow (m-4)(m+1)<0

מחלקים ב- $4$ ומפרקים

-1<m<4

שלילי בין השורשים

m\in\{0,1,2,3\}

ארבעה שלמים

$m=-1$ ו- $m=4$ נותנים $\Delta=0$ — שורש כפול שבו הביטוי שווה $0$ . לכן הם לא נספרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1 — משוואה דו-ריבועית ושיטת הקטעים

שאלה 2 — אי-שוויון רציונלי

שאלה 3 — ערך מוחלט ופרמטר

שאלה 4 — פרמטר בפולינום ושיטת הקטעים

שאלה 5 — מתי אי-שוויון מתקיים לכל xxx

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

שאלה 5 — מתי אי-שוויון מתקיים לכל $x$