סדרה 1 — קל · משוואות ואי-שוויונות — שיטת הקטעים · כיתה י׳

עשר שאלות קצרות מכל נושאי הפרק: פירוק, משוואה דו-ריבועית, שיטת הקטעים, שבר, ערך מוחלט. כל אחת נפתרת בשתיים-שלוש שורות.

לפני כל אי-שוויון — העבירו הכול לאגף אחד. רוב הטעויות של הסדרה הזאת הן שורש שנשכח או קצה שנכלל בטעות.

תרגילים

תרגיל 1

מהו סכום הפתרונות של המשוואה $x(x-2)(x+5)=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או}\ x-2 \\ &= 0 \ \text{או}\ x+5 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלה שווה לאפס אם אחד הגורמים אפס

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ 2 \\ \ -5\end{aligned}

שלושה פתרונות

0+2-5=-3

הסכום

הגורם $(x+5)$ מתאפס ב- $x=-5$ , לא ב- $5$ . ו- $x=0$ הוא פתרון לגיטימי — גם אם הוא לא משנה את הסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את האי-שוויון $x^2<16$ .

$-4<x<4$
$x<-4$ או $x>4$
$x<\pm4$
$x<4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $-4<x<4$

הפתרון:

x^2-16<0 \Rightarrow (x-4)(x+4)<0

אגף אחד ופירוק

-4<x<4

פרבולה «מחייכת» — שלילית בין השורשים

$x<4$ כולל את $x=-10$ , אבל $100$ אינו קטן מ- $16$ . ו-« $x<\pm4$ » אינו פתרון. התשובה: $-4<x<4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

למשוואה $|x+2|=5$ שני פתרונות. מהו הפתרון החיובי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x+2 &= 5 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

מקרה ראשון

\begin{aligned}x+2 &= -5 \Rightarrow x \\ &= -7\end{aligned}

מקרה שני

$|x+2|$ הוא המרחק מ- $-2$ . שני המספרים במרחק $5$ ממנו: $3$ ו- $-7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$x=3$ הוא שורש של הפולינום $x^3-27$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}3^3-27 &= 27-27 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים

x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)

ולכן $(x-3)$ גורם

נכון. «שורש» פירושו שההצבה נותנת $0$ — וזה כל מה שצריך לבדוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה פתרונות יש למשוואה $x^4-81=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

(x^2-9)(x^2+9)=0

הפרש של שני ביטויים בחזקה שנייה

\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}

x^2=-9

אין פתרון

מעלה רביעית אינה אומרת ארבעה פתרונות. $x^2+9$ חיובי תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את האי-שוויון $\frac{x-2}{x+1}>0$ .

$x>2$
$x<-1$ או $x>2$
$x\le-1$ או $x\ge2$
$-1<x<2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x<-1$ או $x>2$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 2\ (\text{מונה}) \\ \quad x &= -1\ (\text{מכנה})\end{aligned}

נקודות על הציר

x<-1:+,\quad -1<x<2:-,\quad x>2:+

סימנים

x<-1 \ \text{או}\ x>2

$x>2$ לבד שוכח את $x=-5$ : $\frac{-7}{-4}>0$ . שני שליליים נותנים חיובי. התשובה: $x<-1$ או $x>2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השלימו את הפתרון של $x^2-5x+6\le0$ .

____ $\le x\le$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2 $\le x\le$ 3

הפתרון:

(x-2)(x-3)\le0

פירוק: סכום $5$ , מכפלה $6$

2\le x\le3

בין השורשים, עם השורשים

הגבולות הם השורשים עצמם, והם נכללים כי הסימן $\le$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו: אילו מספרים מקיימים $|x-1|\le2$ ?

מקיים
לא מקיים

$x=-1$
$x=-2$
$x=0$
$x=3.5$
$x=3$
$x=4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=-1$ — מקיים · $x=0$ — מקיים · $x=3$ — מקיים · $x=4$ — לא מקיים · $x=-2$ — לא מקיים · $x=3.5$ — לא מקיים

הפתרון:

-2\le x-1\le2 \Rightarrow -1\le x\le3

קטע אחד

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ 3\end{aligned}

הקצוות נכללים

המספרים שמרחקם מ- $1$ לכל היותר $2$ . הקצוות $-1$ ו- $3$ מקיימים בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו הפתרון הגדול ביותר של $x^4-5x^2+4=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2:\ t^2-5t+4 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 1 \\ \ t &= 4\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}x &= \pm1 \\ \ \pm2\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

$4$ הוא ערך של $t$ . הפתרון הגדול ב- $x$ הוא $\sqrt4=2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לפניכם הגרף של פרבולה $f$ . מה הפתרון של $f(x)\ge0$ ?

$1\le x\le5$
$x\le1$ או $x\ge5$
$x\ge5$
$1<x<5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $1\le x\le5$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 5\end{aligned}

נקודות החיתוך עם ציר $x$

1\le x\le5

הגרף מעל הציר בין הנקודות, ועליו בנקודות עצמן

הפרבולה «בוכה», ולכן בפנים היא חיובית. ו- $\ge$ מצרף את $1$ ואת $5$ . התשובה: $1\le x\le5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev