סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בינוניות: פולינום שצריך לנחש לו שורש, אי-שוויון רציונלי, ערך מוחלט עם xx באגף השני ופרמטר ראשון.

כשבאגף השני של ערך מוחלט יש xx — הציבו כל מועמד. וכשיש מכנה — לא כופלים בו.

תרגילים

תרגיל 1

מהו השורש הגדול ביותר של x3−6x2+11x−6x^3-6x^2+11x-6?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(1)=1−6+11−6=0\begin{aligned}f(1) &= 1-6+11-6 \\ &= 0\end{aligned}

מנחשים שורש מבין המחלקים של 66

x3−6x2+11x−6=(x−1)(x2−5x+6)x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)

השוואת מקדמים

=(x−1)(x−2)(x−3)=(x-1)(x-2)(x-3)

פירוק הטרינום

ניחוש השורש הוא רק ההתחלה: אחרי x=1x=1 מפרקים את מה שנשאר כדי למצוא את כל השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את האי-שוויון x3>xx^3>x.

  1. x<−1x<-1 או x>1x>1
  2. −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1
  3. x>1x>1
  4. x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1

הפתרון:

x3−x>0⇒x(x−1)(x+1)>0x^3-x>0 \Rightarrow x(x-1)(x+1)>0

אגף אחד ופירוק

x>1:+, 0<x<1:−, −1<x<0:+, x<−1:−x>1:+,\ 0<x<1:-,\ -1<x<0:+,\ x<-1:-

שיטת הקטעים

−1<x<0 או x>1-1<x<0 \ \text{או}\ x>1

חילוק ב-xx נותן x2>1x^2>1 ומכניס את x=−2x=-2, שבו −8>−2-8>-2 שגוי. התשובה: −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה מספרים שלמים מקיימים ∣2x−1∣<5|2x-1|<5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

−5<2x−1<5-5<2x-1<5

קטע אחד

−4<2x<6⇒−2<x<3-4<2x<6 \Rightarrow -2<x<3

מוסיפים 11 ומחלקים ב-22

{−1,0,1,2}\{-1,0,1,2\}

ארבעה שלמים

מי שמחלק ב-22 רק את האגף האמצעי מקבל קטע רחב מדי. פעולה על אי-שוויון כפול — על שלושת האגפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו את האי-שוויון x+1x−3≤0\frac{x+1}{x-3}\le0.

  1. −1<x<3-1<x<3
  2. −1≤x<3-1\le x<3
  3. −1≤x≤3-1\le x\le3
  4. x≤−1x\le-1 או x>3x>3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −1≤x<3-1\le x<3

הפתרון:

x=−1 (מונה)x=3 (מכנה)\begin{aligned}x &= -1\ (\text{מונה}) \\ \quad x &= 3\ (\text{מכנה})\end{aligned}
x<−1:+,−1<x<3:−,x>3:+x<-1:+,\quad -1<x<3:-,\quad x>3:+

סימנים

−1≤x<3-1\le x<3

−1-1 נכלל, 33 לא

השבר שווה 00 ב-x=−1x=-1 ולכן הוא נכלל; ב-x=3x=3 הוא לא מוגדר. התשובה: −1≤x<3-1\le x<3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הפתרון החיובי של x4−8x2−9=0x^4-8x^2-9=0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

t2−8t−9=0⇒(t−9)(t+1)=0\begin{aligned}t^2-8t-9 &= 0 \Rightarrow (t-9)(t+1) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה t=x2t=x^2

t=9⇒x=±3t=−1 נפסל\begin{aligned}t &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm3 \\ \quad t &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

t=−1t=-1 נפסל, ולכן יש רק שני פתרונות: ±3\pm3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: (x−1)2(x+2)>0(x-1)^2(x+2)>0 לכל x>−2x>-2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x=1: 02⋅3=0\begin{aligned}x &= 1:\ 0^2\cdot3 \\ &= 0\end{aligned}

דוגמה נגדית

0>0 שגוי0>0 \ \text{שגוי}

הטענה שגויה. בשורש הכפול x=1x=1 הביטוי שווה 00. הנכון: (x−1)2(x+2)>0(x-1)^2(x+2)>0 לכל x>−2x>-2 פרט ל-x=1x=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בפתרון של x3−16x≥0x^3-16x\ge0 שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x3−16x≥0x^3-16x\ge0
x(x−4)(x+4)≥0x(x-4)(x+4)\ge0
−4≤x≤4-4\le x\le4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: −4≤x≤4-4\le x\le4 → −4≤x≤0 או x≥4-4\le x\le0 \ \text{או}\ x\ge4

הפתרון:

x(x−4)(x+4)≥0x(x-4)(x+4)\ge0

שלושה שורשים

x>4:+, 0<x<4:−, −4<x<0:+, x<−4:−x>4:+,\ 0<x<4:-,\ -4<x<0:+,\ x<-4:-

הסימנים מתחלפים בכל שורש

הפולינום ממעלה שלישית, לא טרינום: x=1x=1 נותן 1−16=−15<01-16=-15<0 ולכן אינו פתרון. והשורש x=0x=0 נשכח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו את המשוואה ∣x−2∣=3x−2|x-2|=3x-2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x−2=3x−2⇒x=0\begin{aligned}x-2 &= 3x-2 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

מקרה ראשון

x=0: ∣−2∣=2 3⋅0−2=−2 נפסל\begin{aligned}x &= 0:\ |{-2}| \\ &= 2 \\ \ 3\cdot0-2 &= -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

הצבה

x−2=−(3x−2)⇒4x=4⇒x=1\begin{aligned}x-2 &= -(3x-2) \Rightarrow 4x \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

מקרה שני

x=1: ∣−1∣=1=3−2 ✓\begin{aligned}x &= 1:\ |{-1}| \\ &= 1 \\ &= 3-2 \ \checkmark\end{aligned}

הצבה

x=0x=0 יוצא מהחישוב אבל נותן 2=−22=-2. כשבאגף השני יש xx — בודקים כל מועמד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לאילו ערכי kk אין פתרון למשוואה x2+4x+k=0x^2+4x+k=0?

  1. k<4k<4
  2. k>4k>4
  3. k≥4k\ge4
  4. k>16k>16
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב k>4k>4

הפתרון:

Δ=16−4k<0\Delta=16-4k<0

אין פתרון: דיסקרימיננטה שלילית

k>4k>4

k=4k=4 נותן (x+2)2=0(x+2)^2=0 — פתרון אחד, לא אפס. ו-k>16k>16 שוכח את המקדם 44 שב-4ac4ac. התשובה: k>4k>4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את שלבי הפתרון של x−3x+2≥0\frac{x-3}{x+2}\ge0.

  • x<−2x<-2 או x≥3x\ge3
  • x=3x=3 נכלל, x=−2x=-2 לא נכלל
  • נקודות: x=3x=3 מהמונה, x=−2x=-2 מהמכנה
  • סימנים: x<−2: +x<-2:\ +,  −2<x<3: −\ -2<x<3:\ -,  x>3: +\ x>3:\ +
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודות: x=3x=3 מהמונה, x=−2x=-2 מהמכנה · סימנים: x<−2: +x<-2:\ +,  −2<x<3: −\ -2<x<3:\ -,  x>3: +\ x>3:\ + · x=3x=3 נכלל, x=−2x=-2 לא נכלל · x<−2x<-2 או x≥3x\ge3

הפתרון:

x=3x=−2\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad x &= -2\end{aligned}

שתי נקודות

x<−2:+, −2<x<3:−, x>3:+x<-2:+,\ -2<x<3:-,\ x>3:+

סימנים

x<−2 או x≥3x<-2 \ \text{או}\ x\ge3

בודקים את הקצוות אחרי הסימנים: נקודה מהמונה נכללת ב-≥\ge, נקודה מהמכנה לעולם לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת