סדרה 3 — מאתגר · משוואות ואי-שוויונות — שיטת הקטעים · כיתה י׳

עשר שאלות מאתגרות: הצבה של ביטוי שלם, ריבוי זוגי, מכנה שמשנה סימן, ערך מוחלט של פונקציה וקריאה מגרף.

בשורש מריבוי זוגי הסימן לא מתחלף. סמנו אותו על הציר בצבע אחר לפני שאתם כותבים סימנים.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המשוואה $(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8=0$ . מהו סכום כל הפתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2-3x:\ t^2-2t-8 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 4 \\ \ t &= -2\end{aligned}

הצבה של הביטוי שחוזר

\begin{aligned}x^2-3x-4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= -1\end{aligned}

$t=4$

\begin{aligned}x^2-3x+2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

$t=-2$ — כאן $t$ מותר להיות שלילי

4-1+1+2=6

הסכום

מי שפוסל את $t=-2$ «כי $t$ שלילי» מאבד שני פתרונות. הפסילה נכונה רק כש- $t=x^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את האי-שוויון $\frac{x^2-4}{x-1}\ge0$ .

$x\le-2$ או $1<x\le2$
$x\ge2$
$-2\le x\le1$ או $x\ge2$
$-2\le x<1$ או $x\ge2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $-2\le x<1$ או $x\ge2$

הפתרון:

\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge0

פירוק המונה

x>2:+,\ 1<x<2:-,\ -2<x<1:+,\ x<-2:-

שלוש נקודות: $-2,\ 1,\ 2$

-2\le x<1 \ \text{או}\ x\ge2

$\pm2$ נכללים, $1$ לא

מי שמתעלם מהמכנה בשיטת הקטעים מקבל $x\le-2$ או $x\ge2$ — סימנים הפוכים לגמרי. התשובה: $-2\le x<1$ או $x\ge2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-5x|=6$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}x^2-5x &= 6 \Rightarrow (x-6)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

מקרה ראשון: $x=6,\ -1$

\begin{aligned}x^2-5x &= -6 \Rightarrow (x-2)(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

מקרה שני: $x=2,\ 3$

4 \ \text{פתרונות}

המקרה השני נותן פתרונות אמיתיים: בגרף של $|x^2-5x|$ יש «פסגה» בגובה $6.25$ , והישר $y=6$ חותך גם אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו את האי-שוויון $(x-3)^2(x+1)(x-5)\le0$ .

$-1\le x\le5$
$-1\le x\le3$
$x\le-1$ או $x\ge5$
$-1\le x<3$ או $3<x\le5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $-1\le x\le5$

הפתרון:

(x-3)^2\ge0

הגורם הכפול לא משנה סימן

(x+1)(x-5)\le0 \Rightarrow -1\le x\le5

הסימן נקבע לפי שני הגורמים האחרים

x=3 \in [-1,5]

ובנקודה $x=3$ הביטוי שווה $0$ — נכלל ממילא

מי שמוציא את $x=3$ מהתשובה פותר את $<0$ . ב- $\le$ הנקודה נכללת. התשובה: $-1\le x\le5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

האם ייתכן שלמשוואה מהצורה $x^4+bx^2+c=0$ יש פתרון אחד בלבד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}b &= 1 \\ \ c &= 0:\ x^4+x^2 \\ &= 0\end{aligned}

דוגמה

\begin{aligned}x^2(x^2+1) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

$x^2+1$ לא מתאפס

\begin{aligned}t &= 0 \ \text{ו-}\ t \\ &= -1\end{aligned}

ב- $t$ : אפס ושלילי

כן. פתרון יחיד $x=0$ מתקבל כש- $t=0$ פתרון והערך השני של $t$ שלילי (או ששניהם $0$ , כמו ב- $x^4=0$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו הערך השלם הגדול ביותר של $k$ שעבורו $x^2+kx+4>0$ לכל $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\Delta=k^2-16<0

$a=1>0$

(k-4)(k+4)<0 \Rightarrow -4<k<4

k=3

$k=4$ נותן $(x+2)^2$ , שמתאפס ב- $x=-2$ . הקצה לא נכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את האי-שוויון $\frac{2}{x-1}<1$ .

$x<3$
$x<1$ או $x>3$
$1<x<3$
$x>3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x<1$ או $x>3$

הפתרון:

\frac{2-(x-1)}{x-1}<0 \Rightarrow \frac{3-x}{x-1}<0

אגף אחד

x<1:-,\quad 1<x<3:+,\quad x>3:-

סימנים

x<1 \ \text{או}\ x>3

כפל ב- $(x-1)$ נותן $x>3$ ומאבד את כל $x<1$ — שם השבר שלילי ובוודאי קטן מ- $1$ . התשובה: $x<1$ או $x>3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה המשוואה $x^5-5x^3+4x=0$ . השלימו.

מספר הפתרונות הוא ____, והפתרון הגדול ביותר הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר הפתרונות הוא 5, והפתרון הגדול ביותר הוא 2.

הפתרון:

x(x^4-5x^2+4)=0

גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או}\ t^2-5t+4 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \pm1 \\ \ \pm2\end{aligned}

חמישה פתרונות

מי שמחלק ב- $x$ סופר ארבעה. גורם משותף שומר על $x=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו את האי-שוויון $|x-1|\ge2x-5$ . מהו הערך הגדול ביותר של $x$ שמקיים אותו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x\ge1:\ x-1\ge2x-5 \Rightarrow x\le4

מקרה ראשון: $1\le x\le4$

x<1:\ 1-x\ge2x-5 \Rightarrow x\le2

מקרה שני: כל $x<1$

x\le4

איחוד שני המקרים

בכל מקרה חותכים עם התנאי של המקרה ( $x\ge1$ או $x<1$ ), ורק אז מאחדים. ב- $x=4$ : $|3|=3=2\cdot4-5$ — השוויון מתקיים ולכן $4$ נכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לפניכם הגרף של הפולינום $f(x)=(x+3)(x-1)^2$ . פתרו את האי-שוויון $\frac{f(x)}{x-2}\le0$ .

$-3\le x<2$
$x\le-3$ או $x>2$
$-3\le x\le2$
$-3<x<2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $-3\le x<2$

הפתרון:

x<-3:\ f<0,\ x-2<0 \Rightarrow +

שני שליליים

-3<x<2:\ f\ge0,\ x-2<0 \Rightarrow \le0

מהגרף: $f\ge0$ שם

x>2:\ f>0,\ x-2>0 \Rightarrow +

-3\le x<2

$x=-3$ ו- $x=1$ נותנים $0$ ; $x=2$ לא מוגדר

$x=2$ מאפס את המכנה ולכן לא נכלל, גם באי-שוויון $\le$ . התשובה: $-3\le x<2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev