סדרה 5 — לקראת הבגרות · משוואות ואי-שוויונות — שיטת הקטעים · כיתה י׳

עשר שאלות בסגנון הבגרות. חלקן בנויות כסעיפים של שאלה אחת: קודם מוצאים פרמטר, ואחר כך פותרים אי-שוויון.

בבגרות כל סעיף מכין את הבא. השתמשו בתשובה הקודמת — ובדקו אותה: שורש נתון חייב להופיע כגורם.

תרגילים

תרגיל 1

נתון הפולינום $f(x)=x^3+ax^2-9x-9$ . ידוע ש- $x=-1$ הוא שורש של $f$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}f(-1) &= -1+a+9-9 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את השורש

a=1

הטעות השכיחה היא בסימן של $-9\cdot(-1)=+9$ . בודקים: $x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x^2-9)$ — הגורם $(x+1)$ מופיע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון $f(x)=x^3+x^2-9x-9$ . פתרו את האי-שוויון $f(x)<0$ .

$-1<x<3$
$x<-3$ או $-1<x<3$
$-3<x<-1$ או $x>3$
$x<3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x<-3$ או $-1<x<3$

הפתרון:

x^2(x+1)-9(x+1)=(x+1)(x-3)(x+3)

קיבוץ איברים

x>3:+,\ -1<x<3:-,\ -3<x<-1:+,\ x<-3:-

שלושה שורשים

x<-3 \ \text{או}\ -1<x<3

הקטע $x<-3$ נשכח כשמסתכלים רק «בין השורשים». פולינום ממעלה שלישית עם מקדם מוביל חיובי שלילי משמאל. התשובה: $x<-3$ או $-1<x<3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{x^2-4}{x+1}$ . כמה מספרים שלמים בתחום $-5\le x\le5$ מקיימים $g(x)\ge0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}\ge0

פירוק

x>2:+,\ -1<x<2:-,\ -2<x<-1:+,\ x<-2:-

שלוש נקודות

-2\le x<-1 \ \text{או}\ x\ge2

\{-2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}

חמישה שלמים בתחום

בקטע $-2\le x<-1$ יש רק שלם אחד, $-2$ — כי $-1$ לא מוגדר. ו- $x=0$ נותן $-4<0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: אם $f(x)\ge0$ לכל $x$ , אז $|f(x)|=f(x)$ לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

|a|=a \iff a\ge0

הגדרת ערך מוחלט

f(x)\ge0 \Rightarrow |f(x)|=f(x)

מציבים $a=f(x)$ לכל $x$

נכון. ולכן הגרף של $|f|$ שונה מהגרף של $f$ רק בקטעים שבהם $f$ שלילית — שם הוא מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לאילו ערכי $k$ יש למשוואה $x^4-6x^2=k$ בדיוק ארבעה פתרונות?

$-3<k<0$
$k>-9$
$-9<k<0$
$k<0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $-9<k<0$

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2:\ t^2-6t-k \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

t_1 \neq t_2,\quad t_1, t_2 > 0

ארבעה פתרונות בדיוק כשיש שני ערכי $t$ חיוביים ושונים

\begin{aligned}\Delta &= 36+4k>0 \\ \quad t_1t_2 &= -k>0\end{aligned}

דיסקרימיננטה חיובית ומכפלה חיובית (הסכום $6$ כבר חיובי)

-9<k<0

$k>-9$ כולל את $k=1$ , שבו אחד מערכי $t$ שלילי ויש רק שני פתרונות. בגרף: הישר צריך לעבור בין המינימום $-9$ לבין $0$ . התשובה: $-9<k<0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-6x+5|=4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x^2-6x+5 &= 4 \Rightarrow x^2-6x+1 \\ &= 0\end{aligned}

מקרה ראשון: $\Delta=32>0$ — שני פתרונות

\begin{aligned}x^2-6x+5 &= -4 \Rightarrow (x-3)^2 \\ &= 0\end{aligned}

מקרה שני: פתרון אחד, $x=3$

2+1=3

המקרה השני נותן שורש כפול — פתרון אחד, לא שניים. בגרף: $y=4$ נוגע בפסגה $(3,4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לאילו ערכי $a$ מתקיים $ax^2-4x+a>0$ לכל $x$ ?

$a>0$
$-2<a<2$
$a>2$ או $a<-2$
$a>2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $a>2$

הפתרון:

a>0

הפרבולה צריכה «לחייך»

\Delta=16-4a^2<0 \Rightarrow a<-2 \ \text{או}\ a>2

ואין שורשים

a>2

חיתוך שני התנאים

$a<-2$ מקיים את תנאי הדיסקרימיננטה, אבל הפרבולה אז כולה מתחת לציר. התשובה: $a>2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כמה מספרים שלמים מקיימים $\frac{x^2-9}{x^2+x-2}<0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x-1)}<0

פירוק

x>3:+,\ 1<x<3:-,\ -2<x<1:+,\ -3<x<-2:-,\ x<-3:+

ארבע נקודות: $-3,\ -2,\ 1,\ 3$

-3<x<-2 \ \text{או}\ 1<x<3

x=2

בקטע $-3<x<-2$ אין אף שלם

הקטע $-3<x<-2$ פתוח משני הצדדים ולכן ריק משלמים. והנקודות עצמן לא נכללות באי-שוויון חזק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בפתרון של $|x-1|>x+3$ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x\ge1:\ x-1>x+3 \Rightarrow -1>3

x<1:\ 1-x>x+3

-2x>2 \Rightarrow x>-1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $-2x>2 \Rightarrow x>-1$ → $-2x>2 \Rightarrow x<-1$

הפתרון:

x\ge1

אין פתרון — סתירה

x<1:\ -2x>2

מעבירים אגף

x<-1

חילוק במספר שלילי הופך את הסימן

חילוק ב- $-2$ הופך את הכיוון. הפתרון המלא: $x<-1$ (והוא מקיים גם את $x<1$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הוכיחו כי $x^4-2x^2+1\ge0$ לכל $x$ .

$x$ מספר ממשי כלשהו

$x^4-2x^2+1\ge0$

להציג את התשובה והפתרון

$x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2$ — נוסחת הכפל המקוצר $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ עם $a=x^2,\ b=1$
$(x^2-1)^2\ge0$ — חזקה שנייה של מספר ממשי אינה שלילית
$x^4-2x^2+1\ge0$ — הצבה של השוויון בטענה הקודמת

הפתרון:

x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2

זיהוי: $t^2-2t+1$ עם $t=x^2$

(x^2-1)^2\ge0

ריבוע אינו שלילי

\begin{aligned}(x^2-1)^2 &= 0 \iff x \\ &= \pm1\end{aligned}

שוויון בדיוק ב- $x=\pm1$ — שני שורשים מריבוי 2

אין צורך בשיטת הקטעים: ריבוע שלם מוכיח את הטענה בשורה אחת. בגרף — הפונקציה נוגעת בציר ב- $\pm1$ ולא יורדת מתחתיו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev