תרגול · משוואות ואי-שוויונות — שיטת הקטעים · כיתה י׳

עשרה תרגילים על כל הפרק: שברים אלגבריים, פירוק פולינומים, משוואה דו-ריבועית, שיטת הקטעים, ערך מוחלט ופרמטרים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהו הפתרון הגדול ביותר של המשוואה $x^4-13x^2+36=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2:\quad t^2-13t+36 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה דו-ריבועית — מציבים $t=x^2$

\begin{aligned}(t-4)(t-9) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 4 \\ \ t &= 9\end{aligned}

שני ערכים חיוביים

\begin{aligned}x &= \pm2 \\ \quad x &= \pm3\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

ארבעה פתרונות, והגדול ביותר הוא $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מכונה במפעל באשדוד ממלאת בקבוקים של $500$ מ״ל. בקבוק עם $x$ מ״ל עובר את הבדיקה אם $|x-500|\le6$ . מהי הכמות הקטנה ביותר (במ״ל) שעוברת את הבדיקה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 494

הפתרון:

|x-500|\le6 \iff 500-6\le x\le500+6

ערך מוחלט הוא מרחק: קרוב ל- $500$ — קטע אחד

494\le x\le506

הכמות הקטנה ביותר שעוברת היא $494$ מ״ל — הקצה נכלל, בזכות ה-«שווה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$(x-1)$ הוא גורם של הפולינום $x^3+2x^2-5x+2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

1^3+2\cdot1^2-5\cdot1+2=0

מציבים $x=1$

\begin{aligned}f(1) &= 0 \iff f(x) \\ &= (x-1)\cdot q(x)\end{aligned}

שורש ↔ גורם

הטענה נכונה: $x=1$ מאפס את הפולינום, ולכן $(x-1)$ גורם שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

פתרו את האי-שוויון $(x+2)(x-1)(x-5)<0$ .

$1<x<5$
$x<5$
$x<-2$ או $1<x<5$
$-2<x<1$ או $x>5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x<-2$ או $1<x<5$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= -2 \\ \ 1 \\ \ 5\end{aligned}

השורשים מחלקים את הציר לקטעים

x>5:\ (+)(+)(+)>0

מימין — חיובי

-\quad +\quad -\quad +

הסימן מתחלף בכל שורש מריבוי $1$ , משמאל לימין

הגרף מתחת לציר משמאל ל- $-2$ ובין $1$ ל- $5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה מספרים שלמים מקיימים $\frac{x-3}{x+2}\le0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x\neq-2

תחום הגדרה — המכנה

-2<x\le3

שיטת הקטעים: המונה מתאפס ב- $3$ (נכלל), המכנה ב- $-2$ (לא נכלל)

-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3

חמישה שלמים. $-2$ פסול תמיד — אי אפשר לחלק באפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

רוכבת אופניים נוסעת $60$ ק״מ בכנרת במהירות קבועה $v$ קמ״ש. אילו הייתה נוסעת מהר יותר ב- $5$ קמ״ש, הייתה מגיעה שעה אחת מוקדם יותר. מהי $v$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\frac{60}{v}-\frac{60}{v+5}=1

זמן = דרך חלקי מהירות

60(v+5)-60v=v(v+5)

כופלים במכנה המשותף, $v>0$

v^2+5v-300=0

\begin{aligned}(v-15)(v+20) &= 0 \Rightarrow v \\ &= 15\end{aligned}

מהירות חיובית

$v=15$ קמ״ש. בדיקה: $4$ שעות לעומת $3$ שעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ידוע כי $x=3$ הוא שורש של הפולינום $x^3-4x^2+ax+6$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

27-36+3a+6=0

מציבים $x=3$

\begin{aligned}3a &= 3 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

x^3-4x^2+x+6=(x-3)(x-2)(x+1)

בדיקה: הגורם $(x-3)$ מופיע

$a=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-4x|=4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x^2-4x &= 4 \ \text{או}\ x^2-4x \\ &= -4\end{aligned}

שני מקרים

\begin{aligned}x^2-4x-4 &= 0:\ \Delta \\ &= 32>0\end{aligned}

שני פתרונות

\begin{aligned}x^2-4x+4 &= (x-2)^2 \\ &= 0\end{aligned}

פתרון אחד בלבד, $x=2$

סך הכול $3$ פתרונות. המלכודת: המקרה השני נותן שורש כפול, לא שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו את האי-שוויון $\frac{(x-2)^2(x+1)}{x-4}\ge0$ .

$-1\le x\le2$ או $x\ge4$
$x\le-1$ או $x>4$
$x\le-1$ או $x\ge4$
$x\le-1$ או $x=2$ או $x>4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x\le-1$ או $x=2$ או $x>4$

הפתרון:

x\neq4

המכנה

x>4:\ +\ ,\quad 2<x<4:\ -\ ,\quad -1<x<2:\ -\ ,\quad x<-1:\ +

ב- $x=2$ ריבוי זוגי — הסימן לא מתחלף

\begin{aligned}x &= 2:\ \frac{0}{-2} \\ &= 0\ge0\end{aligned}

השוויון מתקיים

הנקודה הבודדת $x=2$ שייכת לפתרון, ו- $x=4$ לעולם לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לכמה ערכים שלמים של $k$ יש למשוואה $x^4-6x^2=k$ בדיוק ארבעה פתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2\ge0:\quad t^2-6t \\ &= k\end{aligned}

הצבה

t^2-6t=(t-3)^2-9\ge-9

המינימום $-9$ , ב- $x=\pm\sqrt3$

-9<k<0

שני ערכי $t$ חיוביים — ארבעה ערכי $x$

\begin{aligned}k &= -8 \\ \ -7 \\ \ \dots \\ \ -1\end{aligned}

$8$ ערכים. ב- $k=0$ יש שלושה פתרונות ( $x=0,\ \pm\sqrt6$ ), וב- $k=-9$ שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev