תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: מיתרים והאנך מהמרכז, זווית היקפית ומרכזית, זווית על קוטר, מרובע חסום, משיקים, מרובע חוסם, וזווית בין משיק למיתר. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

רדיוס המעגל 1313, ואורך המיתר ABAB הוא 2424. מהו המרחק מהמרכז אל המיתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

OM⊥AB⇒AM=12OM \perp AB \Rightarrow AM = 12

האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו

OM=132−122=5\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

פיתגורס במשולש OMAOMA, שבו הרדיוס הוא היתר

המרחק מהמרכז אל המיתר הוא 55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הזווית ההיקפית ∠ACB\angle ACB שווה 47∘47^\circ. חשבו את הזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB הנשענת על אותה קשת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 94

הפתרון:

∠ACB=12 ∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\,\angle AOB

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

∠AOB=2⋅47∘=94∘\begin{aligned}\angle AOB &= 2 \cdot 47^\circ \\ &= 94^\circ\end{aligned}

∠AOB=94∘\angle AOB = 94^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ו-∠A=73∘\angle A = 73^\circ. חשבו את ∠C\angle C.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 107

הפתרון:

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות

∠C=180∘−73∘=107∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 73^\circ \\ &= 107^\circ\end{aligned}

∠C=107∘\angle C = 107^\circ. על ∠B\angle B אי אפשר לקבוע בלי נתון נוסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

ATAT משיק למעגל בנקודה AA, ו-ABAB מיתר. הזווית בין המשיק למיתר היא ∠TAB=62∘\angle TAB = 62^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת ABAB שאינה בתוך הזווית TABTAB. חשבו את ∠ACB\angle ACB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62

הפתרון:

∠TAB=12 AB⌢\angle TAB = \frac{1}{2}\,\overset{\frown}{AB}

הזווית בין משיק למיתר שווה למחצית הקשת שבתוכה

∠ACB=12 AB⌢\angle ACB = \frac{1}{2}\,\overset{\frown}{AB}

זווית היקפית הנשענת על אותה קשת

∠ACB=∠TAB=62∘\begin{aligned}\angle ACB &= \angle TAB \\ &= 62^\circ\end{aligned}

∠ACB=62∘\angle ACB = 62^\circ: הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית שנשענת על הקשת שבתוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המרובע ABCDABCD חוסם מעגל. נתון AB=8AB = 8, BC=11BC = 11 ו-CD=15CD = 15. חשבו את DADA.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

AB+CD=BC+DAAB + CD = BC + DA

במרובע חוסם סכומי הצלעות הנגדיות שווים — שני משיקים מנקודה שווים

8+15=11+DA⇒DA=12\begin{aligned}8 + 15 &= 11 + DA \Rightarrow DA \\ &= 12\end{aligned}

DA=12DA = 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABAB קוטר במעגל שרדיוסו 12.512.5, ו-CC נקודה על המעגל. נתון AC=7AC = 7. חשבו את BCBC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר ישרה

AB=2⋅12.5=25\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 12.5 \\ &= 25\end{aligned}
BC=252−72=576=24\begin{aligned}BC &= \sqrt{25^2 - 7^2} \\ &= \sqrt{576} \\ &= 24\end{aligned}

פיתגורס

BC=24BC = 24.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לבאר עגולה ביישוב בגליל יש קוטר של 2.62.6 מ׳. מניחים עליה קורת עץ ישרה באורך 2.42.4 מ׳, כך ששני קצותיה על שפת הבאר. מה המרחק ממרכז הבאר אל הקורה, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

R=1.3AM=1.2\begin{aligned}R &= 1.3 \\ \quad AM &= 1.2\end{aligned}

הקורה היא מיתר; האנך מהמרכז חוצה אותה

OM=1.32−1.22=0.25=0.5\begin{aligned}OM &= \sqrt{1.3^2 - 1.2^2} \\ &= \sqrt{0.25} \\ &= 0.5\end{aligned}

פיתגורס

הקורה עוברת 0.50.5 מ׳ מהמרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

במעגל שרדיוסו 1717 שני מיתרים מקבילים, AB=30AB = 30 ו-CD=16CD = 16, באותו צד של המרכז. חשבו את המרחק בין המיתרים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

OM=172−152=8\begin{aligned}OM &= \sqrt{17^2 - 15^2} \\ &= 8\end{aligned}

המרחק של ABAB מהמרכז

ON=172−82=15\begin{aligned}ON &= \sqrt{17^2 - 8^2} \\ &= 15\end{aligned}

המרחק של CDCD מהמרכז

MN=ON−OM=15−8=7\begin{aligned}MN &= ON - OM \\ &= 15 - 8 \\ &= 7\end{aligned}

באותו צד — מחסרים

המרחק 77. אילו היו משני צדי המרכז — 8+15=238 + 15 = 23. המיתר הארוך קרוב יותר למרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, והאלכסון ACAC הוא קוטר. נתון ∠BAC=28∘\angle BAC = 28^\circ ו-∠ACD=35∘\angle ACD = 35^\circ. חשבו את ∠BAD\angle BAD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 83

הפתרון:

∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר ACAC

∠CAD=180∘−90∘−35∘=55∘\begin{aligned}\angle CAD &= 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ACDACD

∠BAD=28∘+55∘=83∘\begin{aligned}\angle BAD &= 28^\circ + 55^\circ \\ &= 83^\circ\end{aligned}
∠BCD=62∘+35∘=97∘\begin{aligned}\angle BCD &= 62^\circ + 35^\circ \\ &= 97^\circ\end{aligned}

בדיקה: 83∘+97∘=180∘83^\circ + 97^\circ = 180^\circ

∠BAD=83∘\angle BAD = 83^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מזרקה עגולה בכיכר בנתניה, ומרכזה OO ורדיוסה 55 מ׳. מנקודה PP, שמרחקה 1313 מ׳ מ-OO, מותחים שני חבלים PAPA ו-PBPB המשיקים לשפת המזרקה. מה המרחק ABAB בין שתי נקודות ההשקה, במטרים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.23

הפתרון:

OA⊥PA⇒PA=132−52=12\begin{aligned}OA \perp PA \Rightarrow PA &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

OP⊥ABAK=KB\begin{aligned}OP \perp AB \\ \quad AK &= KB\end{aligned}

OPOP הוא האנך האמצעי של ABAB: OA=OBOA = OB ו-PA=PBPA = PB

SOAP=OA⋅PA2=OP⋅AK2\begin{aligned}S_{OAP} &= \frac{OA \cdot PA}{2} \\ &= \frac{OP \cdot AK}{2}\end{aligned}

שטח המשולש בשתי דרכים

AK=5⋅1213AB=12013≈9.23\begin{aligned}AK &= \frac{5 \cdot 12}{13} \\ \quad AB &= \frac{120}{13} \approx 9.23\end{aligned}

AB≈9.23AB \approx 9.23 מ׳.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת