סדרה 5 — לקראת הבגרות · המעגל · כיתה י׳

שאלות בסגנון הבגרות: סעיפים שנשענים זה על זה, «האם ייתכן», «הוכיחו או הפריכו», והוכחות מלאות של טענה ונימוק. כל שאלה משלבת לפחות שני נושאים של הפרק.

בבגרות כל סעיף הוא רמז לסעיף הבא. לפני שמתחילים סעיף ב, שאלו: מה חישבתי בסעיף א, ואיך הוא עוזר כאן?

תרגילים

תרגיל 1

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, $AB = BC$ ו- $\angle ABC = 110^\circ$ . חשבו את $\angle BDC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 35

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle BCA \\ &= \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} \\ &= 35^\circ\end{aligned}

$AB = BC$ — משולש שווה שוקיים

\begin{aligned}\angle BDC &= \angle BAC \\ &= 35^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $BC$

המלכודת: לענות $70$ — זו $\angle ADC = 180^\circ - 110^\circ$ . השאלה על חצי ממנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB = BC$ . הוכיחו כי $DB$ חוצה את $\angle ADC$ .

$ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$
$AB = BC$

$DB$ חוצה את $\angle ADC$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = BC$ — נתון
$\angle AOB = \angle BOC$ — במעגל, מיתרים שווים נשענים על זוויות מרכזיות שוות
$\angle ADB = \tfrac{1}{2}\angle AOB$ — זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
$\angle BDC = \tfrac{1}{2}\angle BOC$ — זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
$\angle ADB = \angle BDC$ — חצאים של זוויות שוות
$DB$ חוצה את $\angle ADC$ — הגדרת חוצה זווית

הפתרון:

AB = BC

נתון

\angle AOB = \angle BOC

במעגל, מיתרים שווים נשענים על זוויות מרכזיות שוות

\angle ADB = \tfrac{1}{2}\angle AOB

זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

\angle BDC = \tfrac{1}{2}\angle BOC

זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

\angle ADB = \angle BDC

חצאים של זוויות שוות

\Rightarrow

$DB$ חוצה את $\angle ADC$ — הגדרת חוצה זווית

המלכודת: לדלג על הזוויות המרכזיות ולכתוב «מיתרים שווים ולכן הזוויות שוות». במבחן כותבים את השרשרת: מיתרים ← מרכזיות ← היקפיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מנקודה $P$ יוצאים שני משיקים $PA$ ו- $PB$ למעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $10$ , ו- $OP = 26$ . א. חשבו את שטח המרובע $OAPB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 240

הפתרון:

\begin{aligned}PA &= \sqrt{26^2 - 10^2} \\ &= 24\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OAP$ — הזווית ב- $A$ ישרה

\begin{aligned}S_{OAP} &= \frac{10 \cdot 24}{2} \\ &= 120\end{aligned}

משולש ישר זווית

\begin{aligned}S_{OAPB} &= 2 \cdot 120 \\ &= 240\end{aligned}

$\triangle OAP \cong \triangle OBP$

המלכודת: לחשב $\frac{10 \cdot 26}{2}$ . הניצבים הם הרדיוס והמשיק; $OP$ הוא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המשך השאלה הקודמת ( $R = 10$ , $OP = 26$ , $S_{OAPB} = 240$ ). ב. חשבו את אורך המיתר $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.46

הפתרון:

OP \perp AB

$O$ ו- $P$ שתיהן על האנך האמצעי של $AB$

S_{OAPB} = \frac{OP \cdot AB}{2}

שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים

240 = \frac{26 \cdot AB}{2}

AB = \frac{240}{13} \approx 18.46

המלכודת: לחפש זווית ולהשתמש בטריגונומטריה. השטח שחושב בסעיף א נותן את $AB$ בשורה אחת — סעיפים בבגרות נשענים זה על זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

האם ייתכן מלבן שאינו ריבוע, שחוסם מעגל?

כן — כל מלבן חוסם מעגל
כן — כשהצלעות ביחס $1:2$
כן — כי במלבן האלכסונים שווים
לא — במרובע חוסם $AB + CD = BC + DA$ , ובמלבן זה נותן $2a = 2b$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא — במרובע חוסם $AB + CD = BC + DA$ , ובמלבן זה נותן $2a = 2b$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= CD \\ &= a \\ \ BC &= DA \\ &= b\end{aligned}

צלעות נגדיות במלבן

\begin{aligned}a + a &= b + b \Rightarrow a \\ &= b\end{aligned}

תנאי המרובע החוסם

\Rightarrow \text{ריבוע}

התשובה: «לא — במרובע חוסם $AB + CD = BC + DA$ , ובמלבן זה נותן $2a = 2b$ ». המלכודת: «כי האלכסונים שווים» — זו הסיבה שמלבן חסום במעגל, לא שהוא חוסם מעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $9$ , ו- $\angle BAC = 30^\circ$ . חשבו את $BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BOC &= 2 \cdot 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זווית מרכזית

\begin{aligned}OB &= OC \\ &= 9\end{aligned}

רדיוסים

\Rightarrow BC = 9

$\triangle BOC$ שווה צלעות: משולש שווה שוקיים עם זווית ראש $60^\circ$

המלכודת: לחשוב שחסר נתון. משולש שווה שוקיים שזווית הראש שלו $60^\circ$ הוא שווה צלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , ו- $C$ על הקשת הגדולה $AB$ . נתון $\angle APB = 3x$ ו- $\angle ACB = x + 10$ (במעלות). מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

\angle AOB = 2(x + 10)

מרכזית כפולה מההיקפית

3x + 2(x + 10) = 180

זווית בין משיקים משלימה את המרכזית

\begin{aligned}5x + 20 &= 180 \Rightarrow x \\ &= 32\end{aligned}

\begin{aligned}\angle APB &= 96^\circ \\ \ \angle AOB &= 84^\circ\end{aligned}

בדיקה: $96 + 84 = 180$

המלכודת: $3x + (x + 10) = 180$ . ההיקפית אינה משלימה את זווית המשיקים — המרכזית משלימה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: אם $AB$ ו- $CD$ מיתרים מקבילים במעגל, אז $AC = BD$ (הקטעים שבין המיתרים שווים).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

AB \parallel CD

$ABDC$ טרפז חסום במעגל: ארבעת הקודקודים על המעגל

\begin{aligned}\angle CAB + \angle ACD &= 180^\circ \\ \ \angle ABD + \angle ACD &= 180^\circ\end{aligned}

חד-צדדיות, ונגדיות במרובע חסום

\begin{aligned}\angle CAB &= \angle ABD \Rightarrow AC \\ &= BD\end{aligned}

טרפז שזוויות הבסיס שלו שוות הוא שווה שוקיים

נכון: טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים. המלכודת: לסדר את הקודקודים $ABCD$ ולקבל מרובע מוצלב — הטרפז הוא $ABDC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הדלתון $ABCD$ ( $AB = AD = 6$ , $CB = CD = 8$ ) חסום במעגל. חשבו את רדיוס המעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\triangle ABC \cong \triangle ADC \Rightarrow \angle B = \angle D

צ.צ.צ — $AC$ משותפת

\begin{aligned}\angle B + \angle D &= 180^\circ \Rightarrow \angle B \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר — $AC$ קוטר

R = 5

המלכודת: לחפש מרכז בנקודת מפגש האלכסונים. בדלתון הזה המרכז הוא אמצע האלכסון $AC$ , כי $AC$ קוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הטרפז שווה השוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ , $AD = BC$ ) חוסם מעגל. הוכיחו כי השוק שווה לממוצע הבסיסים: $AD = \frac{AB + CD}{2}$ .

$ABCD$ טרפז, $AB \parallel DC$
$AD = BC$
$ABCD$ חוסם מעגל

$AD = \frac{AB + CD}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

$AB + CD = AD + BC$ — במרובע חוסם מעגל סכומי הצלעות הנגדיות שווים
$AD = BC$ — נתון
$AB + CD = 2AD$ — הצבה
$AD = \frac{AB + CD}{2}$ — חילוק ב- $2$

הפתרון:

AB + CD = AD + BC

במרובע חוסם מעגל סכומי הצלעות הנגדיות שווים

AD = BC

נתון

AB + CD = 2AD

הצבה

AD = \frac{AB + CD}{2}

חילוק ב- $2$

המלכודת: לחבר צלעות סמוכות ( $AB + AD$ ). ובדוגמה שבשרטוט: $16 + 4 = 20$ , והשוק $10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev