סדרה 4 — מתקדם · המעגל · כיתה י׳

בסדרה הזאת: «הביעו באמצעות», הוכחה של משפט הפוך, מיון, מציאת שגיאה, וחישוב שדורש לכתוב אותו גודל בשתי דרכים. אלה הצעדים שמבדילים שאלת בגרות מלאה מתרגיל.

כשנתון פרמטר ( $\alpha$ ) — סמנו אותו בשרטוט והעבירו אותו מזווית לזווית עם נימוק בכל מעבר. וכשחסר נתון לחישוב — חפשו גודל שאפשר לכתוב בשתי דרכים, ומשווים.

תרגילים

תרגיל 1

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ . הוכיחו כי $OP \perp AB$ .

$PA$ ו- $PB$ משיקים בנקודות $A$ ו- $B$

$OP \perp AB$

להציג את התשובה והפתרון

$PA = PB$ — שני משיקים מנקודה אחת שווים
$OA = OB$ — רדיוסים באותו מעגל
$P$ על האנך האמצעי של $AB$ — נקודה שמרחקיה מקצות קטע שווים נמצאת על האנך האמצעי שלו
$O$ על האנך האמצעי של $AB$ — נקודה שמרחקיה מקצות קטע שווים נמצאת על האנך האמצעי שלו
$OP$ הוא האנך האמצעי של $AB$ — דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד
$OP \perp AB$ — האנך האמצעי מאונך לקטע

הפתרון:

PA = PB

שני משיקים מנקודה אחת שווים

OA = OB

רדיוסים באותו מעגל

\Rightarrow

$P$ על האנך האמצעי של $AB$ — נקודה שמרחקיה מקצות קטע שווים נמצאת על האנך האמצעי שלו

\Rightarrow

$O$ על האנך האמצעי של $AB$ — נקודה שמרחקיה מקצות קטע שווים נמצאת על האנך האמצעי שלו

\Rightarrow

$OP$ הוא האנך האמצעי של $AB$ — דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד

OP \perp AB

האנך האמצעי מאונך לקטע

המלכודת: לכתוב « $OP$ חוצה את $AB$ ולכן מאונך לו». כדי שישר יהיה האנך האמצעי צריך שתי נקודות שלו — $O$ ו- $P$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המשולש $ABC$ חסום במעגל, $AB = AC$ ו- $\angle BAC = \alpha$ . $AT$ משיק למעגל ב- $A$ (בצד של $C$ ). הביעו באמצעות $\alpha$ את הזווית $\angle CAT$ .

$90^\circ + \frac{\alpha}{2}$
$90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
$\frac{\alpha}{2}$
$180^\circ - \alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ACB \\ &= \frac{180^\circ - \alpha}{2} \\ &= 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

משולש שווה שוקיים

\angle CAT = \angle ABC

זווית בין משיק למיתר $AC$ שווה להיקפית שמהצד השני

\angle CAT = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}

התשובה: $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ . בדיקה: $\angle ABC + \angle ACB + \alpha = 2\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \alpha = 180^\circ$ ✓. המלכודת: $\frac{\alpha}{2}$ — להשוות למחצית הזווית שבקודקוד עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ נתון מיתר $AB = 8$ . המשיקים למעגל ב- $A$ וב- $B$ נפגשים בנקודה $P$ . חשבו את $PA$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.67

הפתרון:

\begin{aligned}OM &= \sqrt{5^2 - 4^2} \\ &= 3\end{aligned}

$M$ אמצע $AB$ , ו- $OP$ עובר דרכו ומאונך ל- $AB$

PA^2 = OP^2 - 5^2

פיתגורס במשולש $OAP$

PA^2 = (OP - 3)^2 + 4^2

פיתגורס במשולש $PMA$

\begin{aligned}OP^2 - 25 &= OP^2 - 6\,OP + 25 \Rightarrow OP \\ &= \frac{25}{3}\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}PA &= \sqrt{\frac{625}{9} - 25} \\ &= \frac{20}{3} \approx 6.67\end{aligned}

המלכודת: להניח ש- $P$ רחוקה מ- $O$ כמו אורך המיתר. אין קיצור: כותבים את $PA^2$ בשתי דרכים ומשווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון $\angle BAD = 73^\circ$ ו- $\angle ABD = 47^\circ$ . חשבו את $\angle ACB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ADB &= 180^\circ - 73^\circ - 47^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש $ABD$

\begin{aligned}\angle ACB &= \angle ADB \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $AB$ , מאותו צד

המלכודת: לחפש את $\angle ACB$ דרך המרובע ( $180 - 73$ ). היא נשענת על אותה קשת כמו $\angle ADB$ — זה הקיצור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נכון או לא נכון: ייתכן שבמעגל שרדיוסו $5$ יש מיתר שמרחקו מהמרכז $6$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

OM \le OA = 5

$M$ אמצע המיתר; במשולש $OMA$ הניצב $OM$ קטן מהיתר $OA$

6 > 5

סתירה

לא ייתכן: כל נקודה של מיתר נמצאת בתוך המעגל, ולכן במרחק קטן מהרדיוס מהמרכז. המלכודת: להציב בפיתגורס ולא לשים לב ש- $25 - 36 < 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

טרפז ישר זווית ( $AB \parallel DC$ , $\angle A = \angle D = 90^\circ$ ) חוסם מעגל שרדיוסו $6$ . השוק הנטויה $BC = 13$ . חשבו את שטח הטרפז.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

AD = 12

הגובה שווה לקוטר

\begin{aligned}AB + DC &= AD + BC \\ &= 25\end{aligned}

מרובע חוסם מעגל

\begin{aligned}S &= \frac{25 \cdot 12}{2} \\ &= 150\end{aligned}

שטח טרפז: סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי $2$

המלכודת: לחפש כל בסיס בנפרד. השטח צריך רק את סכום הבסיסים — והמשפט נותן אותו מיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$AB$ קוטר במעגל, $C$ על המעגל ו- $\angle CAB = 25^\circ$ . הנקודה $D$ על המעגל, בצד השני של הקוטר $AB$ (לא בצד של $C$ ). חשבו את $\angle ADC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 65

הפתרון:

\angle ACB = 90^\circ

זווית על קוטר

\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ABC \\ &= 65^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $AC$ , מאותו צד

המלכודת: לענות $25$ . $\angle ADC$ נשענת על $AC$ , כמו $\angle ABC$ — ולא על $BC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו: אילו מרובעים חסומים במעגל תמיד, ואילו לא בהכרח?

תמיד חסום
לא בהכרח

דלתון
טרפז ישר זווית
טרפז שווה שוקיים
מלבן
מעוין
מקבילית
ריבוע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מלבן — תמיד חסום · ריבוע — תמיד חסום · טרפז שווה שוקיים — תמיד חסום · מעוין — לא בהכרח · מקבילית — לא בהכרח · דלתון — לא בהכרח · טרפז ישר זווית — לא בהכרח

הפתרון:

\angle A + \angle C = 180^\circ

המבחן: האם זוג זוויות נגדיות משלים תמיד ל- $180^\circ$ ?

\begin{aligned}\angle A &= \angle B \\ \ \angle B + \angle C &= 180^\circ\end{aligned}

טרפז שווה שוקיים — ולכן $\angle A + \angle C = 180^\circ$

המלכודת: הדלתון. הוא חוסם מעגל תמיד (סכומי הצלעות הנגדיות שווים), אבל חסום במעגל רק כששתי זוויותיו השוות ישרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$AP$ משיק למעגל שמרכזו $O$ ב- $A$ , $AB$ מיתר, $\angle PAB = 35^\circ$ , ו- $C$ על הקשת שבצד השני. תלמיד חישב את $\angle ACB$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\angle OAP = 90^\circ

\begin{aligned}\angle OAB &= 90^\circ - 35^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 2 \cdot 55^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\angle ACB &= \angle AOB \\ &= 70^\circ\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\angle ACB = \angle AOB = 70^\circ$ → $\angle ACB = \tfrac{1}{2}\angle AOB = 35^\circ$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ACB &= \tfrac{1}{2} \cdot 70^\circ \\ &= 35^\circ\end{aligned}

זווית היקפית היא חצי מהמרכזית

35^\circ = \angle PAB \ \checkmark

ואכן שווה לזווית בין המשיק למיתר

השורה האחרונה השוותה היקפית למרכזית. המלכודת: לעשות שלושה צעדים נכונים ולהיכשל במשפט הפשוט ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$OA$ רדיוס במעגל שמרכזו $O$ , והישר $t$ עובר דרך $A$ ומאונך ל- $OA$ . $Q$ נקודה כלשהי על $t$ , שונה מ- $A$ . הוכיחו כי $t$ משיק למעגל.

$t \perp OA$ בנקודה $A$
$Q$ על $t$ , $Q \ne A$

$t$ משיק למעגל

להציג את התשובה והפתרון

$\angle OAQ = 90^\circ$ — נתון $t \perp OA$
$OQ > OA$ — במשולש ישר זווית היתר ארוך מכל ניצב
$Q$ מחוץ למעגל — מרחקה מהמרכז גדול מהרדיוס
$A$ היא הנקודה המשותפת היחידה של $t$ ושל המעגל — $Q$ הייתה נקודה כלשהי של $t$ פרט ל- $A$
$t$ משיק למעגל — ישר שיש לו נקודה משותפת אחת בלבד עם המעגל הוא משיק

הפתרון:

\angle OAQ = 90^\circ

נתון $t \perp OA$

OQ > OA

במשולש ישר זווית היתר ארוך מכל ניצב

\Rightarrow

$Q$ מחוץ למעגל — מרחקה מהמרכז גדול מהרדיוס

\Rightarrow

$A$ היא הנקודה המשותפת היחידה של $t$ ושל המעגל — $Q$ הייתה נקודה כלשהי של $t$ פרט ל- $A$

\Rightarrow

$t$ משיק למעגל — ישר שיש לו נקודה משותפת אחת בלבד עם המעגל הוא משיק

זו הוכחת המשפט ההפוך. המלכודת: לנמק « $t$ מאונך לרדיוס ולכן משיק» — זה בדיוק מה שמוכיחים. ומה שהופך את ההוכחה לכללית: $Q$ היא נקודה כלשהי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev