סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כאן מופיעות הוכחות, דוגמאות נגדיות ושרשראות של שלושה משפטים. חלק מהשאלות מערבבות שני נושאים בשרטוט אחד — זווית היקפית יחד עם משיקים, או מיתרים יחד עם שטח.

בשאלת «הוכיחו או הפריכו» נסו קודם למצוא דוגמה נגדית פשוטה — מלבן, מעוין, מקבילית. אם לא מצאתם, כנראה שהטענה נכונה, ועכשיו מחפשים את הנימוק.

תרגילים

תרגיל 1

OABMCDN010096

במעגל שמרכזו OO נתונים שני מיתרים שווים AB=CDAB = CD. MM אמצע ABAB ו-NN אמצע CDCD. הוכיחו כי OM=ONOM = ON.

  • AB=CDAB = CD
  • MM אמצע ABAB, NN אמצע CDCD

OM=ONOM = ON

להציג את התשובה והפתרון
  1. AM=CNAM = CN — חצאים של מיתרים שווים
  2. OA=OCOA = OC — רדיוסים באותו מעגל
  3. ∠OMA=∠ONC=90∘\angle OMA = \angle ONC = 90^\circ — הקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר
  4. △OMA≅△ONC\triangle OMA \cong \triangle ONC — צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
  5. OM=ONOM = ON — צלעות מתאימות במשולשים חופפים

הפתרון:

AM=CNAM = CN

חצאים של מיתרים שווים

OA=OCOA = OC

רדיוסים באותו מעגל

∠OMA=∠ONC=90∘\begin{aligned}\angle OMA &= \angle ONC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר

△OMA≅△ONC\triangle OMA \cong \triangle ONC

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

OM=ONOM = ON

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

המלכודת: להשתמש ב-∠OMA=90∘\angle OMA = 90^\circ בלי נימוק. זה משפט — «הקטע מהמרכז לאמצע המיתר מאונך לו» — וצריך לכתוב אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

124°?OABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, והצלע ABAB היא קוטר. נתון ∠ADC=124∘\angle ADC = 124^\circ. חשבו את ∠BAC\angle BAC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 34

הפתרון:

∠ABC=180∘−124∘=56∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 124^\circ \\ &= 56^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית על הקוטר ABAB

∠BAC=180∘−90∘−56∘=34∘\begin{aligned}\angle BAC &= 180^\circ - 90^\circ - 56^\circ \\ &= 34^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש ABCABC

המלכודת: להשלים את 124124 ישר ל-180180 ולענות 5656. זו ∠ABC\angle ABC; השאלה על זווית במשולש ABCABC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

58°?OPABC010096

PAPA ו-PBPB משיקים למעגל שמרכזו OO. הנקודה CC על הקשת הגדולה ABAB, ו-∠ACB=58∘\angle ACB = 58^\circ. חשבו את ∠APB\angle APB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

∠AOB=2⋅58∘=116∘\begin{aligned}\angle AOB &= 2 \cdot 58^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

זווית מרכזית כפולה מההיקפית

∠APB=180∘−116∘=64∘\begin{aligned}\angle APB &= 180^\circ - 116^\circ \\ &= 64^\circ\end{aligned}

במרובע OAPBOAPB שתי זוויות ישרות

המלכודת: לענות 5858 או 116116. PP מחוץ למעגל: הזווית שלה משלימה את המרכזית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

BCAD13141509919.32

במשולש ABCABC נתון AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. המעגל החסום במשולש נוגע בצלע BCBC בנקודה DD. חשבו את BDBD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

BD=BF=x\begin{aligned}BD &= BF \\ &= x\end{aligned}

שני משיקים מ-BB (FF על ABAB)

CD=CE=14−x  AF=AE=13−x\begin{aligned}CD &= CE \\ &= 14 - x \\ \ \ AF &= AE \\ &= 13 - x\end{aligned}

שני משיקים מ-CC ומ-AA

(13−x)+(14−x)=15(13 - x) + (14 - x) = 15

הצלע CACA מורכבת מ-AEAE ומ-CECE

27−2x=15⇒x=6\begin{aligned}27 - 2x &= 15 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

המלכודת: לחלק את BCBC לשניים (77). נקודת ההשקה אינה אמצע הצלע, אלא אם המשולש שווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCD010096

האם ייתכן מעוין החסום במעגל שאינו ריבוע?

  1. לא — הזוויות הנגדיות במעוין שוות, ובמרובע חסום הן משלימות, ולכן כולן 90∘90^\circ
  2. כן — כל מעוין חסום במעגל
  3. כן — כשהזווית החדה 60∘60^\circ
  4. כן — כי אלכסוני המעוין מאונכים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא — הזוויות הנגדיות במעוין שוות, ובמרובע חסום הן משלימות, ולכן כולן 90∘90^\circ

הפתרון:

∠A=∠C\angle A = \angle C

במעוין (כמו בכל מקבילית) זוויות נגדיות שוות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

אם הוא חסום

∠A=90∘\angle A = 90^\circ

ולכן מעוין עם זווית ישרה — ריבוע

התשובה: «לא — הזוויות הנגדיות במעוין שוות, ובמרובע חסום הן משלימות, ולכן כולן 90∘90^\circ». המלכודת: «כי אלכסוני המעוין מאונכים» — זו תכונה נכונה של המעוין, אבל היא לא קשורה לחסימה במעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

OABMC13AB = 2409843.6

במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 1313 נתון מיתר AB=24AB = 24. הנקודה CC על הקשת הגדולה, כך ש-CA=CBCA = CB. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 216

הפתרון:

CA=CBCA = CB

CC על האנך האמצעי של ABAB, והאנך האמצעי של מיתר עובר דרך המרכז

OM=132−122=5\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

המרחק של המיתר מהמרכז

CM=13+5=18\begin{aligned}CM &= 13 + 5 \\ &= 18\end{aligned}

הגובה: רדיוס ועוד המרחק, כי CC ו-MM משני צדי OO

S=24⋅182=216\begin{aligned}S &= \frac{24 \cdot 18}{2} \\ &= 216\end{aligned}

המלכודת: CM=13−5=8CM = 13 - 5 = 8. CC על הקשת הגדולה, ולכן המרכז נמצא בין CC לבין המיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

?ABCDE010096

הנקודות A,B,C,D,EA, B, C, D, E מחלקות את המעגל לחמש קשתות שוות, בסדר הזה. חשבו את ∠ACB\angle ACB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

AB⌢=360∘5=72∘\begin{aligned}\overset{\frown}{AB} &= \frac{360^\circ}{5} \\ &= 72^\circ\end{aligned}

חמש קשתות שוות

∠ACB=12⋅72∘=36∘\begin{aligned}\angle ACB &= \tfrac{1}{2} \cdot 72^\circ \\ &= 36^\circ\end{aligned}

∠ACB\angle ACB נשענת על הקשת ABAB שאינה מכילה את CC

המלכודת: לחשב את הזווית של המחומש (108∘108^\circ). ∠ACB\angle ACB היא זווית היקפית שנשענת על קשת אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

70°70°ABCD09964.752

הוכיחו או הפריכו: אם במרובע ABCDABCD מתקיים ∠A=∠C\angle A = \angle C, אז ABCDABCD חסום במעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

ABCD מקבילית ∠A=∠C=70∘\begin{aligned}ABCD \text{ מקבילית} \\ \ \angle A &= \angle C \\ &= 70^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית

∠A+∠C=140∘≠180∘\angle A + \angle C = 140^\circ \ne 180^\circ

הזוויות הנגדיות אינן משלימות

⇒\Rightarrow

ABCDABCD אינו חסום: במרובע חסום סכום זוג נגדיות חייב להיות 180∘180^\circ

לא נכון. מקבילית שאינה מלבן היא דוגמה נגדית. המלכודת: לבלבל «שוות» עם «משלימות».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

OPABCD010096

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ. PAPA ו-PBPB משיקים, CC על הקשת הגדולה ABAB ו-DD על הקשת הקטנה. סדרו את הזוויות מהקטנה לגדולה.

  • ∠ACB\angle ACB
  • ∠ADB\angle ADB
  • ∠AOB\angle AOB
  • ∠APB\angle APB
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠ACB\angle ACB · ∠APB\angle APB · ∠AOB\angle AOB · ∠ADB\angle ADB

הפתרון:

∠ACB=50∘\angle ACB = 50^\circ

חצי מהמרכזית

∠APB=180∘−100∘=80∘\begin{aligned}\angle APB &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

זווית בין שני משיקים

∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ

נתון

∠ADB=12(360∘−100∘)=130∘\begin{aligned}\angle ADB &= \tfrac{1}{2}(360^\circ - 100^\circ) \\ &= 130^\circ\end{aligned}

DD נשענת על הקשת הגדולה

50<80<100<13050 < 80 < 100 < 130. המלכודת: לחשוב ש-∠ADB\angle ADB שווה ל-∠ACB\angle ACB — הקודקודים על קשתות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCD12609894.08

טרפז ישר זווית ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC, ∠A=∠D=90∘\angle A = \angle D = 90^\circ) חוסם מעגל שרדיוסו 44. הבסיסים הם AB=12AB = 12 ו-DC=6DC = 6. חשבו את השוק BCBC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

AD=2⋅4=8\begin{aligned}AD &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

השוק הניצבת שווה לקוטר — המרחק בין שני המשיקים המקבילים

AB+DC=AD+BCAB + DC = AD + BC

מרובע חוסם מעגל

18=8+BC⇒BC=10\begin{aligned}18 &= 8 + BC \Rightarrow BC \\ &= 10\end{aligned}
82+(12−6)2=10 ✓\sqrt{8^2 + (12 - 6)^2} = 10 \ \checkmark

בדיקה בפיתגורס

המלכודת: להניח AD=4AD = 4. המעגל נוגע בשני הבסיסים, ולכן הגובה הוא קוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת