סדרה 2 — בינוני · המעגל · כיתה י׳

בסדרה הזאת כל שאלה דורשת שני צעדים: משפט של המעגל, ואחריו משולש שווה שוקיים, משוואה או פיתגורס. הנושאים מעורבבים — חלק מהעבודה הוא לזהות איזה משפט מתאים.

סמנו בשרטוט כל מה שנובע מהנתונים לפני שאתם מחשבים: רדיוסים שווים, זוויות ישרות (קוטר, משיק, אנך למיתר), משיקים שווים. בדרך כלל התשובה מופיעה מעצמה.

תרגילים

תרגיל 1

המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ , ו- $\angle BOC = 140^\circ$ ( $A$ על הקשת הגדולה). חשבו את $\angle OBC$ ואת $\angle BAC$ , ורשמו את $\angle OBC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAC &= \tfrac{1}{2} \cdot 140^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זווית היקפית

\begin{aligned}OB &= OC \Rightarrow \angle OBC \\ &= \frac{180^\circ - 140^\circ}{2} \\ &= 20^\circ\end{aligned}

משולש שווה שוקיים

המלכודת: לענות $70$ — זו $\angle BAC$ . $\angle OBC$ נמצאת במשולש $BOC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במעגל שרדיוסו $25$ שני מיתרים מקבילים, $AB = 48$ ו- $CD = 14$ , באותו צד של המרכז. חשבו את המרחק בין המיתרים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

\begin{aligned}d_1 &= \sqrt{25^2 - 24^2} \\ &= 7\end{aligned}

המרחק של $AB$

\begin{aligned}d_2 &= \sqrt{25^2 - 7^2} \\ &= 24\end{aligned}

המרחק של $CD$

24 - 7 = 17

באותו צד — מחסרים

המלכודת: לחבר ( $31$ ). כששני המיתרים באותו צד של המרכז, המרחק ביניהם הוא הפרש המרחקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, $\angle A = (2x + 10)^\circ$ ו- $\angle C = (3x - 5)^\circ$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 35

הפתרון:

(2x + 10) + (3x - 5) = 180

זוויות נגדיות

\begin{aligned}5x + 5 &= 180 \Rightarrow x \\ &= 35\end{aligned}

\begin{aligned}\angle A &= 80^\circ \\ \ \angle C &= 100^\circ\end{aligned}

בדיקה

המלכודת: להשוות את שני הביטויים. נגדיות במרובע חסום משלימות, הן אינן שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במעגל שמרכזו $O$ נתון $AB = CD$ ו- $\angle AOB = 72^\circ$ . הנקודה $E$ על הקשת הגדולה $CD$ . מהי $\angle CED$ ?

$144^\circ$
$72^\circ$
$36^\circ$
$18^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $36^\circ$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= CD \Rightarrow \angle COD \\ &= \angle AOB \\ &= 72^\circ\end{aligned}

מיתרים שווים — זוויות מרכזיות שוות

\begin{aligned}\angle CED &= \tfrac{1}{2} \cdot 72^\circ \\ &= 36^\circ\end{aligned}

זווית היקפית

התשובה: $36^\circ$ . $72^\circ$ היא הזווית המרכזית $\angle COD$ . המלכודת: לעצור אחרי השלב הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל, $PA = 9$ ו- $\angle APB = 60^\circ$ . חשבו את אורך המיתר $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}PA &= PB \\ &= 9\end{aligned}

שני משיקים מנקודה אחת

\begin{aligned}\angle PAB &= \angle PBA \\ &= \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} \\ &= 60^\circ\end{aligned}

משולש שווה שוקיים

\Rightarrow AB = 9

$\triangle PAB$ שווה צלעות: שלוש זוויות של $60^\circ$

המלכודת: לחפש את הרדיוס. אין בו צורך — המשולש $PAB$ כולו ידוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המרובע $ABCD$ חוסם מעגל. $AB = x + 5$ , $BC = 13$ , $CD = 2x + 1$ , $DA = 14$ . השלימו.

$x =$ ____ , והיקף המרובע הוא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 7 , והיקף המרובע הוא 54

הפתרון:

(x + 5) + (2x + 1) = 13 + 14

סכומי צלעות נגדיות

\begin{aligned}3x + 6 &= 27 \Rightarrow x \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}P &= 12 + 13 + 15 + 14 \\ &= 54\end{aligned}

או פשוט $2 \cdot 27$

המלכודת: לחשב את ההיקף מ- $x$ בלבד ולשכוח את הצלעות הנתונות. וקיצור: ההיקף הוא פעמיים סכום זוג נגדיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: במעגל אחד $AB = CD$ . זווית היקפית שקודקודה על הקשת הגדולה $AB$ שווה לזווית היקפית שקודקודה על הקשת הגדולה $CD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= CD \Rightarrow \angle AOB \\ &= \angle COD\end{aligned}

מיתרים שווים — זוויות מרכזיות שוות

\tfrac{1}{2}\angle AOB = \tfrac{1}{2}\angle COD

כל היקפית היא חצי מהמרכזית שלה

נכון. המלכודת: לחשוב שהשוויון דורש שהמיתרים יהיו מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ . רדיוס המעגל $6$ ו- $PA = 8$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודה $K$ שבין $P$ ל- $O$ . חשבו את $PK$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}OP &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OAP$

\begin{aligned}PK &= OP - OK \\ &= 10 - 6 \\ &= 4\end{aligned}

$OK$ רדיוס

המלכודת: לענות $10$ . $K$ על המעגל, ולכן מחסרים רדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במעגל שרדיוסו $13$ נתון מיתר באורך $10$ . תלמיד חישב את מרחק המיתר מהמרכז. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}AM &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

d^2 = 13^2 - 10^2

d^2 = 144

d = 12

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $d^2 = 13^2 - 10^2$ → $d^2 = 13^2 - 5^2$

הפתרון:

13^2 = d^2 + AM^2

פיתגורס במשולש $OMA$ — הניצב הוא חצי המיתר

\begin{aligned}d^2 &= 169 - 25 \\ &= 144\end{aligned}

השורה השנייה הציבה את המיתר כולו. המלכודת: לחשב את $AM$ ואז לא להשתמש בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$AP$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ , $AB$ מיתר, ו- $\angle PAB = 65^\circ$ . חשבו את $\angle OAB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק מאונך לרדיוס

\begin{aligned}\angle OAB &= 90^\circ - 65^\circ \\ &= 25^\circ\end{aligned}

בדיקה: $\angle AOB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ = 2 \cdot 65^\circ$ ✓. המלכודת: לחשוב ש- $OA$ חוצה את הזווית בין המשיק למיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev