סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: זווית היקפית ומרכזית, מיתר ומרחקו מהמרכז, מרובע חסום, משיקים, מרובע חוסם, וזווית בין משיק למיתר. כל שאלה דורשת משפט אחד וחישוב קצר.

לפני כל חישוב אמרו בקול איזה משפט אתם מפעילים. ובכל שאלה על זווית שאלו: על איזו קשת היא נשענת, והיכן הקודקוד — במרכז, על המעגל, או מחוץ לו?

תרגילים

תרגיל 1

150°?OABC010096

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=150∘\angle AOB = 150^\circ, והנקודה CC על הקשת הגדולה ABAB. חשבו את ∠ACB\angle ACB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

∠ACB=12∠AOB=12⋅150∘=75∘\begin{aligned}\angle ACB &= \tfrac{1}{2}\angle AOB \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 150^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה לחצי המרכזית הנשענת על אותה קשת

המלכודת: לענות 150150 או 300300. ההיקפית היא חצי מהמרכזית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

OABM106010096

רדיוס המעגל 1010, והמרחק של המיתר ABAB מהמרכז הוא 66. חשבו את אורך המיתר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

AM2=102−62=64⇒AM=8\begin{aligned}AM^2 &= 10^2 - 6^2 \\ &= 64 \Rightarrow AM \\ &= 8\end{aligned}

פיתגורס במשולש OMAOMA

AB=2⋅8=16\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 8 \\ &= 16\end{aligned}

האנך מהמרכז חוצה את המיתר

המלכודת: לעצור ב-88 — זה חצי מהמיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

124°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ו-∠B=124∘\angle B = 124^\circ. חשבו את ∠D\angle D.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56

הפתרון:

∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ

זוויות נגדיות במרובע חסום

∠D=56∘\angle D = 56^\circ

המלכודת: להשלים ל-360∘360^\circ ולקבל 236236. זוג נגדיות משלים ל-180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

OPA815010096

PAPA משיק למעגל שמרכזו OO בנקודה AA. רדיוס המעגל 88 ו-PA=15PA = 15. חשבו את OPOP.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

∠OAP=90∘\angle OAP = 90^\circ

המשיק מאונך לרדיוס

OP2=82+152=289⇒OP=17\begin{aligned}OP^2 &= 8^2 + 15^2 \\ &= 289 \Rightarrow OP \\ &= 17\end{aligned}

פיתגורס — OPOP יתר

המלכודת: לחסר ריבועים. כאן מבקשים את היתר, ולכן מחברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

41°?OABC010096

ABAB קוטר במעגל, CC נקודה על המעגל, ו-∠CAB=41∘\angle CAB = 41^\circ. מהי ∠CBA\angle CBA?

  1. 90∘90^\circ
  2. 49∘49^\circ
  3. 41∘41^\circ
  4. 139∘139^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 49∘49^\circ

הפתרון:

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר

∠CBA=180∘−90∘−41∘=49∘\begin{aligned}\angle CBA &= 180^\circ - 90^\circ - 41^\circ \\ &= 49^\circ\end{aligned}

התשובה: 49∘49^\circ. 139∘139^\circ מתקבלת מ-180−41180 - 41 בלי הזווית הישרה. המלכודת: לשכוח שהזווית ב-CC ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

OABCD010096

נכון או לא נכון: במעגל שרדיוסו RR, כל מיתר שאינו קוטר קצר מ-2R2R.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

OA=OB=R\begin{aligned}OA &= OB \\ &= R\end{aligned}

מחברים את המרכז לקצות מיתר ABAB שאינו קוטר

AB<OA+OB=2RAB < OA + OB = 2R

אי-שוויון המשולש במשולש OABOAB

נכון. הקוטר, שאורכו 2R2R, הוא המיתר הארוך ביותר. המלכודת: «להוכיח» בציור של מיתר אחד — הנימוק צריך לעבוד לכל מיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

OABCTS010096

בשרטוט: ABAB קוטר, CC על המעגל, ו-TSTS משיק ב-BB. התאימו כל משפט למה שהוא נותן.

  • זווית היקפית הנשענת על קוטר
  • משיק ורדיוס בנקודת ההשקה
  • זוויות נגדיות במרובע חסום
  • שני משיקים מנקודה אחת
  • צלעות נגדיות במרובע חוסם מעגל
  • מאונכים זה לזה
  • סכומיהן שווים
  • סכומן 180∘180^\circ
  • שווה 90∘90^\circ
  • שווים באורכם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: זווית היקפית הנשענת על קוטר — שווה 90∘90^\circ · משיק ורדיוס בנקודת ההשקה — מאונכים זה לזה · זוויות נגדיות במרובע חסום — סכומן 180∘180^\circ · שני משיקים מנקודה אחת — שווים באורכם · צלעות נגדיות במרובע חוסם מעגל — סכומיהן שווים

הפתרון:

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

הקוטר ABAB

OB⊥TSOB \perp TS

המשיק ב-BB

המלכודת: לבלבל בין מרובע חסום (זוויות, 180∘180^\circ) למרובע חוסם (צלעות, סכומים שווים).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD6810?09902.925

המרובע ABCDABCD חוסם מעגל. נתון AB=6AB = 6, BC=8BC = 8 ו-CD=10CD = 10. חשבו את DADA.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

AB+CD=BC+DAAB + CD = BC + DA

סכומי צלעות נגדיות

6+10=8+DA⇒DA=8\begin{aligned}6 + 10 &= 8 + DA \Rightarrow DA \\ &= 8\end{aligned}

המלכודת: 6+8=10+DA6 + 8 = 10 + DA נותן 44 — חיבור של צלעות סמוכות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

70°?OPAB010096

PAPA ו-PBPB משיקים למעגל שמרכזו OO, ו-∠APB=70∘\angle APB = 70^\circ. חשבו את ∠AOB\angle AOB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

∠OAP=∠OBP=90∘\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

רדיוס מאונך למשיק

∠AOB=360∘−180∘−70∘=110∘\begin{aligned}\angle AOB &= 360^\circ - 180^\circ - 70^\circ \\ &= 110^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במרובע OAPBOAPB

המלכודת: 2⋅70=1402 \cdot 70 = 140. PP אינה על המעגל, ולכן אין כאן יחס של «חצי».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

52°?ABPC010096

APAP משיק למעגל בנקודה AA, ABAB מיתר, ו-∠PAB=52∘\angle PAB = 52^\circ. הנקודה CC על הקשת שבצד השני של ABAB. חשבו את ∠ACB\angle ACB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 52

הפתרון:

∠ACB=∠PAB\angle ACB = \angle PAB

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית שמהצד השני

∠ACB=52∘\angle ACB = 52^\circ

המלכודת: לחשב 90−52=3890 - 52 = 38. זו ∠OAB\angle OAB, לא הזווית ההיקפית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת