פותרים יחד · המעגל · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון גדול של הפרק: מיתרים והאנך מהמרכז, זוויות היקפיות במרובע חסום, משיקים, מרובע חוסם, ו«הוכיחו או הפריכו». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ומחכה לכם למטה שאלה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים בשורה הבאה, ועם איזה נימוק. הפער בין התוכנית שלכם לשלב שמופיע — שם הלמידה.

1 — שני מיתרים מקבילים

AB ו-CD מקבילים ובאותו צד של O. הקטעים המקווקווים הם האנך מהמרכז והרדיוסים.

פעילות אינטראקטיבית

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $10$ נתונים שני מיתרים מקבילים, $AB = 16$ ו- $CD = 12$ , שניהם באותו צד של המרכז. א. חשבו את המרחק של כל מיתר מהמרכז. ב. חשבו את המרחק בין המיתרים. ג. חשבו את שטח הטרפז $ABDC$ .

\begin{aligned}R &= 10 \\ \quad AB &= 16 \\ \quad CD &= 12 \\ \quad AB \parallel CD\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל הסעיפים נשענים על משפט אחד: האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו.

OM \perp AB \Rightarrow AM = 8

$M$ אמצע $AB$ : האנך מהמרכז חוצה את המיתר.

\begin{aligned}OM &= \sqrt{10^2 - 8^2} \\ &= 6\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMB$ , שבו הרדיוס הוא היתר.

\begin{aligned}ON &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

אותו דבר למיתר $CD$ : חצי ממנו הוא $6$ .

\begin{aligned}MN &= ON - OM \\ &= 8 - 6 \\ &= 2\end{aligned}

שני המיתרים באותו צד — מחסרים. המיתר הארוך קרוב יותר למרכז.

\begin{aligned}S &= \frac{(16 + 12) \cdot 2}{2} \\ &= 28\end{aligned}

הגובה של הטרפז הוא המרחק בין הבסיסים המקבילים.

בדיקה שכדאי לעשות: $MN$ חיובי, והמיתר הארוך ( $16$ ) יצא קרוב יותר למרכז ( $6 < 8$ ), כמו שהמשפט אומר.

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה היה המרחק בין המיתרים אילו היו משני צדי המרכז?

להציג את התשובה והפתרון

$14$ — מחברים: $6 + 8$ . ושטח הטרפז היה $\frac{28 \cdot 14}{2} = 196$ .

התאומה (שאלה 1 למטה): אותו רעיון, מיתרים משני צדי המרכז.

2 — חוצה זווית במרובע חסום

ABCD חסום במעגל, והאלכסון AC חוצה את הזווית BAD.

פעילות אינטראקטיבית

חוצה זווית במרובע חסום

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והאלכסון $AC$ חוצה את $\angle BAD$ . א. הוכיחו כי $CB = CD$ . ב. נתון $\angle BAD = 2\alpha$ . הביעו באמצעות $\alpha$ את $\angle CBD$ ואת $\angle BCD$ .

סעיף א. מה נותן לנו « $AC$ חוצה את $\angle BAD$ »?

$\angle BAC = \angle CAD$ — שתי זוויות היקפיות שוות.

להציג את התשובה והפתרון

כן. אחת נשענת על המיתר $BC$ , והשנייה על המיתר $CD$ .

$AB = AD$ .

להציג את התשובה והפתרון

חוצה זווית אינו נותן שוויון צלעות, אלא אם המשולש שווה שוקיים — וזה לא נתון.

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle CAD \\ &= \alpha\end{aligned}

הגדרת חוצה זווית.

איך עוברים משתי זוויות היקפיות שוות לשני מיתרים שווים?

זוויות היקפיות שוות נשענות על קשתות שוות, ולכן על מיתרים שווים.

להציג את התשובה והפתרון

כן: היקפיות שוות ⇐ מרכזיות שוות ⇐ מיתרים שווים.

המשולשים $ABC$ ו- $ADC$ חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

אין מספיק נתונים לחפיפה: יש זווית שווה וצלע משותפת, וזה לא אחד ממשפטי החפיפה.

CB = CD

וזה סעיף א.

סעיף ב. מהי $\angle CBD$ ?

$\alpha$ — היא נשענת על הקשת $CD$ , כמו $\angle CAD$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. $B$ ו- $A$ שתיהן על הקשת הגדולה $CD$ .

$2\alpha$ — כמו $\angle BAD$ .

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAD$ נשענת על $BD$ , לא על $CD$ .

\begin{aligned}\angle CBD &= \angle CAD \\ &= \alpha\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת.

ואיך מקבלים את $\angle BCD$ ?

זוויות נגדיות במרובע חסום: $180^\circ - 2\alpha$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. ובדיקה במשולש $BCD$ : $\alpha + \alpha + (180^\circ - 2\alpha) = 180^\circ$ ✓.

$180^\circ - \alpha$ .

להציג את התשובה והפתרון

הזווית הנגדית ל- $C$ היא כל $\angle BAD = 2\alpha$ , לא חצי ממנה.

\angle BCD = 180^\circ - 2\alpha

והמשולש $BCD$ שווה שוקיים, בהתאם לסעיף א.

להציג את התשובה והפתרון

א. $CB = CD$ . ב. $\angle CBD = \alpha$ ו- $\angle BCD = 180^\circ - 2\alpha$ . סעיף ב בודק את עצמו: משולש שווה שוקיים עם זוויות בסיס $\alpha$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

התאומה (שאלה 2 למטה): אותו שרטוט עם מספרים.

3 — שני משיקים וזווית היקפית

PA ו-PB משיקים. C על הקשת הגדולה AB.

פעילות אינטראקטיבית

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה $AB$ , ו- $\angle ACB = \beta$ . א. הביעו באמצעות $\beta$ את $\angle AOB$ ואת $\angle APB$ . ב. הביעו באמצעות $\beta$ את $\angle PAB$ . ג. האם ייתכן $\beta = 90^\circ$ ?

\angle ACB = \beta

לחצו «להתחיל». שלושה משפטים ייכנסו לפעולה: זווית היקפית, רדיוס מאונך למשיק, ושני משיקים שווים.

\angle AOB = 2\beta

זווית מרכזית כפולה מההיקפית הנשענת על אותה קשת.

\begin{aligned}\angle APB &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 2\beta \\ &= 180^\circ - 2\beta\end{aligned}

במרובע $OAPB$ שתי זוויות ישרות.

\begin{aligned}PA &= PB \Rightarrow \angle PAB \\ &= \frac{180^\circ - (180^\circ - 2\beta)}{2}\end{aligned}

משולש $PAB$ שווה שוקיים.

\angle PAB = \beta

וזה בדיוק משפט הזווית בין משיק למיתר — בדיקה בחינם.

\begin{aligned}\beta &= 90^\circ \Rightarrow \angle APB \\ &= 0^\circ\end{aligned}

הזווית בין המשיקים מתאפסת: המשיקים מקבילים ואינם נפגשים.

\beta \neq 90^\circ

לא ייתכן. כש- $\beta = 90^\circ$ המיתר $AB$ הוא קוטר, והמשיקים בקצותיו מקבילים — אין נקודה $P$ .

ב«האם ייתכן» לא עונים «לא» בלבד: מראים איזה גודל יוצא בלתי אפשרי ( $0^\circ$ ), ומסבירים למה.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשאלה הזאת, מה קורה ל- $\angle APB$ כש- $\beta$ קטנה מאוד — למשל $\beta = 5^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\angle APB = 170^\circ$ : המשיקים כמעט על ישר אחד, והנקודה $P$ קרובה מאוד למעגל. ככל ש- $\beta$ גדלה, $P$ מתרחקת.

4 — מרובע חוסם עם פרמטר

המרובע חוסם מעגל. אורכי הצלעות תלויים ב-x.

פעילות אינטראקטיבית

המרובע $ABCD$ חוסם מעגל. $AB = x + 3$ , $BC = 2x$ , $CD = 3x - 1$ , $DA = x + 6$ . א. מצאו את $x$ ואת אורכי הצלעות. ב. חשבו את היקף המרובע. ג. נתון גם $\angle B + \angle D = 180^\circ$ . הוכיחו שהמרובע גם חסום במעגל.

AB + CD = BC + DA

לחצו «להתחיל». סעיף א ו-ב: מרובע חוסם (צלעות). סעיף ג: מרובע חסום (זוויות).

(x + 3) + (3x - 1) = 2x + (x + 6)

סכומי הצלעות הנגדיות שווים.

\begin{aligned}4x + 2 &= 3x + 6 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}AB &= 7 \\ \ BC &= 8 \\ \ CD &= 11 \\ \ DA &= 10\end{aligned}

בדיקה: $7 + 11 = 18 = 8 + 10$ ✓.

\begin{aligned}P &= 2 \cdot 18 \\ &= 36\end{aligned}

ההיקף הוא פעמיים סכום זוג נגדיות.

\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 360^\circ - (\angle B + \angle D) \\ &= 180^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע $360^\circ$ , ולכן גם הזוג השני משלים ל- $180^\circ$ .

\Rightarrow

$ABCD$ חסום במעגל, לפי המשפט ההפוך: זוג זוויות נגדיות שסכומו $180^\circ$ .

שני מעגלים שונים באותה שאלה: המעגל שבתוך המרובע נוגע בצלעות, והמעגל שמסביב עובר דרך הקודקודים.

לעשות את הפעילות ב-elev

התאומה (שאלה 4 למטה): צלעות אחרות, ותשובה שאינה מספר שלם.

5 — הוכיחו או הפריכו

טרפז ABCD החסום במעגל, AB ∥ DC.

פעילות אינטראקטיבית

הוכיחו או הפריכו: טרפז חסום במעגל

הוכיחו או הפריכו: כל טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים.

מאיפה מתחילים?

מהטענה «לכל טרפז»: מנסים להוכיח, ואם נתקעים — מחפשים דוגמה נגדית.

להציג את התשובה והפתרון

כן. לא מתחילים ממדידה של שרטוט אחד.

משרטטים טרפז במעגל ומודדים את השוקיים.

להציג את התשובה והפתרון

מדידה מראה מקרה אחד. היא לא מוכיחה «לכל», ולא מחליפה דוגמה נגדית מנומקת.

ABCD \text{ טרפז} ,\ AB \parallel DC ,\ \text{חסום}

הנתונים.

מה נותנים המקבילים?

$\angle A + \angle D = 180^\circ$ — זוויות חד-צדדיות.

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AB \parallel DC$ , והשוק $AD$ חותכת אותם.

$\angle A = \angle D$ .

להציג את התשובה והפתרון

אלה זוויות חד-צדדיות, לא מתחלפות — הן משלימות, לא שוות.

\angle A + \angle D = 180^\circ

מהמקבילים.

ומה נותן «חסום במעגל»?

$\angle B + \angle D = 180^\circ$ — זוויות נגדיות.

להציג את התשובה והפתרון

כן. ועכשיו שתי זוויות משלימות את אותה $\angle D$ .

$\angle A + \angle B = 180^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

$A$ ו- $B$ סמוכות על הבסיס. במרובע חסום משלימות רק זוויות נגדיות.

\angle A = \angle B

שתיהן שוות ל- $180^\circ - \angle D$ .

להציג את התשובה והפתרון

הטענה נכונה. זוויות הבסיס $\angle A = \angle B$ , וטרפז שזוויות הבסיס שלו שוות הוא שווה שוקיים. זו גם הסיבה שבשאלות רבות «טרפז חסום» מאפשר לכתוב מיד $AD = BC$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

והטענה ההפוכה — «כל טרפז שווה שוקיים חסום במעגל» — נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

כן. בטרפז שווה שוקיים $\angle A = \angle B$ ו- $\angle B + \angle C = 180^\circ$ (חד-צדדיות), ולכן $\angle A + \angle C = 180^\circ$ — ולפי המשפט ההפוך הוא חסום. כאן גם המשפט וגם ההפוך שלו נכונים.

תרגילים

תרגיל 1

במעגל שרדיוסו $13$ נתונים שני מיתרים מקבילים, $AB = 10$ ו- $CD = 24$ , משני צדי המרכז. חשבו את שטח הטרפז שקודקודיו $A, B, C, D$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 289

הפתרון:

\begin{aligned}d_{AB} &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

האנך מהמרכז חוצה את $AB$

\begin{aligned}d_{CD} &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

וחוצה את $CD$

\begin{aligned}h &= 12 + 5 \\ &= 17\end{aligned}

משני צדי המרכז — מחברים

\begin{aligned}S &= \frac{(10 + 24) \cdot 17}{2} \\ &= 289\end{aligned}

המלכודת: לחסר את המרחקים ( $h = 7$ ). חיסור מתאים רק כששני המיתרים באותו צד של המרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, האלכסון $AC$ חוצה את $\angle BAD$ , ו- $\angle BAD = 76^\circ$ . חשבו את $\angle BDC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 38

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle CAD \\ &= 38^\circ\end{aligned}

חוצה זווית

\begin{aligned}\angle BDC &= \angle BAC \\ &= 38^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $BC$

\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 76^\circ \\ &= 104^\circ\end{aligned}

בדיקה: $38 + 38 + 104 = 180$ במשולש $BCD$ ✓

המלכודת: לענות $76$ או $104$ . $\angle BDC$ נשענת על $BC$ — כמו חצי מ- $\angle BAD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , ו- $\angle APB = 48^\circ$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה $AB$ . חשבו את $\angle ACB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 66

הפתרון:

\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 48^\circ \\ &= 132^\circ\end{aligned}

במרובע $OAPB$ שתי זוויות ישרות

\begin{aligned}\angle ACB &= \tfrac{1}{2} \cdot 132^\circ \\ &= 66^\circ\end{aligned}

זווית היקפית

המלכודת: $\frac{48}{2} = 24$ — כאילו $P$ מרכז המעגל. עוברים דרך הזווית המרכזית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המרובע $ABCD$ חוסם מעגל. $AB = 2x + 1$ , $BC = x + 5$ , $CD = 3x - 2$ , $DA = 2x + 3$ . חשבו את היקף המרובע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 43

הפתרון:

(2x + 1) + (3x - 2) = (x + 5) + (2x + 3)

סכומי הצלעות הנגדיות שווים

\begin{aligned}5x - 1 &= 3x + 8 \Rightarrow x \\ &= 4.5\end{aligned}

\begin{aligned}AB &= 10 \\ \ BC &= 9.5 \\ \ CD &= 11.5 \\ \ DA &= 12\end{aligned}

בדיקה: $10 + 11.5 = 21.5 = 9.5 + 12$ ✓

\begin{aligned}P &= 2 \cdot 21.5 \\ &= 43\end{aligned}

המלכודת: להניח ש- $x$ שלם ולעגל. $x = 4.5$ הוא פתרון תקין — כל הצלעות חיוביות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: כל דלתון חסום במעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD \Rightarrow \angle B \\ &= \angle D\end{aligned}

חפיפה צ.צ.צ עם האלכסון $AC$

\begin{aligned}\angle B &= \angle D \\ &= 100^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית: דלתון שבו הזוויות השוות $100^\circ$

\angle B + \angle D = 200^\circ \ne 180^\circ

הזוויות הנגדיות אינן משלימות — הדלתון אינו חסום

לא נכון. דלתון חסום במעגל רק כששתי הזוויות השוות שלו ישרות. המלכודת: לבלבל עם «כל דלתון חוסם מעגל» — זה כן נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — שני מיתרים מקבילים

2 — חוצה זווית במרובע חסום

3 — שני משיקים וזווית היקפית

4 — מרובע חוסם עם פרמטר

5 — הוכיחו או הפריכו

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev