משיקים למעגל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ישר ומעגל יכולים להיפגש בשתי נקודות (חותך), לא להיפגש כלל, או לגעת במעגל בנקודה אחת בלבד. ישר כזה נקרא משיק, והנקודה נקראת נקודת ההשקה.

OAST09853.536
הישר ST נוגע במעגל רק בנקודה A. הרדיוס OA יוצר איתו זווית ישרה.
OA⊥tOA \perp t

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

OA⊥t ,A∈מעגל⇒t משיקOA \perp t \text{ ,} A \in \text{מעגל} \Rightarrow t \text{ משיק}

המשפט ההפוך: ישר שמאונך לרדיוס בקצהו שעל המעגל הוא משיק.

רדיוס המעגל 66, ומנקודה PP שמרחקה מהמרכז 1010 יוצא משיק PAPA. מהו אורך המשיק?

להציג את התשובה והפתרון

88. המשולש OAPOAP ישר זווית ב-AA, והיתר הוא OPOP: PA=102−62=8PA = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8.

שני משיקים מנקודה אחת

OPAB010096
מהנקודה P יוצאים שני משיקים, והם נוגעים במעגל ב-A וב-B.
PA=PBPA = PB

שני משיקים מנקודה אחת שווים באורכם.

∠APO=∠BPO\angle APO = \angle BPO

הקטע מהנקודה למרכז חוצה את הזווית שבין המשיקים.

∠APB+∠AOB=180∘\angle APB + \angle AOB = 180^\circ

במרובע OAPBOAPB יש שתי זוויות ישרות, ולכן שתי האחרות משלימות ל-180∘180^\circ.

הזווית בין שני משיקים היא ∠APB=50∘\angle APB = 50^\circ. מהי הזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB?

להציג את התשובה והפתרון

130∘130^\circ. במרובע OAPBOAPB: 360∘−90∘−90∘−50∘360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ.

מרובע חוסם מעגל

כשכל ארבע הצלעות של מרובע משיקות למעגל, המרובע חוסם את המעגל. מכל קודקוד יוצאים שני משיקים — ולכן כל צלע מתפרקת לשני קטעים שכבר מכירים.

ABCDKLMN09882.136
המרובע ABCD חוסם את המעגל. K, L, M, N נקודות ההשקה.
AB+CD=BC+DAAB + CD = BC + DA

הזווית בין משיק למיתר

ββOABPQC010096
PQ משיק ב-A, ו-AB מיתר. הזווית שבין המשיק למיתר שווה לזווית ההיקפית ACB שבצד השני.

שני משיקים וזווית בין משיק למיתר

PAPA ו-PBPB משיקים למעגל, ו-∠APB=40∘\angle APB = 40^\circ. מצאו את ∠PAB\angle PAB ואת הזווית ההיקפית ∠ACB\angle ACB, כאשר CC על הקשת הגדולה.

PA=PB⇒∠PAB=∠PBA\begin{aligned}PA &= PB \Rightarrow \angle PAB \\ &= \angle PBA\end{aligned}

שני משיקים — המשולש PABPAB שווה שוקיים

∠PAB=180∘−40∘2=70∘\begin{aligned}\angle PAB &= \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש

∠ACB=∠PAB=70∘\begin{aligned}\angle ACB &= \angle PAB \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זווית בין משיק למיתר שווה להיקפית שמהצד השני

שלוש הטעויות של המשיקים.

∠APB=∠AOB\angle APB = \angle AOB
∠APB=180∘−∠AOB\angle APB = 180^\circ - \angle AOB

הזוויות משלימות: במרובע OAPBOAPB יש שתי זוויות ישרות.

AB+BC=CD+DAAB + BC = CD + DA
AB+CD=BC+DAAB + CD = BC + DA

במרובע חוסם מחברים צלעות נגדיות, לא סמוכות.

∠PAB=∠AOB\angle PAB = \angle AOB
∠PAB=12∠AOB\angle PAB = \tfrac{1}{2}\angle AOB

הזווית בין משיק למיתר מתנהגת כמו זווית היקפית: חצי מהמרכזית.

תרגילים

תרגיל 1

OPA513010096

PAPA משיק למעגל שמרכזו OO ורדיוסו 55, ו-OP=13OP = 13. חשבו את אורך המשיק PAPA.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

∠OAP=90∘\angle OAP = 90^\circ

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

PA2=132−52=144\begin{aligned}PA^2 &= 13^2 - 5^2 \\ &= 144\end{aligned}

פיתגורס — היתר הוא OPOP

PA=12PA = 12

המלכודת: לחבר 132+5213^2 + 5^2. הזווית הישרה ב-AA, ולכן OPOP הוא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

64°?OPAB010096

PAPA ו-PBPB משיקים למעגל שמרכזו OO, ו-∠APB=64∘\angle APB = 64^\circ. חשבו את ∠AOB\angle AOB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 116

הפתרון:

∠OAP=∠OBP=90∘\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

רדיוס מאונך למשיק

∠AOB=360∘−90∘−90∘−64∘=116∘\begin{aligned}\angle AOB &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 64^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע OAPBOAPB

המלכודת: לחשב 2⋅642 \cdot 64 כאילו PP על המעגל. PP מחוץ למעגל — וזוויתו משלימה את המרכזית ל-180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCD7912?09882.136

המרובע ABCDABCD חוסם מעגל. נתון AB=7AB = 7, BC=9BC = 9 ו-CD=12CD = 12. חשבו את DADA.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

AB+CD=BC+DAAB + CD = BC + DA

במרובע חוסם מעגל סכומי הצלעות הנגדיות שווים

7+12=9+DA7 + 12 = 9 + DA
DA=10DA = 10

המלכודת: לחבר צלעות סמוכות (7+9=12+DA7 + 9 = 12 + DA) ולקבל 44. מחברים נגדיות: ABAB עם CDCD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

38°?OABP010096

APAP משיק למעגל שמרכזו OO בנקודה AA, ו-ABAB מיתר. הזווית בין המשיק למיתר היא ∠PAB=38∘\angle PAB = 38^\circ. חשבו את הזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 76

הפתרון:

∠OAB=90∘−38∘=52∘\begin{aligned}\angle OAB &= 90^\circ - 38^\circ \\ &= 52^\circ\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס

∠OBA=52∘\angle OBA = 52^\circ

OA=OBOA = OB

∠AOB=180∘−104∘=76∘\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 104^\circ \\ &= 76^\circ\end{aligned}

וזה בדיוק 2⋅38∘2 \cdot 38^\circ

המלכודת: לענות 3838. הזווית בין משיק למיתר היא חצי מהזווית המרכזית, כמו זווית היקפית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

40°?OPAB010096

PAPA ו-PBPB משיקים למעגל, ו-∠APB=40∘\angle APB = 40^\circ. מהי ∠PAB\angle PAB?

  1. 140∘140^\circ
  2. 50∘50^\circ
  3. 40∘40^\circ
  4. 70∘70^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 70∘70^\circ

הפתרון:

PA=PBPA = PB

שני משיקים מנקודה אחת

∠PAB=∠PBA=180∘−40∘2=70∘\begin{aligned}\angle PAB &= \angle PBA \\ &= \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים

התשובה: 70∘70^\circ. 140∘140^\circ היא הזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB, ו-50∘50^\circ מתקבלת מ-90∘−40∘90^\circ - 40^\circ בלי נימוק. המלכודת: לא לראות שהמשולש PABPAB שווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD469509977.372

האם ייתכן שמרובע שצלעותיו לפי הסדר הן AB=4AB = 4, BC=6BC = 6, CD=9CD = 9, DA=5DA = 5 חוסם מעגל?

  1. כן — כל מרובע קמור חוסם מעגל
  2. כן — כל צלע קצרה מסכום שלוש האחרות
  3. לא — 4+9≠6+54 + 9 \ne 6 + 5
  4. אי אפשר לדעת בלי הזוויות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא — 4+9≠6+54 + 9 \ne 6 + 5

הפתרון:

AB+CD=4+9=13\begin{aligned}AB + CD &= 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned}

זוג נגדיות אחד

BC+DA=6+5=11\begin{aligned}BC + DA &= 6 + 5 \\ &= 11\end{aligned}

הזוג השני

13≠1113 \ne 11

התנאי ההכרחי לא מתקיים

התשובה: «לא — 4+9≠6+54 + 9 \ne 6 + 5». בכל מרובע חוסם מעגל הסכומים שווים, ולכן מספיקה בדיקה אחת כדי לפסול. המלכודת: לחשוב שכל מרובע חוסם מעגל — רק מרובעים שבהם הסכומים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

OPAB010096

מנקודה PP מחוץ למעגל שמרכזו OO יוצאים שני משיקים, הנוגעים במעגל ב-AA וב-BB. הוכיחו כי PA=PBPA = PB.

  • PAPA ו-PBPB משיקים למעגל
  • OAOA ו-OBOB רדיוסים אל נקודות ההשקה

PA=PBPA = PB

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠OAP=∠OBP=90∘\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ — המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
  2. OA=OBOA = OB — רדיוסים באותו מעגל
  3. OP=OPOP = OP — צלע משותפת
  4. △OAP≅△OBP\triangle OAP \cong \triangle OBP — צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
  5. PA=PBPA = PB — צלעות מתאימות במשולשים חופפים

הפתרון:

∠OAP=∠OBP=90∘\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

OA=OBOA = OB

רדיוסים באותו מעגל

OP=OPOP = OP

צלע משותפת

△OAP≅△OBP\triangle OAP \cong \triangle OBP

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

PA=PBPA = PB

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

המלכודת: לנמק את החפיפה בצ.ז.צ. הזווית הישרה אינה בין OAOA ל-OPOP — היא מול OPOP, הצלע הגדולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD10128010037.34

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, BC=12BC = 12 ו-AC=8AC = 8. מעגל חסום במשולש נוגע בצלע ABAB בנקודה DD. חשבו את ADAD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

AD=x⇒BD=10−x\begin{aligned}AD &= x \Rightarrow BD \\ &= 10 - x\end{aligned}

הנקודה DD על ABAB

BE=BD=10−x   CE=CF=AC−AF=8−x\begin{aligned}BE &= BD \\ &= 10 - x \ \\ \ \ CE &= CF \\ &= AC - AF \\ &= 8 - x\end{aligned}

שני משיקים מכל קודקוד שווים (EE על BCBC, FF על ACAC)

(10−x)+(8−x)=12(10 - x) + (8 - x) = 12

הצלע BCBC מורכבת מהמשיקים מ-BB ומ-CC

18−2x=12⇒x=3\begin{aligned}18 - 2x &= 12 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

המלכודת: לחשוב ש-DD אמצע הצלע (AD=5AD = 5). נקודת ההשקה נקבעת לפי שלוש הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

OABPC010096

APAP משיק למעגל שמרכזו OO בנקודה AA, ABAB מיתר, ו-CC נקודה על הקשת שאינה בצד של PP. הוכיחו כי ∠PAB=∠ACB\angle PAB = \angle ACB.

  • APAP משיק בנקודה AA
  • ABAB מיתר, CC על המעגל

∠PAB=∠ACB\angle PAB = \angle ACB

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠OAP=90∘\angle OAP = 90^\circ — המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
  2. ∠PAB=90∘−∠OAB\angle PAB = 90^\circ - \angle OAB — ∠OAP\angle OAP מתפצלת ל-∠OAB\angle OAB ול-∠PAB\angle PAB
  3. ∠OAB=∠OBA\angle OAB = \angle OBA — OA=OBOA = OB — זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים
  4. ∠AOB=180∘−2∠OAB\angle AOB = 180^\circ - 2\angle OAB — סכום זוויות במשולש OABOAB
  5. ∠ACB=90∘−∠OAB\angle ACB = 90^\circ - \angle OAB — זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
  6. ∠PAB=∠ACB\angle PAB = \angle ACB — שתי הזוויות שוות לאותו ביטוי

הפתרון:

∠OAP=90∘\angle OAP = 90^\circ

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

∠PAB=90∘−∠OAB\angle PAB = 90^\circ - \angle OAB

∠OAP\angle OAP מתפצלת ל-∠OAB\angle OAB ול-∠PAB\angle PAB

∠OAB=∠OBA\angle OAB = \angle OBA

OA=OBOA = OB — זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים

∠AOB=180∘−2∠OAB\angle AOB = 180^\circ - 2\angle OAB

סכום זוויות במשולש OABOAB

∠ACB=90∘−∠OAB\angle ACB = 90^\circ - \angle OAB

זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

∠PAB=∠ACB\angle PAB = \angle ACB

שתי הזוויות שוות לאותו ביטוי

המלכודת: לכתוב «∠PAB=∠ACB\angle PAB = \angle ACB כי שתיהן נשענות על ABAB». ∠PAB\angle PAB אינה זווית היקפית — את השוויון צריך להוכיח דרך המרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

OAP51213010085.904

במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 55, הנקודה AA על המעגל. הנקודה PP מקיימת AP=12AP = 12 ו-OP=13OP = 13. הוכיחו או הפריכו: APAP משיק למעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

OA2+AP2=25+144=169=OP2\begin{aligned}OA^2 + AP^2 &= 25 + 144 \\ &= 169 \\ &= OP^2\end{aligned}

בדיקה

∠OAP=90∘\angle OAP = 90^\circ

המשפט ההפוך למשפט פיתגורס

AP⊥OA⇒AP משיקAP \perp OA \Rightarrow AP \text{ משיק}

ישר המאונך לרדיוס בקצהו שעל המעגל הוא משיק

נכון. זו הדרך להוכיח שישר הוא משיק: להראות שהוא מאונך לרדיוס בנקודה שעל המעגל. המלכודת: להניח את מה שמוכיחים — להתחיל מ«APAP משיק ולכן 90∘90^\circ».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת