מרובע חסום במעגל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מרובע שכל ארבעת קודקודיו נמצאים על מעגל נקרא מרובע חסום במעגל. כל אחת מזוויותיו היא זווית היקפית — ולכן כל מה שלמדנו על זוויות היקפיות עובד בו.

α180°−αABCD010096
המרובע ABCD חסום במעגל. הזווית A נשענת על הקשת BCD, והזווית C על הקשת BAD — ושתי הקשתות יחד הן המעגל כולו.

במרובע חסום ∠A=70∘\angle A = 70^\circ. מהי ∠C\angle C? ומה אפשר לומר על ∠B\angle B?

להציג את התשובה והפתרון

∠C=110∘\angle C = 110^\circ — הזווית הנגדית משלימה ל-180∘180^\circ. על ∠B\angle B אי אפשר לומר דבר בלי נתון נוסף: היא סמוכה ל-AA, לא נגדית לה.

המשפט ומאיפה הוא בא

∠A+∠C=180∘∠B+∠D=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 180^\circ \qquad \angle B + \angle D \\ &= 180^\circ\end{aligned}

במרובע חסום ∠A=70∘\angle A = 70^\circ, ∠B=100∘\angle B = 100^\circ ו-∠C=110∘\angle C = 110^\circ. מהי ∠D\angle D? ואיך בודקים את התשובה?

להציג את התשובה והפתרון

∠D=80∘\angle D = 80^\circ, כי ∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ. בדיקה: A+C=70+110=180A + C = 70 + 110 = 180 ✓, וסכום ארבע הזוויות 360∘360^\circ ✓.

מסקנה: הזווית החיצונית

מאריכים את הצלע BCBC מעבר ל-CC עד EE. הזווית ∠DCE\angle DCE צמודה ל-∠BCD\angle BCD, וגם ∠A\angle A משלימה את ∠BCD\angle BCD ל-180∘180^\circ. לכן: במרובע חסום, זווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שממול.

המשפט ההפוך — כך מוכיחים שמרובע חסום

אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ, אז המרובע חסום במעגל. זו הדרך המקובלת בבגרות להוכיח שאפשר להעביר מעגל דרך ארבע נקודות.

חסום⇒∠A+∠C=180∘\text{חסום} \Rightarrow \angle A + \angle C = 180^\circ

הכיוון הישיר — לחישוב זוויות.

∠A+∠C=180∘⇒חסום\angle A + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \text{חסום}

הכיוון ההפוך — להוכחה שקיים מעגל דרך ארבעת הקודקודים.

האם המרובע חסום?

במרובע ABCDABCD נתון ∠A=100∘\angle A = 100^\circ, ∠B=75∘\angle B = 75^\circ ו-∠C=80∘\angle C = 80^\circ. האם אפשר להעביר מעגל דרך ארבעת קודקודיו?

∠D=360∘−100∘−75∘−80∘=105∘\begin{aligned}\angle D &= 360^\circ - 100^\circ - 75^\circ - 80^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע

∠A+∠C=100∘+80∘=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 100^\circ + 80^\circ \\ &= 180^\circ\end{aligned}

זוג הזוויות הנגדיות

⇒\Rightarrow

ABCDABCD חסום במעגל, לפי המשפט ההפוך. (וגם 75+105=18075 + 105 = 180, כמו שחייב להיות.)

האם כל מלבן חסום במעגל? והאם כל מעוין?

להציג את התשובה והפתרון

כל מלבן — כן: כל זוג זוויות נגדיות הוא 90∘+90∘90^\circ + 90^\circ, ומרכז המעגל הוא מפגש האלכסונים. מעוין — לא תמיד: זוויותיו הנגדיות שוות, ולכן סכומן 180∘180^\circ רק כשכולן ישרות — כלומר רק כשהמעוין הוא ריבוע.

מרובעים שחסומים תמיד: מלבן, ריבוע, טרפז שווה שוקיים. מקבילית חסומה במעגל היא בהכרח מלבן, וטרפז חסום במעגל הוא בהכרח שווה שוקיים.

שתי הטעויות של המרובע החסום.

∠A+∠B=180∘\angle A + \angle B = 180^\circ
∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

נגדיות, לא סמוכות. במרובע חסום אין קשר קבוע בין שתי זוויות סמוכות.

∠A=∠C⇒ABCD חסום\angle A = \angle C \Rightarrow ABCD \text{ חסום}
∠A+∠C=180∘⇒ABCD חסום\angle A + \angle C = 180^\circ \Rightarrow ABCD \text{ חסום}

שוויון של זוויות נגדיות אינו מספיק: במקבילית הן שוות, ורוב המקביליות אינן חסומות. הנתון שנדרש הוא סכום של 180∘180^\circ.

תרגילים

תרגיל 1

70°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ו-∠A=70∘\angle A = 70^\circ. חשבו את הזווית הנגדית ∠C\angle C.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

זוויות נגדיות במרובע חסום

∠C=180∘−70∘=110∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 70^\circ \\ &= 110^\circ\end{aligned}

המלכודת: לחשב את ∠B\angle B או את ∠D\angle D במקום. הנגדית ל-AA היא CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

80°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ו-∠A=80∘\angle A = 80^\circ. מה אפשר לקבוע על ∠B\angle B?

  1. ∠B=100∘\angle B = 100^\circ
  2. אי אפשר לקבוע בלי נתון נוסף
  3. ∠B=80∘\angle B = 80^\circ
  4. ∠B=90∘\angle B = 90^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אי אפשר לקבוע בלי נתון נוסף

הפתרון:

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

המשפט מדבר על זוגות נגדיים

∠B ?\angle B \text{ ?}

AA ו-BB סמוכות — אין ביניהן קשר קבוע

התשובה: «אי אפשר לקבוע בלי נתון נוסף». המלכודת: 100∘100^\circ — להשלים ל-180∘180^\circ זווית שאינה נגדית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

70°100°110°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון ∠A=70∘\angle A = 70^\circ, ∠B=100∘\angle B = 100^\circ ו-∠C=110∘\angle C = 110^\circ. חשבו את ∠D\angle D.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ

זוג נגדיות

∠D=180∘−100∘=80∘\begin{aligned}\angle D &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}
70∘+110∘=180∘ ✓70^\circ + 110^\circ = 180^\circ \ \checkmark

בדיקה בזוג השני

המלכודת: להשלים את ∠C\angle C ולקבל 70∘70^\circ. הזווית הנגדית ל-DD היא BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

95°85°ABCD09957.752

במרובע ABCDABCD נתון ∠A=95∘\angle A = 95^\circ ו-∠C=85∘\angle C = 85^\circ. האם אפשר להעביר מעגל דרך ארבעת קודקודיו?

  1. רק אם המרובע מקבילית
  2. לא
  3. אי אפשר לדעת בלי ∠B\angle B
  4. כן — סכום זוג הזוויות הנגדיות 180∘180^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כן — סכום זוג הזוויות הנגדיות 180∘180^\circ

הפתרון:

∠A+∠C=95∘+85∘=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 95^\circ + 85^\circ \\ &= 180^\circ\end{aligned}

זוג נגדיות

⇒ABCD חסום\Rightarrow ABCD \text{ חסום}

המשפט ההפוך

התשובה: «כן — סכום זוג הזוויות הנגדיות 180∘180^\circ». המלכודת: לחשוב שצריך גם את ∠B\angle B. סכום הזוויות במרובע 360∘360^\circ, ולכן גם ∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ מעצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

3x2xABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ∠A=3x\angle A = 3x ו-∠C=2x\angle C = 2x (במעלות). מצאו את xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

3x+2x=1803x + 2x = 180

זוויות נגדיות

5x=180⇒x=36\begin{aligned}5x &= 180 \Rightarrow x \\ &= 36\end{aligned}
∠A=108∘ ∠C=72∘\begin{aligned}\angle A &= 108^\circ \\ \ \angle C &= 72^\circ\end{aligned}

בדיקה

המלכודת: להשוות 3x=2x3x = 2x, כאילו הזוויות הנגדיות שוות. הן משלימות ל-180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. הוכיחו כי ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ.

  • AA, BB, CC, DD נמצאות כולן על המעגל

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠A=12 BCD⌢\angle A = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BCD} — זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת
  2. ∠C=12 BAD⌢\angle C = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BAD} — זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת
  3. BCD⌢+BAD⌢=360∘\overset{\frown}{BCD} + \overset{\frown}{BAD} = 360^\circ — שתי הקשתות יחד הן המעגל כולו
  4. ∠A+∠C=12⋅360∘\angle A + \angle C = \tfrac{1}{2} \cdot 360^\circ — חיבור שתי השורות הראשונות והצבת סכום הקשתות
  5. ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ — חישוב

הפתרון:

∠A=12 BCD⌢\angle A = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BCD}

זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת

∠C=12 BAD⌢\angle C = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BAD}

זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת

BCD⌢+BAD⌢=360∘\overset{\frown}{BCD} + \overset{\frown}{BAD} = 360^\circ

שתי הקשתות יחד הן המעגל כולו

∠A+∠C=12⋅360∘\angle A + \angle C = \tfrac{1}{2} \cdot 360^\circ

חיבור שתי השורות הראשונות והצבת סכום הקשתות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

חישוב

המלכודת: לכתוב «∠A=12AB⌢\angle A = \tfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}». הזווית ב-AA נשענת על הקשת שמולה, BCDBCD — זו שאינה עוברת דרך AA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

72°?ABCDE010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. מאריכים את הצלע BCBC מעבר ל-CC עד הנקודה EE, ו-∠DCE=72∘\angle DCE = 72^\circ. חשבו את ∠A\angle A.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

∠BCD=180∘−72∘=108∘\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 72^\circ \\ &= 108^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות

∠A=180∘−108∘=72∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 108^\circ \\ &= 72^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

המלכודת: לענות 108108. הזווית החיצונית ב-CC שווה לזווית הפנימית שממול, ∠A\angle A.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD010096

הוכיחו או הפריכו: כל מקבילית החסומה במעגל היא מלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∠A=∠C\angle A = \angle C

זוויות נגדיות במקבילית שוות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

זוויות נגדיות במרובע חסום

2∠A=180∘⇒∠A=90∘\begin{aligned}2\angle A &= 180^\circ \Rightarrow \angle A \\ &= 90^\circ\end{aligned}

ומקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

נכון. המלכודת: להפוך את הכיוון. הטענה «כל מקבילית אפשר לחסום במעגל» אינה נכונה; רק מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

118°?OABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, והצלע ABAB היא קוטר. נתון ∠BCD=118∘\angle BCD = 118^\circ. חשבו את ∠ABD\angle ABD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

∠DAB=180∘−118∘=62∘\begin{aligned}\angle DAB &= 180^\circ - 118^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר ABAB

∠ABD=180∘−90∘−62∘=28∘\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 90^\circ - 62^\circ \\ &= 28^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש ABDABD

המלכודת: להשתמש רק במשפט אחד. כאן צריך שניים — נגדיות במרובע חסום, וזווית על קוטר — ואז משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCD09995.092

ABCDABCD טרפז שווה שוקיים: AB∥DCAB \parallel DC ו-AD=BCAD = BC. הוכיחו כי אפשר להעביר מעגל דרך ארבעת קודקודיו.

  • AB∥DCAB \parallel DC
  • AD=BCAD = BC

ABCDABCD חסום במעגל

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠A=∠B\angle A = \angle B — בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
  2. ∠B+∠C=180∘\angle B + \angle C = 180^\circ — זוויות חד-צדדיות בין הישרים המקבילים ABAB ו-DCDC
  3. ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ — הצבה
  4. ABCDABCD חסום במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ חסום במעגל

הפתרון:

∠A=∠B\angle A = \angle B

בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

∠B+∠C=180∘\angle B + \angle C = 180^\circ

זוויות חד-צדדיות בין הישרים המקבילים ABAB ו-DCDC

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

הצבה

⇒\Rightarrow

ABCDABCD חסום במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ חסום במעגל

המלכודת: להסתפק ב-∠B+∠C=180∘\angle B + \angle C = 180^\circ. אלה זוויות סמוכות; המשפט ההפוך דורש זוג נגדי, ולכן צריך את השוויון ∠A=∠B\angle A = \angle B.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת