זווית היקפית וזווית מרכזית · המעגל · כיתה י׳

שתי זוויות «רואות» את אותה קשת $AB$ : הזווית המרכזית $\angle AOB$ , שקודקודה במרכז, והזווית ההיקפית $\angle ACB$ , שקודקודה על המעגל. בשרטוט ההיקפית נראית קטנה יותר. בכמה?

שתי הזוויות נשענות על אותה קשת AB. הזווית שבמרכז גדולה פי שניים מהזווית שעל המעגל.

זווית מרכזית במעגל היא $110^\circ$ . מהי זווית היקפית הנשענת על אותה קשת?

להציג את התשובה והפתרון

$55^\circ$ — חצי מהמרכזית.

המשפט

\angle ACB = \frac{1}{2}\,\angle AOB

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. ההוכחה משתמשת רק במה שכבר יש לנו: רדיוסים שווים וזווית חיצונית למשולש.

מקרה 1: המרכז O נמצא על השוק CB. המשולש AOC שווה שוקיים.

פעילות אינטראקטיבית

למה בדיוק חצי?

\angle ACB = \tfrac{1}{2}\angle AOB

לחצו «להתחיל». מתחילים מהמקרה הפשוט, שבו המרכז יושב על אחת השוקיים.

מקרה 1

OA = OC

שני רדיוסים, ולכן המשולש $AOC$ שווה שוקיים.

מקרה 1

\begin{aligned}\angle OAC &= \angle OCA \\ &= \alpha\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות.

מקרה 1

\begin{aligned}\angle AOB &= \alpha + \alpha \\ &= 2\alpha\end{aligned}

$\angle AOB$ היא זווית חיצונית למשולש $AOC$ : היא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

מקרה 2

\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB

המרכז בתוך הזווית: מעבירים את הקוטר $CD$ , והזווית מתפצלת לשתיים.

מקרה 2

= \tfrac{1}{2}\angle AOD + \tfrac{1}{2}\angle DOB

כל אחד משני החלקים הוא בדיוק מקרה 1.

מסקנה

= \tfrac{1}{2}\angle AOB

מחברים. כשהמרכז מחוץ לזווית, מחסרים במקום לחבר — ואותה תוצאה.

כל ההוכחה נשענת על משפט אחד מהמשולש: הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הפנימיות שאינן צמודות לה.

לעשות את הפעילות ב-elev

שלוש מסקנות שחוזרות בכל שאלה

\angle ACB = \angle ADB

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת — שוות. כולן חצי מאותה זווית מרכזית.

\begin{aligned}AB &= 2R \Rightarrow \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה. הזווית המרכזית היא $180^\circ$ .

\begin{aligned}\angle ACB &= 90^\circ \Rightarrow AB \\ &= 2R\end{aligned}

המשפט ההפוך: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר. לכן במשולש ישר זווית, היתר הוא קוטר של המעגל החוסם.

באותו מעגל: זוויות היקפיות שוות ⇔ קשתות שוות ⇔ מיתרים שווים. אם שתי זוויות היקפיות שוות, הן נשענות על מיתרים שווים — גם כשהמיתרים במקומות שונים.

$AB$ מיתר, ו- $\angle AOB = 110^\circ$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה, והנקודה $D$ על הקשת הקטנה. מהי $\angle ADB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$125^\circ$ . $D$ «רואה» את הקשת הגדולה, שהזווית המרכזית שלה היא $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$ . חצי ממנה: $125^\circ$ . ושימו לב: $55^\circ + 125^\circ = 180^\circ$ — נחזור לזה במרובע החסום.

זוויות בשרטוט אחד

$AB$ קוטר במעגל. $C$ ו- $D$ נקודות על המעגל, משני צדי הקוטר $AB$ , ו- $\angle CAB = 28^\circ$ . מצאו את $\angle ABC$ ואת $\angle ADC$ .

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AB$

\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש $ABC$

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ABC \\ &= 62^\circ\end{aligned}

שתיהן היקפיות הנשענות על הקשת $AC$ — מאותו צד שלה

שלוש הטעויות של הזווית ההיקפית.

\angle ACB = \angle AOB

\angle ACB = \tfrac{1}{2}\angle AOB

ההיקפית היא חצי מהמרכזית, לא שווה לה.

\begin{aligned}\angle AOB &= 110^\circ \Rightarrow \angle ADB \\ &= 55^\circ\end{aligned}

\angle ADB = 125^\circ

כשהקודקוד על הקשת האחרת, הזווית נשענת על הקשת הגדולה. בודקים תמיד: על איזו קשת הזווית נשענת?

\angle AOB = 2\,\angle ACD

\angle AOB = 2\,\angle ACB

הזוויות צריכות להישען על אותה קשת — שתי השוקיים של ההיקפית חייבות להגיע לקצות הקשת.

תרגילים

תרגיל 1

במעגל שמרכזו $O$ נתון $\angle AOB = 124^\circ$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה $AB$ . חשבו את $\angle ACB$ במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62

הפתרון:

\angle ACB = \tfrac{1}{2}\angle AOB

היקפית ומרכזית הנשענות על אותה קשת

= \tfrac{1}{2} \cdot 124^\circ = 62^\circ

המלכודת: לענות $124$ או $248$ . ההיקפית היא חצי מהמרכזית, לא פי שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הזווית ההיקפית $\angle ACB$ שווה $38^\circ$ . חשבו את הזווית המרכזית $\angle AOB$ הנשענת על אותה קשת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 76

הפתרון:

\angle AOB = 2\,\angle ACB

המרכזית כפולה מההיקפית

= 2 \cdot 38^\circ = 76^\circ

המלכודת: לחלק ב- $2$ במקום לכפול. המרכזית היא הגדולה — קודקודה קרוב יותר לקשת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$AB$ קוטר במעגל, $C$ נקודה על המעגל, ו- $\angle CAB = 34^\circ$ . חשבו את $\angle ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56

הפתרון:

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר

\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 90^\circ - 34^\circ \\ &= 56^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש

המלכודת: לא לראות את הזווית הישרה שאינה מסומנת. קוטר + נקודה על המעגל = $90^\circ$ , גם כשאין ריבוע קטן בשרטוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על אותה קשת $AB$ , ו- $\angle ACB = 47^\circ$ . מהי $\angle ADB$ ?

$94^\circ$
$47^\circ$
$23.5^\circ$
$133^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $47^\circ$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ACB &= \tfrac{1}{2}\angle AOB \\ &= \angle ADB\end{aligned}

שתיהן היקפיות הנשענות על אותה קשת

\angle ADB = 47^\circ

התשובה: $47^\circ$ . $94^\circ$ היא הזווית המרכזית, ו- $133^\circ$ הייתה נכונה רק אילו $D$ הייתה על הקשת השנייה. המלכודת: לחשוב שזווית «רחוקה» יותר מהקשת קטנה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במעגל שמרכזו $O$ נתון $\angle AOB = 100^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על הקשת הקטנה $AB$ . חשבו את $\angle ADB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 130

הפתרון:

360^\circ - 100^\circ = 260^\circ

הזווית המרכזית של הקשת הגדולה, שעליה $D$ נשענת

\begin{aligned}\angle ADB &= \tfrac{1}{2} \cdot 260^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

היקפית = חצי מהמרכזית של אותה קשת

המלכודת: לענות $50$ . $D$ יושבת על הקשת הקטנה, ולכן נשענת על הקשת הגדולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ , והמרכז בתוך המשולש. נתון $\angle BAC = 50^\circ$ . חשבו את $\angle OBC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BOC &= 2 \cdot 50^\circ \\ &= 100^\circ\end{aligned}

מרכזית כפולה מההיקפית על הקשת $BC$

OB = OC

רדיוסים — המשולש $BOC$ שווה שוקיים

\begin{aligned}\angle OBC &= \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} \\ &= 40^\circ\end{aligned}

זוויות הבסיס שוות

המלכודת: לעצור ב- $\angle BOC$ , או לשכוח לחלק ב- $2$ את מה שנשאר מ- $180^\circ$ . שתי זוויות הבסיס חולקות את השארית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: אם המשולש $ABC$ חסום במעגל ו- $\angle BAC = 90^\circ$ , אז $BC$ קוטר של המעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\angle BAC = \tfrac{1}{2}\angle BOC

היקפית ומרכזית על הקשת $BC$

\angle BOC = 180^\circ

פי שניים מ- $90^\circ$

O \in BC

$B$ , $O$ , $C$ על ישר אחד: זווית של $180^\circ$ היא זווית שטוחה — $BC$ עובר דרך המרכז

נכון — זה המשפט ההפוך לזווית על קוטר. המלכודת: לחשוב שמשפט הפוך לא נכון אף פעם. לפעמים הוא נכון, ואז מוכיחים אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במעגל שמרכזו $O$ , הזווית המרכזית $\angle AOB = (3x+10)^\circ$ והזווית ההיקפית $\angle ACB = (x+15)^\circ$ נשענות על אותה קשת. השלימו.

$x =$ ____ , $\angle ACB =$ ____ מעלות, $\angle AOB =$ ____ מעלות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 20 , $\angle ACB =$ 35 מעלות, $\angle AOB =$ 70 מעלות

הפתרון:

3x + 10 = 2(x + 15)

המרכזית כפולה מההיקפית

\begin{aligned}3x + 10 &= 2x + 30 \Rightarrow x \\ &= 20\end{aligned}

\begin{aligned}\angle ACB &= 35^\circ \\ \ \angle AOB &= 70^\circ\end{aligned}

בדיקה: $70 = 2 \cdot 35$

המלכודת: להשוות את שני הביטויים זה לזה ( $3x+10 = x+15$ ). הזוויות אינן שוות — אחת כפולה מהשנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ על מעגל שמרכזו $O$ , ו- $C$ ו- $D$ נמצאות על אותה קשת $AB$ . הוכיחו כי $\angle ACB = \angle ADB$ .

$O$ מרכז המעגל
$C$ ו- $D$ על אותה קשת $AB$

$\angle ACB = \angle ADB$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ACB = \tfrac{1}{2}\angle AOB$ — זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
$\angle ADB = \tfrac{1}{2}\angle AOB$ — זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
$\angle ACB = \angle ADB$ — שתי זוויות השוות לאותו גודל שוות זו לזו

הפתרון:

\angle ACB = \tfrac{1}{2}\angle AOB

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

\angle ADB = \tfrac{1}{2}\angle AOB

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

\angle ACB = \angle ADB

שתי זוויות השוות לאותו גודל שוות זו לזו

המלכודת: לנמק «כי $C$ ו- $D$ רואות את אותו מיתר». הנימוק הוא הזווית המרכזית המשותפת — וזו גם הסיבה ששתי הנקודות חייבות להיות על אותה קשת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ , ו- $\angle BAC = 64^\circ$ . תלמיד חישב את $\angle OBC$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}\angle BOC &= 2 \cdot 64^\circ \\ &= 128^\circ\end{aligned}

OB = OC

\begin{aligned}\angle OBC &= 180^\circ - 128^\circ \\ &= 52^\circ\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\angle OBC = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$ → $\angle OBC = \frac{180^\circ - 128^\circ}{2} = 26^\circ$

הפתרון:

\angle OBC = \angle OCB

המשולש $BOC$ שווה שוקיים

\begin{aligned}2\,\angle OBC &= 52^\circ \Rightarrow \angle OBC \\ &= 26^\circ\end{aligned}

השורה השלישית שכחה שיש שתי זוויות בסיס. המלכודת: לראות $OB = OC$ ולא להשתמש בזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המשפט

שלוש מסקנות שחוזרות בכל שאלה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev