מיתרים, קשתות וזוויות מרכזיות · המעגל · כיתה י׳

במעגל אחד יש שלושה גדלים שתמיד הולכים יחד: הזווית המרכזית, הקשת שמולה, והמיתר שמחבר את קצות הקשת. אם אחד מהם שווה, גם השניים האחרים שווים.

המיתרים AB ו-CD שווים. המשולשים OAB ו-OCD חופפים לפי צ.צ.צ — שתי צלעות הן רדיוסים — ולכן גם הזוויות המרכזיות AOB ו-COD שוות.

נתון $\angle AOB = \angle COD$ . למה נובע ש- $AB = CD$ ?

להציג את התשובה והפתרון

המשולשים $OAB$ ו- $OCD$ חופפים לפי צ.ז.צ: $OA = OC$ ו- $OB = OD$ (רדיוסים), והזוויות שביניהן שוות. צלעות מתאימות: $AB = CD$ .

שלושה שוויונות שהולכים יחד

\angle AOB = \angle COD

זוויות מרכזיות שוות

\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}

⇔ קשתות שוות

AB = CD

⇔ מיתרים שווים

שלושת השוויונות נכונים באותו מעגל (או במעגלים שווים). במעגל גדול יותר, אותה זווית מרכזית נותנת מיתר ארוך יותר.

האנך מהמרכז למיתר

OM \perp AB \Rightarrow AM = MB

האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו.

AM = MB \Rightarrow OM \perp AB

הקטע מהמרכז לאמצע מיתר מאונך לו — כשהמיתר אינו קוטר.

\Rightarrow O

האנך האמצעי של מיתר עובר דרך מרכז המעגל. כך מוצאים מרכז של מעגל נתון: שני אנכים אמצעיים של שני מיתרים נפגשים במרכז.

נתון $AM = MB$ במיתר $AB$ . מה אפשר להסיק על $OM$ ? ולמה צריך לדרוש ש- $AB$ אינו קוטר?

להציג את התשובה והפתרון

ש- $OM \perp AB$ — המשפט עובד בשני הכיוונים. אם $AB$ קוטר, אמצעו הוא $O$ עצמה, ואין קטע $OM$ שאפשר לדבר על הזווית שלו.

פיתגורס בתוך המעגל

האנך מהמרכז יוצר משולש ישר זווית $OMA$ : היתר הוא הרדיוס, ניצב אחד הוא המרחק $d$ של המיתר מהמרכז, והניצב השני הוא חצי המיתר.

R^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2

מיתר מתוך רדיוס ומרחק

רדיוס המעגל 13, והמרחק מהמרכז אל המיתר הוא 5. מהו אורך המיתר?

AM = MB

האנך חוצה

13^2 = 5^2 + AM^2

פיתגורס במשולש $OMA$

AM = 12

חצי המיתר

AB = 24

והמיתר כולו

המלכודת: לא לעצור ב-12. פיתגורס נותן את החצי, והשאלה מבקשת את השלם. זו שגיאה שעולה נקודות אף שכל החישוב נכון.

מיתר ארוך יותר — קרוב יותר למרכז

בנוסחה $R$ קבוע. לכן כש- $d$ גדל, חצי המיתר קטן. מיתרים שווים נמצאים במרחק שווה מהמרכז, ומיתר ארוך יותר נמצא קרוב יותר למרכז.

במעגל שרדיוסו $10$ יש מיתר של $16$ ומיתר של $12$ . איזה מהם קרוב יותר למרכז, ובכמה?

להציג את התשובה והפתרון

המיתר של $16$ : $d = \sqrt{100 - 64} = 6$ . המיתר של $12$ : $d = \sqrt{100 - 36} = 8$ . הארוך קרוב יותר, בהפרש של $2$ .

שתי הטעויות של מיתרים.

AB = 12

AB = 24

פיתגורס נתן את חצי המיתר. תמיד לשאול מה בדיוק חושב.

AB > CD \Rightarrow d_1 > d_2

AB > CD \Rightarrow d_1 < d_2

המיתר הארוך הוא הקרוב יותר למרכז. הקוטר, הארוך מכולם, נמצא במרחק $0$ .

תרגילים

תרגיל 1

רדיוס המעגל $13$ , והמרחק מהמרכז אל המיתר $AB$ הוא $5$ . מהו אורך המיתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

AM = MB

האנך מהמרכז חוצה את המיתר

13^2 = 5^2 + AM^2

פיתגורס במשולש $OMA$

AM = 12

חצי המיתר

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

המיתר כולו

המלכודת: לעצור ב- $12$ . האנך נותן את החצי, והשאלה מבקשת את השלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

רדיוס המעגל $10$ , ואורך המיתר $AB$ הוא $16$ . מהו המרחק מהמרכז אל המיתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

AM = 8

האנך חוצה את המיתר: $16 : 2$

10^2 = 8^2 + d^2

פיתגורס במשולש $OMA$

\begin{aligned}d^2 &= 36 \Rightarrow d \\ &= 6\end{aligned}

המלכודת: להציב $16$ בפיתגורס. קודם מחלקים את המיתר לשניים, ורק אז פיתגורס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במעגל שמרכזו $O$ נתון $AB = CD$ . הזווית המרכזית $\angle AOB$ שווה $(3x - 20)^\circ$ , והזווית המרכזית $\angle COD$ שווה $(2x + 10)^\circ$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= CD \Rightarrow \angle AOB \\ &= \angle COD\end{aligned}

מיתרים שווים ⇐ זוויות מרכזיות שוות

3x - 20 = 2x + 10

משוואה

x = 30

ושתי הזוויות $70^\circ$

המלכודת: לחבר את הזוויות ל- $180^\circ$ . הן אינן צמודות — הן שוות, כי המיתרים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: שני מיתרים באותו מעגל, שמרחקם מהמרכז שווה, שווים באורכם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

R^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2

למיתר הראשון

R^2 = d^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2

למיתר השני — אותו $R$ ואותו $d$

\begin{aligned}\frac{AB}{2} &= \frac{CD}{2} \Rightarrow AB \\ &= CD\end{aligned}

נכון. אפשר גם בחפיפה: $\triangle OMA \cong \triangle ONC$ לפי יתר וניצב. המלכודת: לחשוב שהמיתרים חייבים להיות מקבילים — הם יכולים לשבת בכל כיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שני מיתרים באותו מעגל שווים באורכם. מה בהכרח נכון?

אחד מהם קוטר
הם מקבילים
הם נחתכים במרכז המעגל
הם נמצאים במרחק שווה מהמרכז

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הם נמצאים במרחק שווה מהמרכז

הפתרון:

R^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2

אותו רדיוס ואותו חצי מיתר

\begin{aligned}AB &= CD \Rightarrow d_1 \\ &= d_2\end{aligned}

התשובה: «הם נמצאים במרחק שווה מהמרכז». המלכודת: «הם מקבילים» — שני מיתרים שווים יכולים להיות בכל כיוון, כמו בשרטוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במעגל שרדיוסו $17$ נתון מיתר באורך $30$ . מהו המרחק של המיתר מהמרכז?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

AM = 15

חצי המיתר

17^2 = 15^2 + d^2

פיתגורס

\begin{aligned}d^2 &= 64 \Rightarrow d \\ &= 8\end{aligned}

השלשה $8, 15, 17$ שווה לזכור. המלכודת: $17^2 - 30^2$ שלילי — סימן שלא חילקו את המיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במעגל שרדיוסו $10$ נתונים שני מיתרים מקבילים: $AB = 16$ ו- $CD = 12$ . המרכז נמצא ביניהם. מהו המרחק בין שני המיתרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\begin{aligned}d_1 &= \sqrt{10^2 - 8^2} \\ &= 6\end{aligned}

המרחק של $AB$ מהמרכז

\begin{aligned}d_2 &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

המרחק של $CD$ מהמרכז

d_1 + d_2 = 14

המרכז ביניהם: מחברים

המלכודת: לחסר ( $8 - 6 = 2$ ). חיסור מתאים רק כששני המיתרים באותו צד של המרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במעגל שרדיוסו $15$ חישבו את המרחק של מיתר באורך $24$ מהמרכז. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}AM &= \frac{24}{2} \\ &= 12\end{aligned}

d^2 = 15^2 + 12^2

d^2 = 81

d = 9

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $d^2 = 15^2 + 12^2$ → $d^2 = 15^2 - 12^2$

הפתרון:

15^2 = d^2 + 12^2

הרדיוס הוא היתר

\begin{aligned}d^2 &= 225 - 144 \\ &= 81\end{aligned}

מחסרים מהיתר

הרדיוס הוא היתר, ולכן מחסרים. המלכודת: לחבר את שני הריבועים מתוך הרגל, כאילו $d$ הוא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון מעגל שמרכזו $O$ ומיתר $AB$ . הנקודה $M$ היא אמצע המיתר. הוכיחו: $OM \perp AB$ .

$OA$ ו- $OB$ רדיוסים
$AM = MB$ ( $M$ אמצע המיתר)

$OM \perp AB$

להציג את התשובה והפתרון

$OA = OB$ — שני רדיוסים באותו מעגל
$AM = MB$ — נתון — $M$ אמצע המיתר
$OM = OM$ — צלע משותפת
$\triangle OMA \cong \triangle OMB$ — צ.צ.צ — שלוש צלעות שוות בהתאמה
$\angle OMA = \angle OMB$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים
$\angle OMA + \angle OMB = 180°$ — שתי הזוויות משלימות על הישר $AB$
$\angle OMA = 90°$ — שתי זוויות שוות שסכומן $180°$
$OM \perp AB$ — זווית של $90°$ היא בדיוק מאונכות

הפתרון:

OA = OB

שני רדיוסים באותו מעגל

AM = MB

נתון — $M$ אמצע המיתר

OM = OM

צלע משותפת

\triangle OMA \cong \triangle OMB

צ.צ.צ — שלוש צלעות שוות בהתאמה

\angle OMA = \angle OMB

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

\angle OMA + \angle OMB = 180°

שתי הזוויות משלימות על הישר $AB$

\angle OMA = 90°

שתי זוויות שוות שסכומן $180°$

OM \perp AB

זווית של $90°$ היא בדיוק מאונכות

זה הכיוון ההפוך: מאמצע המיתר אל האנך. המלכודת: לפתוח ב« $\angle OMA = 90^\circ$ » — זו המטרה, לא נתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון מעגל שמרכזו $O$ ומיתר $AB$ . הישר $OM$ מאונך ל- $AB$ , כאשר $M$ על המיתר. הוכיחו: $AM = MB$ — כלומר האנך חוצה את המיתר.

$OA$ ו- $OB$ רדיוסים
$OM \perp AB$
$M$ נמצאת על $AB$

$AM = MB$

להציג את התשובה והפתרון

$OA = OB$ — שני רדיוסים באותו מעגל
$\angle OMA = \angle OMB = 90°$ — נתון $OM \perp AB$
$OM = OM$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle OMA \cong \triangle OMB$ — יתר וניצב — שני משולשים ישרי זווית עם יתר שווה וניצב משותף
$AM = MB$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים

הפתרון:

OA = OB

שני רדיוסים באותו מעגל

\begin{aligned}\angle OMA &= \angle OMB \\ &= 90°\end{aligned}

נתון $OM \perp AB$

OM = OM

צלע משותפת לשני המשולשים

\triangle OMA \cong \triangle OMB

יתר וניצב — שני משולשים ישרי זווית עם יתר שווה וניצב משותף

AM = MB

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

חפיפה לפי יתר וניצב: היתר הוא הרדיוס. המלכודת: לנמק בצ.ז.צ — הזווית הישרה אינה בין שתי הצלעות השוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שלושה שוויונות שהולכים יחד

האנך מהמרכז למיתר

פיתגורס בתוך המעגל

מיתר ארוך יותר — קרוב יותר למרכז

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev