שפת המעגל ודרך ההוכחה · המעגל · כיתה י׳

פרק המעגל הוא פרק של הוכחות. כמעט כל משפט בו מוכח בעזרת שני כלים שכבר מכירים: משולש שווה שוקיים וחפיפת משולשים. היחידה הזאת מכינה את שניהם — ואת השפה שבה כותבים הוכחה.

המילים של המעגל

O מרכז המעגל. OA רדיוס, CD קוטר, והקטע המודגש EF מיתר. הקשת EF היא החלק של המעגל שבין E ל-F.

OA = R

רדיוס — קטע ממרכז המעגל אל נקודה על המעגל. כל הרדיוסים באותו מעגל שווים.

EF

מיתר — קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל.

CD = 2R

קוטר — מיתר שעובר דרך המרכז.

\overset{\frown}{EF}

קשת — חלק מהמעגל בין שתי נקודות. כל מיתר מחלק את המעגל לשתי קשתות.

\angle EOF

זווית מרכזית — קודקודה במרכז, ושוקיה רדיוסים.

\angle ECF

זווית היקפית — קודקודה על המעגל, ושוקיה מיתרים.

האם קוטר הוא מיתר?

להציג את התשובה והפתרון

כן. קוטר מחבר שתי נקודות על המעגל, ולכן הוא מיתר — מיתר מיוחד שעובר דרך המרכז. בהמשך נוכיח שהוא המיתר הארוך ביותר.

הכלי הראשון: כל הרדיוסים שווים

מחברים את המרכז $O$ לשני קצות מיתר $AB$ , ומקבלים משולש $OAB$ שבו $OA = OB$ . זה משולש שווה שוקיים, ולכן $\angle OAB = \angle OBA$ . המשפט הפשוט הזה פותח חצי מהשאלות בפרק.

במשולש ישר זווית הניצבים הם $6$ ו- $8$ . מהו רדיוס המעגל שעובר דרך שלושת הקודקודים?

להציג את התשובה והפתרון

5. היתר הוא $\sqrt{6^2+8^2} = 10$ , והוא קוטר. הרדיוס הוא חצי ממנו.

משפט ומשפט הפוך

משפט נכתב בצורה «אם נתון א, אז נובע ב». במשפט ההפוך מחליפים את התפקידים: «אם ב, אז א». המשפט ההפוך אינו נכון אוטומטית — צריך להוכיח אותו בנפרד, או להפריך אותו בדוגמה נגדית אחת.

p \Rightarrow q

משפט: אם $AB$ קוטר ו- $C$ על המעגל, אז $\angle ACB = 90^\circ$ .

q \Rightarrow p

משפט הפוך: אם $C$ על המעגל ו- $\angle ACB = 90^\circ$ , אז $AB$ קוטר. גם הוא נכון, ונוכיח אותו בהמשך.

q \not\Rightarrow p

דוגמה נגדית: «אם מרובע הוא ריבוע, אלכסוניו שווים» — נכון. ההפוך «אם האלכסונים שווים, המרובע ריבוע» — לא נכון: מלבן.

כדי להפריך טענה שמתחילה ב«לכל», כמה דוגמאות נגדיות צריך? וכמה דוגמאות מספיקות כדי להוכיח אותה?

להציג את התשובה והפתרון

אחת. טענת «לכל» נופלת בדוגמה נגדית אחת. להוכחה, לעומת זאת, לא מספיקות אלף דוגמאות — צריך נימוק שעובד לכל מקרה.

איך כותבים הוכחה

כל שורה בהוכחה היא טענה ונימוק. הטענה היא מה שקובעים; הנימוק הוא נתון, הגדרה או משפט שכבר הוכח.

דוגמה: שני קטרים

$AB$ ו- $CD$ קטרים במעגל שמרכזו $O$

$AC = BD$

$OA = OB = OC = OD$

רדיוסים באותו מעגל

$\angle AOC = \angle BOD$

זוויות קודקודיות

$\triangle AOC \cong \triangle BOD$

צ.ז.צ — שתי צלעות והזווית שביניהן

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

שימו לב: אף שורה לא נשענת על מדידה. הנימוק של כל שורה הוא הגדרה (רדיוס), משפט (זוויות קודקודיות, צ.ז.צ) או שורה קודמת.

פעילות אינטראקטיבית

הוכחה ל«לכל»: הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר

הוכיחו: בכל מעגל, הקוטר ארוך מכל מיתר אחר.

לוקחים מיתר $AB$ כלשהו שאינו קוטר. מה מוסיפים לשרטוט?

את הרדיוסים $OA$ ו- $OB$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. נוצר משולש $OAB$ ששתי צלעותיו ידועות: $OA = OB = R$ .

אנך מ- $O$ אל $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

אפשרי, אבל הוא נותן מרחק שלא ידוע לנו. יש דרך קצרה יותר.

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= R\end{aligned}

$O$ אינה על $AB$ , כי $AB$ אינו קוטר — ולכן $O$ , $A$ , $B$ יוצרות משולש.

איזה משפט על המשולש $OAB$ נותן את ההשוואה?

אי-שוויון המשולש: כל צלע קטנה מסכום שתי האחרות.

להציג את התשובה והפתרון

כן. הוא עובד בכל משולש, בלי שום זווית ידועה.

משפט פיתגורס.

להציג את התשובה והפתרון

המשולש $OAB$ אינו בהכרח ישר זווית, ולכן פיתגורס לא חל עליו.

AB < OA + OB = 2R

כל מיתר שאינו קוטר קצר מ- $2R$ .

ומה אורכו של קוטר $CD$ ?

בדיוק $2R$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. הוא מורכב משני רדיוסים: $CO + OD$ .

גם הוא קטן מ- $2R$ .

להציג את התשובה והפתרון

הקוטר עובר דרך $O$ , אין בו משולש, ואורכו $R + R$ בדיוק.

CD = 2R > AB

הקוטר ארוך מכל מיתר אחר.

להציג את התשובה והפתרון

המיתר $AB$ היה כלשהו — לא מיתר מסוים מהציור. לכן ההוכחה נכונה לכל מיתר ולכל מעגל. זה ההבדל בין הוכחה לבין מדידה.

לעשות את הפעילות ב-elev

הוכחה בדרך השלילה

אין מעגל שעובר דרך שלוש נקודות על ישר אחד

מניחים את ההפך ממה שרוצים להוכיח, ומגיעים לסתירה.

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC\end{aligned}

נניח בשלילה שיש מעגל שמרכזו $O$ , והוא עובר דרך $A$ , $B$ , $C$ שעל ישר אחד.

OA = OB

לכן $O$ על האנך האמצעי של $AB$ .

OB = OC

ו- $O$ גם על האנך האמצעי של $BC$ .

m_1 \parallel m_2

שני האנכים האמצעיים מאונכים לאותו ישר, ולכן הם מקבילים — אין להם נקודה משותפת.

\Rightarrow\Leftarrow

סתירה: $O$ לא יכולה להיות על שניהם. ההנחה שגויה, ולכן אין מעגל כזה.

הנימוק חייב להיות נתון, הגדרה או משפט — לא «רואים בציור» ולא «ברור». מדידה על הדף נכונה רק לציור אחד, והוכחה צריכה להיות נכונה לכל ציור אפשרי.

שתי הטעויות של תחילת הפרק.

\begin{aligned}OA &= OB \Rightarrow AB \\ &= OA\end{aligned}

\begin{aligned}OA &= OB \Rightarrow \angle OAB \\ &= \angle OBA\end{aligned}

שני רדיוסים נותנים משולש שווה שוקיים, לא שווה צלעות. הבסיס $AB$ שווה לרדיוס רק כשהזווית המרכזית היא $60^\circ$ .

(P \Rightarrow Q) \;\Rightarrow\; (Q \Rightarrow P)

(P \Rightarrow Q) \;\not\Rightarrow\; (Q \Rightarrow P)

משפט נכון אינו מבטיח שהמשפט ההפוך שלו נכון. את ההפוך מוכיחים בנפרד — או מפריכים בדוגמה נגדית אחת.

תרגילים

תרגיל 1

התאימו כל מושג להגדרה שלו. השרטוט מראה את כולם.

רדיוס
מיתר
קוטר
קשת
זווית מרכזית
זווית היקפית

זווית שקודקודה במרכז המעגל
זווית שקודקודה על המעגל ושוקיה מיתרים
חלק מהמעגל שבין שתי נקודות עליו
מיתר שעובר דרך מרכז המעגל
קטע ממרכז המעגל אל נקודה על המעגל
קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: רדיוס — קטע ממרכז המעגל אל נקודה על המעגל · מיתר — קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל · קוטר — מיתר שעובר דרך מרכז המעגל · קשת — חלק מהמעגל שבין שתי נקודות עליו · זווית מרכזית — זווית שקודקודה במרכז המעגל · זווית היקפית — זווית שקודקודה על המעגל ושוקיה מיתרים

הפתרון:

OA

רדיוס: מהמרכז אל המעגל

CD = 2R

קוטר: מיתר דרך המרכז

EF

מיתר: שני קצותיו על המעגל

המלכודת: לחשוב שקוטר אינו מיתר. הוא מיתר, והארוך מכולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $7$ ס״מ נתון מיתר $AB$ שאורכו $7$ ס״מ. מהו גודל הזווית המרכזית $\angle AOB$ במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= 7\end{aligned}

שני רדיוסים

AB = 7

נתון

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= AB\end{aligned}

$\triangle OAB$ שווה צלעות: שלוש צלעות שוות

\angle AOB = 60^\circ

כל זווית במשולש שווה צלעות

המלכודת: לחפש נוסחה. שני רדיוסים ומיתר ששווה להם יוצרים משולש שווה צלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$AB$ מיתר במעגל שמרכזו $O$ , ונתון $\angle OAB = 35^\circ$ . חשבו את $\angle AOB$ במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

OA = OB

רדיוסים

\begin{aligned}\angle OBA &= \angle OAB \\ &= 35^\circ\end{aligned}

זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים

\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 2 \cdot 35^\circ \\ &= 110^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש

המלכודת: לשכוח שגם $\angle OBA = 35^\circ$ ולחשב $180 - 35 = 145$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איזה מהנימוקים הבאים אינו חוקי בהוכחה?

«זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות»
« $OA = OB$ כי שניהם רדיוסים באותו מעגל»
«נתון»
«רואים בציור שהזוויות שוות»

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד «רואים בציור שהזוויות שוות»

הפתרון:

\text{ציור} \ne \text{נימוק}

מדידה בציור נכונה רק לציור הזה

\Rightarrow

נתון, הגדרה, משפט — שלושת האחרים הם נימוקים חוקיים

הנימוק הלא חוקי: «רואים בציור שהזוויות שוות». המלכודת: לסמוך על שרטוט שנראה מדויק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המשפט «אם מרובע הוא ריבוע, אז אלכסוניו שווים» נכון. נכון או לא נכון: גם המשפט ההפוך שלו נכון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\text{הפוך: } AC = BD \Rightarrow \text{ריבוע}

זה המשפט ההפוך

ABCD \text{ מלבן}: AC = BD

במלבן שבשרטוט האלכסונים שווים, והוא אינו ריבוע

לא נכון — המלבן הוא דוגמה נגדית. המלכודת: להניח שכל משפט הפוך נכון מעצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשפט: «אם $AB$ קוטר ו- $C$ נקודה על המעגל, אז $\angle ACB = 90^\circ$ ». מהו המשפט ההפוך?

אם $AB$ קוטר, אז $C$ נמצאת על המעגל
אם $AB$ קוטר, אז כל זווית היקפית הנשענת עליו היא $90^\circ$
אם $C$ על המעגל ו- $\angle ACB = 90^\circ$ , אז $AB$ קוטר
אם $\angle ACB \ne 90^\circ$ , אז $AB$ אינו קוטר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אם $C$ על המעגל ו- $\angle ACB = 90^\circ$ , אז $AB$ קוטר

הפתרון:

\text{נתון} \leftrightarrow \text{מסקנה}

במשפט ההפוך המסקנה הופכת לנתון, והנתון למסקנה

\angle ACB = 90^\circ \Rightarrow AB \text{ קוטר}

הזווית הישרה עוברת לצד של הנתון

המשפט ההפוך: «אם $C$ על המעגל ו- $\angle ACB = 90^\circ$ , אז $AB$ קוטר». המלכודת: «אם הזווית אינה ישרה, $AB$ אינו קוטר» שקול למשפט המקורי — הוא אינו ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . מהו רדיוס המעגל שעובר דרך שלושת הקודקודים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= 15\end{aligned}

פיתגורס

\begin{aligned}CM &= AM \\ &= BM \\ &= 7.5\end{aligned}

התיכון ליתר שווה לחצי היתר

R = 7.5

$M$ מרכז המעגל, ו- $AB$ קוטר

המלכודת: לענות $15$ . היתר הוא קוטר, והרדיוס הוא חצי ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$AB$ מיתר במעגל שמרכזו $O$ . סדרו את שורות ההוכחה של $\angle AOB = 180^\circ - 2\angle OAB$ .

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$ — סכום זוויות במשולש
$\angle AOB = 180^\circ - 2\angle OAB$ — הצבה
$\angle OBA = \angle OAB$ — זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים
$OA = OB$ — רדיוסים באותו מעגל

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $OA = OB$ — רדיוסים באותו מעגל · $\angle OBA = \angle OAB$ — זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים · $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$ — סכום זוויות במשולש · $\angle AOB = 180^\circ - 2\angle OAB$ — הצבה

הפתרון:

OA = OB

מתחילים מהנתון שיש בשרטוט

\angle OBA = \angle OAB

רק אחרי שיש שוקיים שוות

\angle AOB = 180^\circ - 2\angle OAB

ההצבה באה אחרונה

המלכודת: לכתוב את שוויון הזוויות לפני שהוכחנו שהמשולש שווה שוקיים. כל שורה נשענת רק על שורות שלפניה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון מעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB$ קוטר. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. הוכיחו: $\angle ACB = 90°$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ נמצאת על המעגל

$\angle ACB = 90°$

להציג את התשובה והפתרון

$OA = OB = OC$ — כולם רדיוסים באותו מעגל
$\triangle OAC$ שווה-שוקיים — $OA = OC$
$\triangle OBC$ שווה-שוקיים — $OB = OC$
$\angle OAC = \angle OCA$ — זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים
$\angle OBC = \angle OCB$ — זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים
$\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB$ — $OC$ מפצל את הזווית $\angle ACB$
סכום זוויות $\triangle ABC$ הוא $180°$ — סכום הזוויות במשולש
$2\angle OCA + 2\angle OCB = 180°$ — הצבת שתי השוויונות בסכום הזוויות של המשולש
$\angle OCA + \angle OCB = 90°$ — חלוקה ב- $2$
$\angle ACB = 90°$ — הצבה — וזו בדיוק הזווית המבוקשת

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC\end{aligned}

כולם רדיוסים באותו מעגל

\Rightarrow

$\triangle OAC$ שווה-שוקיים — $OA = OC$

\Rightarrow

$\triangle OBC$ שווה-שוקיים — $OB = OC$

\angle OAC = \angle OCA

זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים

\angle OBC = \angle OCB

זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים

\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB

$OC$ מפצל את הזווית $\angle ACB$

\Rightarrow

סכום זוויות $\triangle ABC$ הוא $180°$ — סכום הזוויות במשולש

2\angle OCA + 2\angle OCB = 180°

הצבת שתי השוויונות בסכום הזוויות של המשולש

\angle OCA + \angle OCB = 90°

חלוקה ב- $2$

\angle ACB = 90°

הצבה — וזו בדיוק הזווית המבוקשת

זו הוכחה בעזרת שני משולשים שווי שוקיים בלבד. המלכודת: לנמק « $\angle ACB = 90^\circ$ כי היא נשענת על קוטר» — זה בדיוק המשפט שמוכיחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נכון או לא נכון: דרך כל שלוש נקודות שונות אפשר להעביר מעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

C \in AB

$A$ , $B$ , $C$ על ישר אחד — הדוגמה הנגדית שבשרטוט

m_1 \parallel m_2

האנכים האמצעיים של $AB$ ושל $BC$ מקבילים, ואין מרכז משותף

לא נכון. שלוש נקודות על ישר אחד הן דוגמה נגדית. לשלוש נקודות שאינן על ישר אחד יש מעגל כזה — המעגל החוסם את המשולש. המלכודת: טענת «לכל» נופלת בדוגמה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המילים של המעגל

הכלי הראשון: כל הרדיוסים שווים

משפט ומשפט הפוך

איך כותבים הוכחה

הוכחה בדרך השלילה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev