המעגל החוסם, המעגל החסום והגבהים · מקומות גאומטריים ומשפט חפיפה רביעי · כיתה י׳

שלושה יישובים בגליל רוצים לבנות מגדל מים משותף, כך שהצינור לכל אחד מהם יהיה באותו אורך. איפה לבנות? נקודה שרחוקה באותה מידה מ- $A$ ומ- $B$ נמצאת על האנך האמצעי של $AB$ . נקודה שרחוקה באותה מידה מ- $B$ ומ- $C$ — על האנך האמצעי של $BC$ . המגדל צריך להיות על שניהם.

האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת

המקווקווים: שלושת האנכים האמצעיים, נפגשים ב-O. הקטעים המודגשים OA, OB, OC שווים — הם רדיוסים של המעגל החוסם.

פעילות אינטראקטיבית

למה שלושת האנכים האמצעיים נפגשים באותה נקודה

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC\end{aligned}

$O$ היא נקודת המפגש של האנכים האמצעיים של $AB$ ושל $BC$ . צריך להראות שהיא במרחק שווה משלושת הקודקודים. לחצו «להתחיל». משתמשים רק בשני הכיוונים של המקום הגאומטרי מהיחידה הקודמת.

כיוון א

OA = OB

$O$ על האנך האמצעי של $AB$ .

כיוון א

OB = OC

$O$ על האנך האמצעי של $BC$ .

כלל המעבר

OA = OC

שני קטעים ששווים לאותו קטע שווים זה לזה.

כיוון ב

\Rightarrow

$O$ על האנך האמצעי של $AC$ : נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו.

מסקנה

\begin{aligned}R &= OA \\ &= OB \\ &= OC\end{aligned}

המעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $OA$ עובר דרך שלושת הקודקודים: זה המעגל החוסם את המשולש.

שני אנכים נפגשים תמיד; החידוש הוא שהשלישי חייב לעבור באותה נקודה.

לעשות את הפעילות ב-elev

במשולש ישר זווית, איפה נמצא מרכז המעגל החוסם? רמז: מה ידוע על התיכון ליתר?

להציג את התשובה והפתרון

באמצע היתר. התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן אמצע היתר רחוק באותה מידה משלושת הקודקודים.

\alpha,\ \beta,\ \gamma < 90^\circ

משולש חד זווית: מרכז המעגל החוסם בתוך המשולש.

\gamma = 90^\circ

משולש ישר זווית: מרכז המעגל החוסם באמצע היתר, והרדיוס $R$ שווה למחצית היתר.

\gamma > 90^\circ

משולש קהה זווית: מרכז המעגל החוסם מחוץ למשולש, מעבר לצלע שמול הזווית הקהה.

חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת

I היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות. שלושת האנכים המקווקווים ממנה לצלעות שווים — הם רדיוסים של המעגל החסום.

פעילות אינטראקטיבית

מרכז המעגל החסום

\triangle ABC,\quad I

לחצו «להתחיל». $I$ היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות $A$ ו- $B$ . הפעם המקום הגאומטרי הוא חוצה הזווית, והתכונה היא מרחק שווה משוקי הזווית.

כיוון א

d(I, AB) = d(I, AC)

$I$ על חוצה הזווית $A$ .

כיוון א

d(I, AB) = d(I, BC)

$I$ על חוצה הזווית $B$ .

כלל המעבר

d(I, AC) = d(I, BC)

ו- $I$ נמצאת בתוך הזווית $C$ .

כיוון ב

\angle ACI = \angle BCI

$I$ על חוצה הזווית $C$ : נקודה בתוך זווית, שמרחקה משוקי הזווית שווה, נמצאת על חוצה הזווית.

מסקנה

\begin{aligned}r &= d(I, AB) \\ &= d(I, BC) \\ &= d(I, CA)\end{aligned}

המעגל שמרכזו $I$ ורדיוסו $r$ נוגע בשלוש הצלעות: זה המעגל החסום במשולש.

רדיוס המעגל החסום הוא מרחק — לכן הוא נמדד באנך לצלע, לא בקטע אל הקודקוד.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם מרכז המעגל החסום יכול להיות מחוץ למשולש, כמו מרכז המעגל החוסם במשולש קהה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. חוצה זווית של משולש עובר בתוך המשולש, ולכן גם נקודת המפגש של חוצי הזוויות נמצאת תמיד בתוכו.

ומה אורך הרדיוס $r$ ? מחלקים את המשולש לשלושה משולשים שקודקודם $I$ : $\triangle IAB$ , $\triangle IBC$ ו- $\triangle ICA$ . הגובה בכל אחד מהם הוא $r$ , והבסיסים הם צלעות המשולש. מחברים את שלושת השטחים:

\begin{gathered} S = \frac{r \cdot a}{2} + \frac{r \cdot b}{2} + \frac{r \cdot c}{2} = \frac{r \cdot P}{2} \\ \Rightarrow \; r = \frac{2S}{P} \end{gathered}

$P$ הוא היקף המשולש.

הגבהים — ולמה שלוש נקודות שונות

גם שלושת הגבהים (או המשכיהם) נפגשים בנקודה אחת. ההוכחה משתמשת שוב באנכים האמצעיים: מעבירים דרך כל קודקוד ישר מקביל לצלע שמולו. נוצר משולש גדול, וכל גובה של המשולש המקורי הוא אנך אמצעי של המשולש הגדול. את ההוכחה המלאה תבנו בסדרה 5.

במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ), איפה נפגשים שלושת הגבהים?

להציג את התשובה והפתרון

בקודקוד $C$ . הניצב $AC$ הוא הגובה לצלע $BC$ , הניצב $BC$ הוא הגובה לצלע $AC$ — ושניהם יוצאים מ- $C$ .

שני המעגלים של משולש 6, 8, 10

במשולש ישר זווית הניצבים $6$ ו- $8$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם ואת רדיוס המעגל החסום.

\begin{aligned}c &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

היתר, לפי פיתגורס

\begin{aligned}R &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

מרכז המעגל החוסם באמצע היתר

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24 \\ \quad P &= 6 + 8 + 10 \\ &= 24\end{aligned}

שטח והיקף

\begin{aligned}r &= \frac{2 \cdot 24}{24} \\ &= 2\end{aligned}

לפי $r = \frac{2S}{P}$

שלוש החלפות שעולות בכל מבחן.

\begin{aligned}d(O,AB) &= d(O,BC) \\ &= d(O,CA)\end{aligned}

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC\end{aligned}

מרכז המעגל החוסם $O$ הוא מפגש האנכים האמצעיים, לא מפגש חוצי הזוויות: הוא שווה מרחק מהקודקודים. חוצה הזווית נותן מרחק שווה מהצלעות.

r = IA

r = d(I, AB)

הקטע מ- $I$ לקודקוד אינו רדיוס. הרדיוס של המעגל החסום הוא האנך לצלע.

r = \frac{S}{P}

r = \frac{2S}{P}

השטח של כל אחד משלושת המשולשים הקטנים הוא בסיס כפול $r$ חלקי 2 — אל תשכחו את החצי.

תרגילים

תרגיל 1

התאימו כל נקודה מיוחדת של $\triangle ABC$ לקווים שנפגשים בה.

מרכז המעגל החוסם
מרכז המעגל החסום
מרכז הכובד
נקודת מפגש הגבהים

שלושת האנכים האמצעיים
שלושת הישרים שיוצאים מקודקוד ומאונכים לצלע שמולו
שלושת התיכונים
שלושת חוצי הזוויות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מרכז המעגל החוסם — שלושת האנכים האמצעיים · מרכז המעגל החסום — שלושת חוצי הזוויות · מרכז הכובד — שלושת התיכונים · נקודת מפגש הגבהים — שלושת הישרים שיוצאים מקודקוד ומאונכים לצלע שמולו

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC\end{aligned}

החוסם: שווה מרחק מהקודקודים — אנכים אמצעיים

\begin{aligned}d(I,AB) &= d(I,BC) \\ &= d(I,CA)\end{aligned}

החסום: שווה מרחק מהצלעות — חוצי זוויות

המלכודת: להחליף בין החוסם לחסום. חוסם עובר דרך הקודקודים, חסום נוגע בצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= \sqrt{225} \\ &= 15\end{aligned}

היתר

\begin{aligned}R &= \frac{AB}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

מרכז המעגל החוסם משולש ישר זווית הוא אמצע היתר

$R = 7.5$ . המלכודת: $R = 15$ — היתר הוא קוטר המעגל, לא רדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אורכי צלעות המשולש $ABC$ הם $AB = 13$ , $BC = 14$ ו- $CA = 15$ , ושטחו $84$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}P &= 13 + 14 + 15 \\ &= 42\end{aligned}

ההיקף

\begin{aligned}r &= \frac{2S}{P} \\ &= \frac{168}{42} \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים את המשולש לשלושה משולשים שגובהם $r$

$r = 4$ . המלכודת: $r = \frac{84}{42} = 2$ — שכחו שכל משולש קטן הוא חצי בסיס כפול גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $\angle A = 120^\circ$ . איפה נמצא מרכז המעגל החוסם את המשולש?

באמצע הצלע $BC$
בתוך המשולש
מחוץ למשולש, מעבר לצלע $BC$
בקודקוד $A$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מחוץ למשולש, מעבר לצלע $BC$

הפתרון:

\angle A > 90^\circ

המשולש קהה זווית

\Rightarrow

האנכים האמצעיים נפגשים מחוץ למשולש, בצד של הצלע שמול הזווית הקהה — $BC$

התשובה: «מחוץ למשולש, מעבר לצלע $BC$ ». המלכודת: «באמצע $BC$ » נכון רק כשהזווית $A$ ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נכון או לא נכון: במשולש קהה זווית, מרכז המעגל החסום נמצא מחוץ למשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\angle BAI = \angle CAI

$I$ על חוצה הזווית $A$ , וחוצה זווית של משולש עובר בתוך המשולש

\Rightarrow

נקודת המפגש של שלושה קטעים שבתוך המשולש נמצאת בתוכו

לא נכון. מרכז המעגל החסום תמיד בפנים; מי שיוצא החוצה במשולש קהה הוא מרכז המעגל החוסם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הנקודה $O$ היא נקודת המפגש של האנך האמצעי של $AB$ והאנך האמצעי של $AC$ . הוכיחו כי $O$ נמצאת על האנך האמצעי של $BC$ .

$O$ על האנך האמצעי של $AB$
$O$ על האנך האמצעי של $AC$

$O$ על האנך האמצעי של $BC$

להציג את התשובה והפתרון

$OA = OB$ — כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו
$OA = OC$ — כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו
$OB = OC$ — כלל המעבר
$O$ על האנך האמצעי של $BC$ — נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו

הפתרון:

OA = OB

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

OA = OC

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

OB = OC

כלל המעבר

\Rightarrow

$O$ על האנך האמצעי של $BC$ — נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו

השורה הראשונה והשנייה הן כיוון (א), השורה האחרונה היא כיוון (ב). המלכודת: לסיים ב- $OB = OC$ — צריך עוד לקשור את השוויון לאנך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש שווה שוקיים $ABC$ נתון $AB = AC = 10$ ו- $BC = 12$ . $AD$ הגובה לבסיס. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.25

הפתרון:

\begin{aligned}AD &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

הגובה לבסיס הוא גם אנך אמצעי, ולכן $O$ על $AD$

\begin{aligned}OB &= OA \\ &= R \\ \quad OD &= 8 - R\end{aligned}

נסמן את הרדיוס $R$

R^2 = 6^2 + (8 - R)^2

פיתגורס במשולש $ODB$

\begin{aligned}0 &= 36 + 64 - 16R \Rightarrow R \\ &= \frac{100}{16} \\ &= 6.25\end{aligned}

$R = 6.25$ . המלכודת: להניח ש- $O$ באמצע הגובה, $R = 4$ . רק $OA = OB$ נתון — לא $OA = OD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש שווה שוקיים $ABC$ נתון $AB = AC = 10$ ו- $BC = 12$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}AD &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

הגובה לבסיס

\begin{aligned}S &= \frac{12 \cdot 8}{2} \\ &= 48 \\ \quad P &= 32\end{aligned}

שטח והיקף

\begin{aligned}r &= \frac{2 \cdot 48}{32} \\ &= 3\end{aligned}

$r = 3$ . שימו לב: $r = 3$ ו- $R = 6.25$ — שני מרכזים שונים על אותו גובה. המלכודת: לחשוב שהמרכזים מתלכדים בכל משולש שווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

באיזה משולש מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום הם אותה נקודה?

בכל משולש שווה צלעות
בכל משולש ישר זווית
בכל משולש שווה שוקיים
במשולש ישר זווית ושווה שוקיים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א בכל משולש שווה צלעות

הפתרון:

\Rightarrow

במשולש שווה צלעות כל תיכון הוא גם גובה, חוצה זווית ואנך אמצעי — כל הקווים מתלכדים

\begin{aligned}10 \\ 10 \\ 12: \ R &= 6.25 \\ \ r &= 3\end{aligned}

דוגמה נגדית לשווה שוקיים: המרכזים במרחקים שונים מהבסיס

התשובה: «בכל משולש שווה צלעות». המלכודת: «שווה שוקיים» — שם המרכזים רק על אותו ישר, לא באותה נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: מה נכון לכל $\triangle ABC$ , ומה נכון רק במקרים מסוימים?

נכון לכל משולש
לא תמיד

חוצה הזווית מקודקוד הוא גם התיכון מאותו קודקוד
מרכז המעגל החוסם נמצא בתוך המשולש
מרכז המעגל החוסם רחוק באותה מידה משלושת הקודקודים
מרכז המעגל החסום נמצא בתוך המשולש
נקודת מפגש הגבהים נמצאת בתוך המשולש
שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מרכז המעגל החסום נמצא בתוך המשולש — נכון לכל משולש · מרכז המעגל החוסם נמצא בתוך המשולש — לא תמיד · שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת — נכון לכל משולש · נקודת מפגש הגבהים נמצאת בתוך המשולש — לא תמיד · חוצה הזווית מקודקוד הוא גם התיכון מאותו קודקוד — לא תמיד · מרכז המעגל החוסם רחוק באותה מידה משלושת הקודקודים — נכון לכל משולש

הפתרון:

\text{קהה}

במשולש קהה מרכז המעגל החוסם ונקודת מפגש הגבהים יוצאים מחוץ למשולש

\Rightarrow

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון — אבל רק שם

המלכודת: לשפוט לפי שרטוט של משולש חד זווית, שבו כל הנקודות בפנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת

חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת

הגבהים — ולמה שלוש נקודות שונות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev