התיכונים ומרכז הכובד · מקומות גאומטריים ומשפט חפיפה רביעי · כיתה י׳

גזרו משולש מקרטון ונסו לאזן אותו על קצה של עיפרון. יש נקודה אחת בדיוק שבה הוא לא נופל לאף צד. מסתבר שהנקודה הזאת נמצאת על שלושת התיכונים של המשולש — ולכן קוראים לה מרכז הכובד.

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

שלושת התיכונים AD, BE, CF נפגשים בנקודה G — מרכז הכובד. שימו לב: G קרובה יותר לאמצעי הצלעות מאשר לקודקודים.

לפי השרטוט, איזה חלק של התיכון $AD$ ארוך יותר: $AG$ או $GD$ ? נחשו פי כמה.

להציג את התשובה והפתרון

$AG$ ארוך יותר — פי 2 מ- $GD$ . זה בדיוק המשפט של היחידה, ועכשיו נוכיח אותו.

הכלי להוכחה הוא קטע האמצעים: קטע שמחבר את אמצעי שתי צלעות במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. הזיזו את הקודקוד וראו שזה נשמר בכל משולש:

פעילות אינטראקטיבית

התיכונים נחתכים ביחס 2:1

\begin{aligned}BE \\ CF \text{ תיכונים} \\ \quad BE \cap CF &= G\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $M$ אמצע $BG$ ו- $N$ אמצע $CG$ — שתי נקודות עזר שנוסיף לשרטוט.

קטע אמצעים ב-ABC

\begin{aligned}FE \parallel BC \\ \quad FE &= \tfrac{1}{2}BC\end{aligned}

$F$ ו- $E$ אמצעי $AB$ ו- $AC$ .

קטע אמצעים ב-GBC

\begin{aligned}MN \parallel BC \\ \quad MN &= \tfrac{1}{2}BC\end{aligned}

$M$ ו- $N$ אמצעי $GB$ ו- $GC$ .

מקבילית

\begin{aligned}FE \parallel MN \\ \quad FE &= MN\end{aligned}

במרובע $FENM$ זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות — הוא מקבילית.

אלכסונים

\begin{aligned}GE &= GM \\ \quad GF &= GN\end{aligned}

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ו- $G$ היא נקודת החיתוך שלהם.

שלושה חלקים

\begin{aligned}BM &= MG \\ &= GE \Rightarrow BG \\ &= 2 \cdot GE\end{aligned}

התיכון $BE$ מחולק לשלושה חלקים שווים. באותו אופן $CG = 2 \cdot GF$ .

התיכון השלישי

\begin{aligned}AD \cap BE &= G' \\ \ BG' &= 2 \cdot G'E \Rightarrow G' \\ &= G\end{aligned}

אותו טיעון על $AD$ ו- $BE$ נותן נקודה שמחלקת את $BE$ ביחס $2:1$ — ויש רק נקודה אחת כזאת.

שני קטעי אמצעים בני אותו אורך, ומקבילית אחת — וזה כל המשפט.

לעשות את הפעילות ב-elev

\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} AD \\ \qquad GD &= \frac{1}{3} AD \\ \qquad AG &= 2 \cdot GD\end{aligned}

החלק הארוך תמיד ליד הקודקוד.

התיכון $BE$ שווה ל- $27$ . מה אורכי $BG$ ו- $GE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$BG = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$ ו- $GE = 9$ . בדיקה: $18 = 2 \cdot 9$ ו- $18 + 9 = 27$ .

מרכז הכובד במערכת צירים

אם הקודקודים נתונים בשיעורים, אפשר למצוא את $D$ כאמצע $BC$ ולהתקדם $\frac{2}{3}$ מהדרך מ- $A$ ל- $D$ . החישוב מתקצר לממוצע של שלושת הקודקודים:

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \ \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)

שתי דרכים, אותה נקודה

נתונים $A(0,0)$ , $B(6,0)$ ו- $C(0,9)$ . מצאו את מרכז הכובד $G$ .

\begin{aligned}D &= \left( \frac{6+0}{2}, \frac{0+9}{2} \right) \\ &= (3, 4.5)\end{aligned}

אמצע $BC$

\begin{aligned}G &= A + \tfrac{2}{3}(D - A) \\ &= \left( 2, 3 \right)\end{aligned}

שני שלישים מהדרך מ- $A$ ל- $D$

\begin{aligned}G &= \left( \frac{0+6+0}{3}, \frac{0+0+9}{3} \right) \\ &= (2, 3)\end{aligned}

בדיקה בנוסחת הממוצע

במשולש ישר זווית היתר $AB = 30$ ו- $M$ אמצעו. מה המרחק של מרכז הכובד מקודקוד הזווית הישרה $C$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התיכון ליתר $CM = \frac{30}{2} = 15$ , ומרכז הכובד עליו: $CG = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ .

היחס נכון, אבל הפוך — הטעות השכיחה ביותר.

GD = 2 \cdot AG

AG = 2 \cdot GD

מרכז הכובד קרוב לצלע, לא לקודקוד. החלק הכפול הוא זה שיוצא מהקודקוד.

AG = \frac{1}{2} AD

AG = \frac{2}{3} AD

היחס $2:1$ מחלק את התיכון לשלושה חלקים, לא לשניים.

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{2}, \frac{y_A + y_B + y_C}{2} \right)

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)

שלוש נקודות — מחלקים ב-3. מחלקים ב-2 רק באמצע של קטע.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ התיכון $AD$ שווה ל- $15$ , ו- $G$ מרכז הכובד. מצאו את $AG$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} \cdot 15 \\ &= 10\end{aligned}

התיכונים נחתכים ביחס $2:1$ מהקודקוד

$AG = 10$ ו- $GD = 5$ . המלכודת: $AG = 5$ — להפוך את היחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$G$ מרכז הכובד של המשולש $ABC$ , ו- $BE$ תיכון. נתון $GE = 4$ . מצאו את אורך התיכון $BE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}BG &= 2 \cdot GE \\ &= 8\end{aligned}

החלק שליד הקודקוד כפול

\begin{aligned}BE &= 8 + 4 \\ &= 12\end{aligned}

$BE = 12$ . המלכודת: $BE = 8$ — זה רק $BG$ , והתיכון כולו ארוך יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$G$ מרכז הכובד של המשולש $ABC$ , $BE$ תיכון ו- $BG = 14$ .

$GE =$ ____, ואורך התיכון $BE =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $GE =$ 7, ואורך התיכון $BE =$ 21

הפתרון:

\begin{aligned}GE &= \frac{BG}{2} \\ &= 7\end{aligned}

היחס $BG : GE = 2:1$

\begin{aligned}BE &= 14 + 7 \\ &= 21\end{aligned}

$GE = 7$ , $BE = 21$ . המלכודת: $GE = 28$ — להכפיל במקום לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

קודקודי המשולש הם $A(1,2)$ , $B(7,4)$ ו- $C(4,9)$ . מהם שיעורי מרכז הכובד?

$(12, 15)$
$(4, 5)$
$(5.5, 6.5)$
$(6, 7.5)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(4, 5)$

הפתרון:

\begin{aligned}x_G &= \frac{1 + 7 + 4}{3} \\ &= 4\end{aligned}

ממוצע שיעורי $x$

\begin{aligned}y_G &= \frac{2 + 4 + 9}{3} \\ &= 5\end{aligned}

ממוצע שיעורי $y$

התשובה: $(4, 5)$ . $(12,15)$ הוא סכום בלי חלוקה, $(6, 7.5)$ חלוקה ב-2, ו- $(5.5, 6.5)$ הוא אמצע $BC$ — נקודה על התיכון, לא מרכז הכובד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נכון או לא נכון: מרכז הכובד של משולש נמצא תמיד בתוך המשולש — גם במשולש קהה זווית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

G \in AD

התיכון מחבר קודקוד עם נקודה על הצלע שמולו, ולכן כולו בתוך המשולש

\Rightarrow

נקודת המפגש של קטעים שבתוך המשולש נמצאת בתוכו

נכון. בניגוד למרכז המעגל החוסם ולנקודת מפגש הגבהים, מרכז הכובד לא יוצא מהמשולש לעולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ התיכונים $BE$ ו- $CF$ נחתכים בנקודה $G$ . $M$ אמצע $BG$ ו- $N$ אמצע $CG$ . הוכיחו כי $FENM$ מקבילית.

$F$ אמצע $AB$ , $E$ אמצע $AC$
$M$ אמצע $BG$ , $N$ אמצע $CG$

$FENM$ מקבילית

להציג את התשובה והפתרון

$FE \parallel BC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$FE = \frac{1}{2}BC$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$MN \parallel BC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$MN = \frac{1}{2}BC$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$FE = MN$ — שני קטעים ששווים לאותו קטע שווים זה לזה
$FE \parallel MN$ — שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה
$FENM$ מקבילית — מרובע שבו זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות הוא מקבילית

הפתרון:

FE \parallel BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית

FE = \frac{1}{2}BC

קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית

MN \parallel BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית

MN = \frac{1}{2}BC

קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית

FE = MN

שני קטעים ששווים לאותו קטע שווים זה לזה

FE \parallel MN

שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה

\Rightarrow

$FENM$ מקבילית — מרובע שבו זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות הוא מקבילית

זה הלב של הוכחת היחס $2:1$ . המלכודת: לטעון $FE = MN$ ישירות — צריך את $BC$ כקטע שלישי שמשווה ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 12$ ו- $BC = 16$ . $G$ מרכז הכובד. מצאו את $CG$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.67

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{12^2 + 16^2} \\ &= 20\end{aligned}

היתר

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \\ &= 10\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}CG &= \frac{2}{3} \cdot 10 \\ &= \frac{20}{3} \approx 6.67\end{aligned}

מרכז הכובד על התיכון $CM$

$CG = \frac{20}{3} \approx 6.67$ . המלכודת: לחשב $\frac{2}{3}$ מהיתר — $G$ נמצאת על התיכון, לא על היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ התיכון $BE$ שווה ל- $18$ , ו- $G$ מרכז הכובד. איזו טענה נכונה?

$BG = 6$ ו- $GE = 12$
$BG = 9$ ו- $GE = 9$
$BG = 13.5$ ו- $GE = 4.5$
$BG = 12$ ו- $GE = 6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $BG = 12$ ו- $GE = 6$

הפתרון:

\begin{aligned}BG &= \frac{2}{3} \cdot 18 \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}GE &= \frac{1}{3} \cdot 18 \\ &= 6\end{aligned}

התשובה: « $BG = 12$ ו- $GE = 6$ ». המלכודות: $9$ ו- $9$ הוא אמצע התיכון, $6$ ו- $12$ הוא היחס ההפוך, ו- $13.5$ ו- $4.5$ הוא יחס $3:1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ התיכון $BE = 24$ ו- $G$ מרכז הכובד. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

BE = 24

\begin{aligned}BG &= \frac{2}{3} \cdot 24 \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}GE &= \frac{1}{3} \cdot 24 \\ &= 8\end{aligned}

BG : GE = 1 : 2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $BG : GE = 1 : 2$ → $BG : GE = 2 : 1$

הפתרון:

16 : 8 = 2 : 1

היחס נקרא מהקודקוד אל הצלע

החישובים נכונים, אבל היחס נכתב הפוך. המלכודת: לכתוב את היחס לפי סדר הגדלים ולא לפי סדר הקטעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שני קודקודים של משולש הם $A(0,0)$ ו- $B(4,2)$ , ומרכז הכובד שלו הוא $G(3,4)$ . מצאו את הקודקוד השלישי $C$ .

$C =$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C =$ ( 5 , 10 )

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{0 + 4 + x_C}{3} &= 3 \Rightarrow x_C \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{0 + 2 + y_C}{3} &= 4 \Rightarrow y_C \\ &= 10\end{aligned}

$C(5,10)$ . המלכודת: $\frac{0 + 4 + x_C}{2} = 3$ — מחלקים ב-3 גם כשהנעלם בפנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

מרכז הכובד במערכת צירים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev