משפט החפיפה הרביעי ומשפט פיתגורס ההפוך · מקומות גאומטריים ומשפט חפיפה רביעי · כיתה י׳

מכירים שלושה משפטי חפיפה: צ.צ.צ, צ.ז.צ ו-ז.צ.ז. בכולם, אם יש זווית ושתי צלעות — הזווית כלואה ביניהן. ומה אם הזווית לא כלואה? הסתכלו על השרטוט: שתי צלעות שוות, זווית שווה, ושני משולשים שונים לגמרי.

AB = 5, BC = BD = 4, והזווית A משותפת. שני משולשים, ABC ו-ABD — והם אינם חופפים: AC קצר בהרבה מ-AD.

בשרטוט שלמעלה: מול איזו צלע נמצאת הזווית $A$ — מול הצלע הארוכה $AB = 5$ , או מול הקצרה $BC = 4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

מול $BC = 4$ , הקצרה מבין השתיים. זה בדיוק המצב שבו אפשר לבנות שני משולשים שונים.

משפט החפיפה הרביעי — צ.צ.ז

פעילות אינטראקטיבית

מתי שתי צלעות וזווית שאינה כלואה קובעות משולש אחד

בונים משולש $ABC$ : נתונים האורכים $AB$ ו- $BC$ , והזווית $A$ — שנמצאת מול $BC$ . כמה משולשים שונים אפשר לבנות?

משרטטים את הזווית $A$ ומסמנים את $B$ על שוק אחת. איפה יכול להיות $C$ ?

על השוק השנייה, במרחק $BC$ מ- $B$ : בחיתוך של מעגל שמרכזו $B$ ורדיוסו $BC$ עם השוק.

להציג את התשובה והפתרון

כן. $C$ חייב להיות גם על השוק וגם במרחק $BC$ מ- $B$ — שני מקומות גאומטריים, ו- $C$ בחיתוך שלהם.

בכל נקודה במרחק $BC$ מ- $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

האורך $BC$ נמדד מ- $B$ , לא מ- $A$ . ו- $C$ חייב להיות על השוק השנייה של הזווית.

\Rightarrow

$C$ על השוק השנייה, ו- $BC$ נתון. מספר המשולשים הוא מספר נקודות החיתוך של המעגל עם השוק.

נניח $BC < AB$ , והמעגל חותך את השוק ולא רק נוגע בה. כמה נקודות חיתוך יש על השוק?

שתיים — ולכן שני משולשים לא חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

כן. $A$ נמצאת מחוץ למעגל, ולכן שתי נקודות החיתוך באותו צד של $A$ — שתיהן על השוק. זה השרטוט שבראש היחידה.

תמיד אחת.

להציג את התשובה והפתרון

לא. בשרטוט שבראש היחידה $BC = 4 < AB = 5$ ויש שתי נקודות, $C$ ו- $D$ .

BC < AB

לפעמים שני משולשים: כשהזווית מול הצלע הקטנה — אין חפיפה בוודאות.

ועכשיו $BC > AB$ . כמה נקודות חיתוך יש על השוק?

אחת בלבד: $A$ בתוך המעגל, והחיתוך השני נופל על ההמשך של השוק, מעבר ל- $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. ישר שעובר דרך נקודה פנימית חותך את המעגל פעם אחת מכל צד שלה — רק צד אחד הוא השוק.

שתיים, כמו קודם.

להציג את התשובה והפתרון

הנקודה השנייה נמצאת מהצד השני של $A$ . שם הזווית כבר אינה $\angle A$ הנתונה, אלא הזווית הצמודה לה.

BC > AB

משולש אחד בלבד: כשהזווית מול הצלע הגדולה — המשולש נקבע, ושני משולשים כאלה חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

משפט חפיפה רביעי (צ.צ.ז): אם שתי צלעות, והזווית שמול הגדולה מביניהן, במשולש אחד שוות בהתאמה לשתי צלעות ולזווית שמול הגדולה מביניהן במשולש שני — המשולשים חופפים. אם הזווית מול הצלע הקטנה, לא ניתן להסיק חפיפה.

לעשות את הפעילות ב-elev

במשולשים $ABC$ ו- $DEF$ : $AB = DE = 7$ , $AC = DF = 9$ ו- $\angle B = \angle E$ . האם המשולשים חופפים?

להציג את התשובה והפתרון

כן. הזווית $B$ נמצאת מול $AC = 9$ , הגדולה מבין שתי הצלעות הנתונות. לפי צ.צ.ז המשולשים חופפים.

ואם $AB = DE = 9$ , $AC = DF = 7$ ו- $\angle B = \angle E$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא ניתן לקבוע. עכשיו הזווית $B$ מול $AC = 7$ , הקטנה. ייתכנו שני משולשים שונים עם הנתונים האלה.

מקרה חשוב: משולשים ישרי זווית. הזווית הישרה נמצאת תמיד מול היתר, והיתר הוא הצלע הגדולה במשולש. לכן שני משולשים ישרי זווית שבהם היתר וניצב שווים — חופפים לפי צ.צ.ז.

הגובה במשולש שווה שוקיים

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC$ , ו- $AD$ הגובה לצלע $BC$ . הוכיחו כי $BD = DC$ .

AB = AC

נתון — שני היתרים

AD = AD

ניצב משותף

\begin{aligned}\angle ADB &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הזוויות מול היתרים, שהם הצלעות הגדולות

\triangle ADB \cong \triangle ADC \ (\text{צ.צ.ז}) \Rightarrow BD = DC

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

משפט פיתגורס ההפוך

משפט פיתגורס ההפוך: אם במשולש ריבוע צלע אחת שווה לסכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות, אז הזווית שמול הצלע הזאת ישרה.

פעילות אינטראקטיבית

הוכחת משפט פיתגורס ההפוך

\begin{aligned}BC &= a \\ \ CA &= b \\ \ AB &= c \\ \quad a^2 + b^2 &= c^2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הרעיון: לבנות משולש שני, שבו יודעים שהזווית ישרה, ולהראות שהוא חופף.

בנייה

\begin{aligned}\angle C' &= 90^\circ \\ \ B'C' &= a \\ \ C'A' &= b\end{aligned}

בונים משולש ישר זווית $A'B'C'$ עם אותם ניצבים.

פיתגורס

A'B'^2 = a^2 + b^2

במשולש הבנוי הזווית ישרה, ולכן משפט פיתגורס חל עליו.

השוואה

\begin{aligned}A'B'^2 &= c^2 \Rightarrow A'B' \\ &= c\end{aligned}

לפי הנתון $a^2 + b^2 = c^2$ .

חפיפה

\triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \ (\text{צ.צ.צ})

שלוש הצלעות שוות בהתאמה.

מסקנה

\begin{aligned}\angle C &= \angle C' \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות במשולשים חופפים.

ההוכחה משתמשת במשפט הישר כדי להוכיח את ההפוך — אבל על משולש אחר.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם משולש שצלעותיו $7$ , $24$ , $25$ ישר זווית? אם כן, איפה הזווית הישרה?

להציג את התשובה והפתרון

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ . כן, והזווית הישרה מול הצלע $25$ — בין הצלעות $7$ ו- $24$ .

שלוש טעויות בחפיפה ובפיתגורס ההפוך.

\angle A,\ BC < AB \Rightarrow \cong

\angle A,\ BC > AB \Rightarrow \cong

ב-צ.צ.ז הזווית $A$ נמצאת מול $BC$ , והיא חייבת להיות מול הצלע הגדולה, לא מול הקטנה. לפני שכותבים צ.צ.ז בודקים מול איזו צלע הזווית. מול הקטנה — אין משפט.

5^2 + 13^2 \ne 12^2 \Rightarrow \gamma \ne 90^\circ

5^2 + 12^2 = 13^2

המסקנה «לא ישר זווית» שגויה: בודקים תמיד את הצלע הגדולה בתפקיד היתר.

\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F \Rightarrow \cong\end{aligned}

\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F \not\Rightarrow \cong\end{aligned}

שלוש זוויות אינן מבטיחות חפיפה: הן קובעות רק את צורת המשולש, לא את גודלו.

תרגילים

תרגיל 1

במשולשים $ABC$ ו- $DEF$ ידוע ש- $AB > AC$ . איזה מהנתונים הבאים מבטיח ש- $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ?

$AB = DE$ , $\angle A = \angle D$
$\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $\angle C = \angle F$
$AB = DE$ , $AC = DF$ , $\angle C = \angle F$
$AB = DE$ , $AC = DF$ , $\angle B = \angle E$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $AB = DE$ , $AC = DF$ , $\angle C = \angle F$

הפתרון:

\angle C \text{ מול } AB

בנתון הראשון הזווית מול הצלע הגדולה $AB$ — צ.צ.ז

\angle B \text{ מול } AC

בנתון השני הזווית מול הצלע הקטנה — לא מבטיח

התשובה: « $AB = DE$ , $AC = DF$ , $\angle C = \angle F$ ». המלכודת: הנתון עם $\angle B$ נראה דומה, אבל שם הזווית מול הצלע הקטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הוכיחו או הפריכו: אם במשולשים $ABC$ ו- $DEF$ מתקיים $AB = DE = 8$ , $BC = EF = 5$ ו- $\angle A = \angle D = 30^\circ$ , אז המשולשים חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}BH &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

$BH$ גובה מ- $B$ ; הניצב מול זווית $30^\circ$ שווה למחצית היתר

\begin{aligned}AH &= \sqrt{64 - 16} \\ &= 4\sqrt{3} \\ \quad HC &= \sqrt{25 - 16} \\ &= 3\end{aligned}

פיתגורס בשני המשולשים

\begin{aligned}AC &= 4\sqrt{3} - 3 \quad \text{או} \quad AC' \\ &= 4\sqrt{3} + 3\end{aligned}

שני משולשים שונים עם אותם נתונים

הטענה לא נכונה: הזווית $30^\circ$ נמצאת מול $BC = 5$ , הצלע הקטנה. דוגמה נגדית: $AC = 4\sqrt{3} + 3$ במשולש אחד ו- $4\sqrt{3} - 3$ בשני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אורכי הצלעות של משולש הם $20$ , $21$ ו- $29$ . הוכיחו שהוא ישר זווית, וחשבו את שטחו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 210

הפתרון:

\begin{aligned}20^2 + 21^2 &= 400 + 441 \\ &= 841 \\ &= 29^2\end{aligned}

הצלע הגדולה בתפקיד היתר — משפט פיתגורס ההפוך

\begin{aligned}S &= \frac{20 \cdot 21}{2} \\ &= 210\end{aligned}

הזווית הישרה בין $20$ ל- $21$ , ולכן הם הניצבים

$S = 210$ . המלכודת: $\frac{21 \cdot 29}{2}$ — היתר אינו ניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איזו שלשה יכולה להיות אורכי הצלעות של $\triangle ABC$ שבו $\angle C = 90^\circ$ ?

$8, 15, 17$
$5, 12, 14$
$6, 7, 9$
$9, 12, 16$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $8, 15, 17$

הפתרון:

\begin{aligned}8^2 + 15^2 &= 64 + 225 \\ &= 289 \\ &= 17^2\end{aligned}

מתקיים — ישר זווית

\begin{aligned}6^2 + 7^2 &= 85 \ne 81 \\ \quad 5^2 + 12^2 &= 169 \ne 196 \\ \quad 9^2 + 12^2 &= 225 \ne 256\end{aligned}

שלושת האחרים לא מקיימים

התשובה: $8, 15, 17$ . המלכודת: $9, 12, 16$ — קרוב ל- $9, 12, 15$ , אבל $16^2 = 256$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש חד זווית $ABC$ , $BE$ ו- $CF$ הם גבהים, ו- $BE = CF$ . הוכיחו כי $AB = AC$ .

$BE \perp AC$ , $CF \perp AB$
$BE = CF$

$AB = AC$

להציג את התשובה והפתרון

$BC = CB$ — צלע משותפת
$BE = CF$ — נתון
$\angle BFC = \angle CEB = 90^\circ$ — נתון — גבהים
$BC$ הצלע הגדולה במשולשים $BFC$ ו- $CEB$ — במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה
$\triangle BFC \cong \triangle CEB$ — צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
$\angle FBC = \angle ECB$ — במשולשים חופפים מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
$AB = AC$ — במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

הפתרון:

BC = CB

צלע משותפת

BE = CF

נתון

\begin{aligned}\angle BFC &= \angle CEB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נתון — גבהים

\Rightarrow

$BC$ הצלע הגדולה במשולשים $BFC$ ו- $CEB$ — במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה

\triangle BFC \cong \triangle CEB

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

\angle FBC = \angle ECB

במשולשים חופפים מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

AB = AC

במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

המלכודת: לכתוב צ.ז.צ — הזווית הישרה אינה כלואה בין $BC$ לגובה. היא מול $BC$ , ולכן זה צ.צ.ז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אורכי הצלעות של משולש ישר זווית הם $x$ , $x + 7$ ו- $x + 8$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x^2 + (x+7)^2 = (x+8)^2

הצלע הגדולה $x + 8$ היא היתר

x^2 + x^2 + 14x + 49 = x^2 + 16x + 64

\begin{aligned}x^2 - 2x - 15 &= 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 3) \\ &= 0\end{aligned}

x = 5

$x = -3$ נפסל — אורך חיובי. הצלעות: $5, 12, 13$

$x = 5$ . המלכודת: לשים את $x + 7$ בתפקיד היתר, או לשכוח לפסול את $x = -3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מיינו: אילו נתונים על $\triangle ABC$ ו- $\triangle DEF$ מבטיחים חפיפה?

מבטיח חפיפה
לא מבטיח

יתר וניצב במשולשים ישרי זווית
שלוש זוויות שוות בהתאמה
שלוש צלעות שוות בהתאמה
שתי זוויות והצלע שביניהן
שתי צלעות והזווית שביניהן
שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
שתי צלעות והזווית שמול הקטנה מביניהן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שלוש צלעות שוות בהתאמה — מבטיח חפיפה · שתי צלעות והזווית שביניהן — מבטיח חפיפה · שתי זוויות והצלע שביניהן — מבטיח חפיפה · שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן — מבטיח חפיפה · שתי צלעות והזווית שמול הקטנה מביניהן — לא מבטיח · שלוש זוויות שוות בהתאמה — לא מבטיח · יתר וניצב במשולשים ישרי זווית — מבטיח חפיפה

הפתרון:

\Rightarrow

ארבעת משפטי החפיפה: צ.צ.צ, צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.ז

\Rightarrow

יתר וניצב הם מקרה של צ.צ.ז: הזווית הישרה מול היתר, הצלע הגדולה

המלכודת: «שתי צלעות וזווית» בלי לבדוק איפה הזווית. ושלוש זוויות קובעות צורה, לא גודל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

האם ייתכן: שני משולשים שאינם חופפים, שבכל אחד מהם יש צלע באורך $10$ , צלע באורך $6$ , והזווית שמול הצלע באורך $6$ היא $30^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}BH &= \frac{10}{2} \\ &= 5 < 6\end{aligned}

המרחק מקצה הצלע $10$ לשוק השנייה קטן מ- $6$ — המעגל חותך את השוק

\begin{aligned}HC &= \sqrt{36 - 25} \\ &= \sqrt{11}\end{aligned}

פיתגורס

AC = 5\sqrt{3} \pm \sqrt{11}

שני אורכים שונים לצלע השלישית

כן, ייתכן. הזווית מול הצלע הקטנה ( $6 < 10$ ), ולכן צ.צ.ז לא חל. המלכודת: לענות «לא» כי «שתי צלעות וזווית» נשמע כמו משפט חפיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודה $D$ על הצלע $BC$ של המשולש $ABC$ . נתון $BD = 5$ , $DC = 9$ , $AD = 12$ ו- $AB = 13$ . הראו ש- $AD$ גובה, ומצאו את $AC$ .

$AD^2 + BD^2 =$ ____, ולכן $AD \perp BC$ ו- $AC =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AD^2 + BD^2 =$ 169, ולכן $AD \perp BC$ ו- $AC =$ 15

הפתרון:

\begin{aligned}AD^2 + BD^2 &= 144 + 25 \\ &= 169 \\ &= 13^2 \\ &= AB^2\end{aligned}

משפט פיתגורס ההפוך במשולש $ABD$

\begin{aligned}\angle ADB &= 90^\circ \Rightarrow \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות

\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 9^2} \\ &= \sqrt{225} \\ &= 15\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ADC$

$AC = 15$ . המלכודת: להשתמש בפיתגורס ב- $ADC$ לפני שהוכחתם שהזווית ב- $D$ ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

תלמיד כתב הוכחה. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}AB &= DE \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}AC &= DF \\ &= 6\end{aligned}

\begin{aligned}\angle B &= \angle E \\ &= 35^\circ\end{aligned}

\triangle ABC \cong \triangle DEF \ (\text{צ.צ.ז})

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\triangle ABC \cong \triangle DEF \ (\text{צ.צ.ז})$ → $\angle B \text{ מול } AC = 6 \Rightarrow \text{לא ניתן להסיק חפיפה}$

הפתרון:

\angle B \text{ מול } AC

הזווית $B$ נמצאת מול הצלע $AC$

\begin{aligned}AC &= 6 < AB \\ &= 9\end{aligned}

זו הצלע הקטנה מבין שתי הצלעות הנתונות — צ.צ.ז לא חל

השורה האחרונה שגויה. שלוש שורות הנתונים נכונות, אבל צ.צ.ז דורש שהזווית תהיה מול הצלע הגדולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

משפט החפיפה הרביעי — צ.צ.ז

משפט פיתגורס ההפוך

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev