פותרים יחד · מקומות גאומטריים ומשפט חפיפה רביעי · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל נושא של הפרק: מקום גאומטרי, מרכז המעגל החוסם, מרכז הכובד, משפט החפיפה הרביעי ומשפט פיתגורס ההפוך. בשאלות עם בחירה אתם בוחרים את הצעד הבא; בחירה שגויה מסבירה למה, ואפשר לנסות שוב.

בשאלות הוכחה כתבו לעצמכם קודם טענה ונימוק על דף, ורק אחר כך לחצו. אחרי כל שאלה יש שאלת «תורכם» — פתרו אותה לבד לפני שפותחים את התשובה, ובסוף היחידה יש תרגיל תאום לכל אחת.

1. מרכזי המעגלים שעוברים דרך שתי נקודות

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 1

נתונות שתי נקודות $A$ ו- $B$ , ו- $AB = 24$ . (א) הוכיחו כי המרכז של כל מעגל שעובר דרך $A$ ודרך $B$ נמצא על האנך האמצעי של $AB$ . (ב) מעגל שרדיוסו $13$ עובר דרך $A$ ו- $B$ . מצאו את המרחק של מרכזו מהישר $AB$ . (ג) כמה מעגלים כאלה יש?

סעיף (א): מה ידוע על המרכז $O$ של מעגל כזה?

$OA = OB$ , כי שניהם רדיוסים.

להציג את התשובה והפתרון

כן. ומכאן כיוון (ב) של המקום הגאומטרי: נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו.

$O$ הוא אמצע $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

רק כש- $AB$ קוטר. ברוב המעגלים $O$ נמצא מעל או מתחת לקטע.

$OA \perp AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

אין שום נתון על זווית ב- $A$ .

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= R\end{aligned}

$O$ על האנך האמצעי של $AB$ : נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו.

סעיף (ב): באיזה משולש מחשבים את המרחק $OM$ ?

במשולש $OMA$ : $OA = 13$ יתר, $AM = 12$ ניצב.

להציג את התשובה והפתרון

כן. $M$ אמצע $AB$ והזווית ב- $M$ ישרה.

במשולש $OMA$ עם $AM = 24$ .

להציג את התשובה והפתרון

$M$ הוא אמצע הקטע — $AM = 12$ .

\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

המרחק של מרכז המעגל מהקטע הוא $5$ .

סעיף (ג): כמה מעגלים ברדיוס $13$ עוברים דרך $A$ ו- $B$ ?

שניים: המרכז במרחק $5$ מעל $AB$ או $5$ מתחתיו.

להציג את התשובה והפתרון

כן. על האנך האמצעי יש שתי נקודות במרחק $5$ מ- $M$ — אחת מכל צד.

אחד בלבד.

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את הצד השני של הקטע.

אינסוף.

להציג את התשובה והפתרון

אינסוף מעגלים עוברים דרך $A$ ו- $B$ , אבל רדיוס קבוע משאיר רק שניים.

\begin{aligned}O_1M &= O_2M \\ &= 5\end{aligned}

שני מעגלים, סימטריים ביחס לישר $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

(א) $OA = OB$ , ולכן $O$ על האנך האמצעי. (ב) $5$ . (ג) שני מעגלים. המלכודת: לקחת $AM = 24$ במקום $12$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: $AB = 16$ , ומעגל שרדיוסו $10$ עובר דרך $A$ ו- $B$ . מה המרחק של מרכזו מ- $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$AM = 8$ , ולכן $OM = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$ .

2. מרכז המעגל החוסם משולש שווה שוקיים

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 2

\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 13 \\ \quad BC &= 10 \\ \quad R &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מרכז המעגל החוסם נמצא על האנך האמצעי של $BC$ — ובמשולש שווה שוקיים זה הגובה $AD$ .

גובה

\begin{aligned}AD &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

$BD = 5$ , חצי הבסיס.

מיקום O

\begin{aligned}O \in AD \\ \quad OA &= OB \\ &= R \\ \quad OD &= 12 - R\end{aligned}

המשולש חד זווית, ולכן $O$ בין $A$ ל- $D$ .

פיתגורס

R^2 = 5^2 + (12 - R)^2

במשולש $ODB$ , הזווית ב- $D$ ישרה.

פתרון

\begin{aligned}0 &= 25 + 144 - 24R \Rightarrow R \\ &= \frac{169}{24} \approx 7.04\end{aligned}

ה- $R^2$ מצטמצם משני האגפים.

המלכודת: להניח ש- $O$ באמצע הגובה, או ש- $O$ הוא מרכז הכובד. שלוש נקודות שונות על אותו גובה.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: במשולש $AB = AC = 5$ ו- $BC = 6$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם.

להציג את התשובה והפתרון

$AD = 4$ . $R^2 = 3^2 + (4 - R)^2 \Rightarrow 0 = 9 + 16 - 8R \Rightarrow R = \frac{25}{8} = 3.125$ .

3. שני תיכונים שווים

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 3

במשולש $ABC$ התיכונים $AD$ (לצלע $BC$ ) ו- $BE$ (לצלע $AC$ ) שווים זה לזה, ונחתכים בנקודה $G$ . הוכיחו כי $CA = CB$ .

מה אפשר להסיק על $AG$ ו- $BG$ ?

$AG = BG$ , כי כל אחד שני שלישים מתיכונים שווים.

להציג את התשובה והפתרון

כן. התיכונים נחתכים ביחס $2:1$ , ולכן גם $GD = GE$ .

$AG = GD$ .

להציג את התשובה והפתרון

לא — $AG = 2 \cdot GD$ .

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3}AD \\ &= \tfrac{2}{3}BE \\ &= BG \\ \quad GD &= GE\end{aligned}

ארבעה קטעים, שני זוגות שווים.

אילו שני משולשים כדאי להוכיח שהם חופפים?

$\triangle AGE$ ו- $\triangle BGD$ , בצ.ז.צ עם זוויות קודקודיות.

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AG = BG$ , $GE = GD$ , והזוויות $\angle AGE = \angle BGD$ קודקודיות — כלואות בין הצלעות.

$\triangle ABD$ ו- $\triangle BAE$ בצ.צ.צ.

להציג את התשובה והפתרון

לא ידועים $BD$ ו- $AE$ — הם בדיוק מה שנרצה להשוות.

\triangle AGE \cong \triangle BGD \ (\text{צ.ז.צ}) \Rightarrow AE = BD

צלעות מתאימות במשולשים חופפים.

איך מגיעים מ- $AE = BD$ ל- $CA = CB$ ?

$E$ ו- $D$ אמצעים, ולכן $CA = 2AE = 2BD = CB$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. כפולות של קטעים שווים שוות.

המשולש שווה שוקיים כי יש בו שני תיכונים.

להציג את התשובה והפתרון

בכל משולש יש שלושה תיכונים. השוויון שלהם הוא העניין.

\begin{aligned}CA &= 2 \cdot AE \\ &= 2 \cdot BD \\ &= CB\end{aligned}

המשולש שווה שוקיים, והבסיס שלו $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

יחס $2:1$ , חפיפה בצ.ז.צ עם זוויות קודקודיות, והכפלה. המלכודת: לחפש חפיפה בין המשולשים הגדולים, שבהם חסרה צלע.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: בשאלה 3 נתון $AD = BE = 18$ . מצאו את $AG$ , $GD$ ו- $GE$ .

להציג את התשובה והפתרון

$AG = BG = 12$ , ו- $GD = GE = 6$ .

4. אנכים שווים מאמצע הבסיס

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 4

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ היא אמצע $BC$ . $DE \perp AB$ ו- $DF \perp AC$ , ו- $DE = DF$ . הוכיחו כי $AB = AC$ .

אילו משולשים משווים?

$\triangle BED$ ו- $\triangle CFD$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. בכל אחד מהם יודעים יתר ( $BD = CD$ ), ניצב ( $DE = DF$ ) וזווית ישרה.

$\triangle AED$ ו- $\triangle AFD$ .

להציג את התשובה והפתרון

גם הם חופפים, אבל הם נותנים שוויון זוויות ב- $A$ ולא עוזרים להשוות את $B$ ל- $C$ .

\begin{aligned}BD &= CD \\ \quad DE &= DF \\ \quad \angle BED &= \angle CFD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי צלעות וזווית בכל משולש.

איזה משפט חפיפה מתאים?

צ.צ.ז: הזווית הישרה מול היתר, הצלע הגדולה.

להציג את התשובה והפתרון

כן. $BD$ ו- $CD$ הם יתרים — הצלעות הגדולות — והזווית הישרה מולן.

צ.ז.צ.

להציג את התשובה והפתרון

הזווית הישרה אינה בין $BD$ ל- $DE$ : היא ב- $E$ , מול $BD$ .

\triangle BED \cong \triangle CFD \ (\text{צ.צ.ז})

שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן.

איך מסיימים?

$\angle B = \angle C$ , ומול זוויות שוות צלעות שוות.

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AB$ מול $\angle C$ ו- $AC$ מול $\angle B$ .

$BE = CF$ , ולכן $AB = AC$ .

להציג את התשובה והפתרון

$BE = CF$ נכון, אבל $AE$ ו- $AF$ עוד לא ידועים — אי אפשר לחבר.

\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AC \\ &= AB\end{aligned}

המשולש שווה שוקיים.

להציג את התשובה והפתרון

חפיפה לפי צ.צ.ז בין $BED$ ל- $CFD$ , ואחריה זוויות הבסיס. המלכודת: לכתוב צ.ז.צ כשהזווית אינה כלואה.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: למה בשאלה 4 אי אפשר להשתמש ב-ז.צ.ז?

להציג את התשובה והפתרון

כי ידועה רק זווית אחת בכל משולש, הזווית הישרה. ז.צ.ז דורש שתי זוויות שוות והצלע שביניהן.

5. מרובע עם שני משולשים ישרי זווית

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 5

\begin{aligned}AB &= 15 \\ \ BC &= 20 \\ \ CD &= 24 \\ \ DA &= 7 \\ \ AC &= 25\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בכל מרובע האלכסון $AC$ מחלק אותו לשני משולשים — נבדוק כל אחד בנפרד.

משולש ABC

\begin{aligned}15^2 + 20^2 &= 225 + 400 \\ &= 625 \\ &= 25^2\end{aligned}

לפי משפט פיתגורס ההפוך, $\angle B = 90^\circ$ .

משולש ADC

\begin{aligned}7^2 + 24^2 &= 49 + 576 \\ &= 625 \\ &= 25^2\end{aligned}

גם $\angle D = 90^\circ$ .

שטח

\begin{aligned}S &= \frac{15 \cdot 20}{2} + \frac{7 \cdot 24}{2} \\ &= 150 + 84 \\ &= 234\end{aligned}

בכל משולש ישר זווית: מכפלת הניצבים חלקי 2.

מעגל

\begin{aligned}MB &= MD \\ &= MA \\ &= MC \\ &= 12.5\end{aligned}

$M$ אמצע $AC$ . התיכון ליתר שווה למחצית היתר בשני המשולשים — ארבעת הקודקודים על מעגל אחד שמרכזו $M$ .

המלכודת: להניח שהמרובע מלבן. הזוויות ב- $B$ וב- $D$ ישרות, אבל ב- $A$ וב- $C$ לא.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: למה הנקודות $B$ ו- $D$ שבשאלה 5 נמצאות על מעגל שקוטרו $AC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

בכל אחד מהמשולשים $ABC$ ו- $ADC$ הזווית שמול $AC$ ישרה. מרכז המעגל החוסם משולש ישר זווית הוא אמצע היתר, ולכן שני המעגלים החוסמים הם אותו מעגל: מרכזו $M$ ורדיוסו $12.5$ .

תרגילים תאומים. חמשת התרגילים שלמטה בנויים כמו חמש השאלות, עם נתונים אחרים.

תרגילים

תרגיל 1

נתון קטע $AB = 30$ . מעגל שרדיוסו $17$ עובר דרך $A$ ודרך $B$ , ו- $O$ מרכזו. מצאו את המרחק של $O$ מהישר $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

OA = OB

רדיוסים, ולכן $O$ על האנך האמצעי של $AB$

AM = 15

$M$ אמצע הקטע

\begin{aligned}OM &= \sqrt{17^2 - 15^2} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMA$

$OM = 8$ . המלכודת: $AM = 30$ — המרכז מעל האמצע של הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 17$ ו- $BC = 16$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.63

הפתרון:

\begin{aligned}AD &= \sqrt{17^2 - 8^2} \\ &= 15\end{aligned}

הגובה לבסיס, שהוא גם האנך האמצעי של $BC$

R^2 = 8^2 + (15 - R)^2

פיתגורס במשולש $ODB$

\begin{aligned}0 &= 64 + 225 - 30R \Rightarrow R \\ &= \frac{289}{30} \approx 9.63\end{aligned}

$R = \frac{289}{30} \approx 9.63$ . המלכודת: $R = 7.5$ , חצי הגובה — $O$ אינו באמצע $AD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ התיכונים $BE$ (לצלע $AC$ ) ו- $CF$ (לצלע $AB$ ) שווים, ונחתכים בנקודה $G$ . הוכיחו כי $AB = AC$ .

$BE$ ו- $CF$ תיכונים
$BE = CF$

$AB = AC$

להציג את התשובה והפתרון

$BG = CG$ — מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים
$GF = GE$ — מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים
$\angle BGF = \angle CGE$ — זוויות קודקודיות
$\triangle BGF \cong \triangle CGE$ — צ.ז.צ
$BF = CE$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
$AB = AC$ — $F$ ו- $E$ אמצעי הצלעות: $AB = 2BF$ ו- $AC = 2CE$

הפתרון:

BG = CG

מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים

GF = GE

מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים

\angle BGF = \angle CGE

זוויות קודקודיות

\triangle BGF \cong \triangle CGE

צ.ז.צ

BF = CE

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

AB = AC

$F$ ו- $E$ אמצעי הצלעות: $AB = 2BF$ ו- $AC = 2CE$

המלכודת: לחפוף את $\triangle FBC$ ו- $\triangle ECB$ — שם יש שתי צלעות שוות, אבל אין זווית ידועה ביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: אם $D$ היא נקודה כלשהי על הצלע $BC$ של המשולש $ABC$ , $DE \perp AB$ , $DF \perp AC$ ו- $DE = DF$ , אז $AB = AC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

DE = DF

$D$ על חוצה הזווית $A$ — כיוון (ב) של חוצה הזווית

\Rightarrow

בכל משולש, גם בלא שווה שוקיים, חוצה הזווית $A$ חותך את $BC$ ונותן נקודה כזאת

BD \ne CD

בשאלה 4 היה נתון ש- $D$ אמצע $BC$ — זה מה שהבטיח את החפיפה

לא נכון. דוגמה נגדית: הנקודה שבה חוצה הזווית $A$ פוגש את $BC$ במשולש שאינו שווה שוקיים. המלכודת: לשכוח שבשאלה 4 הנתון «אמצע» הוא שעשה את כל העבודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במרובע $ABCD$ נתון $AB = 33$ , $BC = 56$ , $CD = 25$ , $DA = 60$ והאלכסון $AC = 65$ . מצאו את שטח המרובע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1674

הפתרון:

\begin{aligned}33^2 + 56^2 &= 1089 + 3136 \\ &= 4225 \\ &= 65^2\end{aligned}

$\angle B = 90^\circ$ לפי פיתגורס ההפוך

\begin{aligned}25^2 + 60^2 &= 625 + 3600 \\ &= 4225 \\ &= 65^2\end{aligned}

$\angle D = 90^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{33 \cdot 56}{2} + \frac{25 \cdot 60}{2} \\ &= 924 + 750 \\ &= 1674\end{aligned}

שני משולשים ישרי זווית

$S = 1674$ . המלכודת: לחשב את השטח בלי לבדוק קודם שהזוויות ישרות — בלי פיתגורס ההפוך אין רשות לכפול ניצבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1. מרכזי המעגלים שעוברים דרך שתי נקודות

2. מרכז המעגל החוסם משולש שווה שוקיים

3. שני תיכונים שווים

4. אנכים שווים מאמצע הבסיס

5. מרובע עם שני משולשים ישרי זווית

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev