סדרה 1 — קל · מקומות גאומטריים ומשפט חפיפה רביעי · כיתה י׳

סדרה 1 מתרגלת את הכלים של הפרק אחד אחד: ארבעת המקומות הגאומטריים, מרכז המעגל החוסם והחסום, היחס $2:1$ של התיכונים, משפט פיתגורס ההפוך והדוגמה הנגדית לחפיפה.

כל תרגיל כאן הוא צעד אחד או שניים. תשע נכונות ומעלה — עברו לסדרה 2. פחות מזה — חזרו ליחידה שבה נמצא הכלי שהכשיל אתכם.

תרגילים

תרגיל 1

מהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה $A$ שווה למרחקן מהנקודה $B$ ?

אמצע הקטע $AB$
המעגל שקוטרו $AB$
הישר $AB$
האנך האמצעי של $AB$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד האנך האמצעי של $AB$

הפתרון:

PA = PB

$P$ על האנך האמצעי של $AB$ , ולהפך — שני הכיוונים של המקום הגאומטרי

התשובה: «האנך האמצעי של $AB$ ». המלכודת: «אמצע הקטע» — זו רק נקודה אחת מהישר כולו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הנקודה $P$ על האנך האמצעי של $AB$ , ו- $M$ אמצע $AB$ . נתון $AB = 12$ ו- $PM = 8$ . מצאו את $PA$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

AM = 6

חצי הקטע

\begin{aligned}PA &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש $PMA$

$PA = 10$ . המלכודת: $\sqrt{8^2 + 12^2}$ — לקחת את הקטע כולו במקום חציו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ התיכון $AD$ שווה ל- $21$ , ו- $G$ מרכז הכובד. מצאו את $AG$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} \cdot 21 \\ &= 14\end{aligned}

יחס $2:1$ מהקודקוד

$AG = 14$ , $GD = 7$ . המלכודת: $AG = 7$ — היחס הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נכון או לא נכון: מרכז המעגל החוסם משולש ישר זווית הוא אמצע היתר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}MA &= MB \\ &= MC\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\Rightarrow

אמצע היתר רחוק באותה מידה משלושת הקודקודים

נכון. לכן היתר הוא קוטר של המעגל החוסם. המלכודת: לחפש את המרכז בקודקוד הזווית הישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש ישר זווית אורכי הניצבים $5$ ו- $12$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם אותו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.5

הפתרון:

\begin{aligned}c &= \sqrt{25 + 144} \\ &= 13\end{aligned}

היתר

\begin{aligned}R &= \frac{13}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

היתר הוא קוטר

$R = 6.5$ . המלכודת: $R = 13$ — היתר הוא הקוטר, לא הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איזו שלשה יכולה להיות אורכי הצלעות של $\triangle ABC$ שבו $\angle C = 90^\circ$ ?

$7, 8, 11$
$12, 16, 21$
$10, 24, 25$
$9, 40, 41$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $9, 40, 41$

הפתרון:

\begin{aligned}9^2 + 40^2 &= 81 + 1600 \\ &= 1681 \\ &= 41^2\end{aligned}

פיתגורס ההפוך מתקיים

\begin{aligned}10^2 + 24^2 &= 676 \\ &= 26^2 \ne 25^2\end{aligned}

קרוב, אבל לא

התשובה: $9, 40, 41$ . המלכודת: $10, 24, 25$ — זה נראה כמו כפולה של $5, 12, 13$ , אבל הכפולה היא $10, 24, 26$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו לכל תכונה את המקום הגאומטרי שלה.

הנקודות שמרחקן מ- $O$ הוא $6$
הנקודות שמרחקן מ- $A$ ומ- $B$ שווה
הנקודות בתוך זווית שמרחקן משתי שוקיה שווה
הנקודות שמרחקן מהישר $\ell$ הוא $2$

האנך האמצעי של $AB$
חוצה הזווית
מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $6$
שני ישרים המקבילים ל- $\ell$ במרחק $2$ ממנו

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הנקודות שמרחקן מ- $O$ הוא $6$ — מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $6$ · הנקודות שמרחקן מ- $A$ ומ- $B$ שווה — האנך האמצעי של $AB$ · הנקודות בתוך זווית שמרחקן משתי שוקיה שווה — חוצה הזווית · הנקודות שמרחקן מהישר $\ell$ הוא $2$ — שני ישרים המקבילים ל- $\ell$ במרחק $2$ ממנו

הפתרון:

\begin{aligned}PO &= r \\ \quad PA &= PB \\ \quad PD &= PE \\ \quad PH &= d\end{aligned}

ארבע התכונות וארבעת המקומות

המלכודת: המרחק מישר נותן שני ישרים — אחד מכל צד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$G$ מרכז הכובד של המשולש $ABC$ , ו- $BE$ תיכון. נתון $BG = 10$ .

$GE =$ ____, ו- $BE =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $GE =$ 5, ו- $BE =$ 15

הפתרון:

\begin{aligned}GE &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

$BG = 2 \cdot GE$

\begin{aligned}BE &= 10 + 5 \\ &= 15\end{aligned}

$GE = 5$ , $BE = 15$ . המלכודת: $GE = 20$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נכון או לא נכון: שני משולשים שבהם שתי צלעות שוות בהתאמה, וזווית אחת שווה, תמיד חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 8 \\ \ BC &= BC' \\ &= 5 \\ \ \angle A &= 30^\circ\end{aligned}

בשרטוט: אותם נתונים בשני המשולשים $ABC$ ו- $ABC'$

AC \ne AC'

המשולשים שונים — הזווית מול הצלע הקטנה

לא נכון. זה נכון רק כשהזווית כלואה (צ.ז.צ) או מול הצלע הגדולה (צ.צ.ז).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש ישר זווית אורכי הצלעות $6$ , $8$ ו- $10$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום בו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24 \\ \quad P &= 24\end{aligned}

שטח והיקף

\begin{aligned}r &= \frac{2S}{P} \\ &= \frac{48}{24} \\ &= 2\end{aligned}

$r = 2$ . המלכודת: $r = \frac{S}{P} = 1$ — שכחו את הכפל ב-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev