סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סדרה 2 מחברת שני כלים בכל תרגיל: מקום גאומטרי ופיתגורס, מרכז המעגל החוסם ומשוואה, מרכז הכובד והתיכון ליתר, ועוד הוכחה אחת מלאה של חוצה הזווית.

לפני שמחשבים, כתבו איזה משפט אתם עומדים להפעיל. שמונה נכונות ומעלה — עברו לסדרה 3.

תרגילים

תרגיל 1

ABPDEC

הנקודה PP על חוצה הזווית BACBAC. PD⊥ABPD \perp AB ו-PE⊥ACPE \perp AC. נתון AD=15AD = 15 ו-AP=17AP = 17. מצאו את PEPE.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

PD=172−152=8\begin{aligned}PD &= \sqrt{17^2 - 15^2} \\ &= 8\end{aligned}

פיתגורס במשולש APDAPD

PE=PD=8\begin{aligned}PE &= PD \\ &= 8\end{aligned}

נקודה על חוצה זווית שווה מרחק משוקי הזווית

PE=8PE = 8. המלכודת: לחשב את AEAE במקום את PEPE — AE=15AE = 15, ו-PEPE הוא המרחק מהשוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCDO

במשולש ABCABC נתון AB=AC=25AB = AC = 25 ו-BC=14BC = 14. מצאו את רדיוס המעגל החוסם (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.02

הפתרון:

AD=252−72=576=24\begin{aligned}AD &= \sqrt{25^2 - 7^2} \\ &= \sqrt{576} \\ &= 24\end{aligned}

הגובה לבסיס

R2=72+(24−R)2R^2 = 7^2 + (24 - R)^2

פיתגורס במשולש ODBODB

0=49+576−48R⇒R=62548≈13.02\begin{aligned}0 &= 49 + 576 - 48R \Rightarrow R \\ &= \frac{625}{48} \approx 13.02\end{aligned}

R≈13.02R \approx 13.02. המלכודת: R=12R = 12, חצי הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCI

אורכי צלעות המשולש ABCABC הם AB=9AB = 9, BC=10BC = 10 ו-CA=17CA = 17, ושטחו 3636. מצאו את רדיוס המעגל החסום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

P=9+10+17=36\begin{aligned}P &= 9 + 10 + 17 \\ &= 36\end{aligned}

היקף

r=2⋅3636=2\begin{aligned}r &= \frac{2 \cdot 36}{36} \\ &= 2\end{aligned}

r=2SPr = \frac{2S}{P}

r=2r = 2. המלכודת: לבלבל בין השטח להיקף כשהם יוצאים אותו מספר — כאן הכפל ב-2 הוא ההבדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCG

קודקודי המשולש הם A(−2,1)A(-2,1), B(4,−3)B(4,-3) ו-C(1,8)C(1,8). מהו מרכז הכובד?

  1. (3,6)(3, 6)
  2. (2.5,2.5)(2.5, 2.5)
  3. (1.5,3)(1.5, 3)
  4. (1,2)(1, 2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (1,2)(1, 2)

הפתרון:

xG=−2+4+13=1\begin{aligned}x_G &= \frac{-2 + 4 + 1}{3} \\ &= 1\end{aligned}
yG=1−3+83=2\begin{aligned}y_G &= \frac{1 - 3 + 8}{3} \\ &= 2\end{aligned}

התשובה: (1,2)(1, 2). (3,6)(3,6) הוא הסכום, (1.5,3)(1.5, 3) חלוקה ב-2, ו-(2.5,2.5)(2.5, 2.5) אמצע BCBC. המלכודת: לאבד את הסימן של −3-3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCPDE

הנקודה PP על חוצה הזווית BACBAC. PD⊥ABPD \perp AB ו-PE⊥ACPE \perp AC. הוכיחו כי PD=PEPD = PE.

  • ∠DAP=∠EAP\angle DAP = \angle EAP
  • PD⊥ABPD \perp AB, PE⊥ACPE \perp AC

PD=PEPD = PE

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠DAP=∠EAP\angle DAP = \angle EAP — נתון — APAP חוצה זווית
  2. ∠ADP=∠AEP=90∘\angle ADP = \angle AEP = 90^\circ — נתון — אנכים
  3. ∠APD=∠APE\angle APD = \angle APE — סכום הזוויות במשולש 180∘180^\circ
  4. AP=APAP = AP — צלע משותפת
  5. △ADP≅△AEP\triangle ADP \cong \triangle AEP — ז.צ.ז
  6. PD=PEPD = PE — במשולשים חופפים מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

הפתרון:

∠DAP=∠EAP\angle DAP = \angle EAP

נתון — APAP חוצה זווית

∠ADP=∠AEP=90∘\begin{aligned}\angle ADP &= \angle AEP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נתון — אנכים

∠APD=∠APE\angle APD = \angle APE

סכום הזוויות במשולש 180∘180^\circ

AP=APAP = AP

צלע משותפת

△ADP≅△AEP\triangle ADP \cong \triangle AEP

ז.צ.ז

PD=PEPD = PE

במשולשים חופפים מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

זה כיוון (א) של חוצה הזווית. המלכודת: לכתוב ז.צ.ז עם הזווית הישרה — היא אינה ליד APAP; לכן מחשבים קודם את הזווית ב-PP.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD

האם ייתכן משולש שבו נקודת המפגש של הגבהים היא אחד הקודקודים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∠C=90∘\angle C = 90^\circ

במשולש ישר זווית

AC⊥BCAC \perp BC

כל ניצב הוא הגובה לניצב האחר, ושניהם יוצאים מ-CC

כן: בכל משולש ישר זווית הגבהים נפגשים בקודקוד הזווית הישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCMG

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=8AC = 8 ו-BC=6BC = 6. GG מרכז הכובד. מצאו את CGCG (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.33

הפתרון:

AB=10CM=5\begin{aligned}AB &= 10 \\ \quad CM &= 5\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

CG=23⋅5=103≈3.33\begin{aligned}CG &= \frac{2}{3} \cdot 5 \\ &= \frac{10}{3} \approx 3.33\end{aligned}

CG≈3.33CG \approx 3.33. המלכודת: 13⋅5\frac{1}{3} \cdot 5 — מ-CC נמדד החלק הגדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו את השלשות: אילו יכולות להיות אורכי הצלעות של △ABC\triangle ABC שבו ∠C=90∘\angle C = 90^\circ?

  • ישר זווית
  • לא ישר זווית
  • 1,1,21, 1, \sqrt{2}
  • 10,10,1510, 10, 15
  • 11,60,6111, 60, 61
  • 12,13,1712, 13, 17
  • 2,5,32, \sqrt{5}, 3
  • 20,21,2920, 21, 29
  • 6,8,116, 8, 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20,21,2920, 21, 29 — ישר זווית · 11,60,6111, 60, 61 — ישר זווית · 2,5,32, \sqrt{5}, 3 — ישר זווית · 1,1,21, 1, \sqrt{2} — ישר זווית · 12,13,1712, 13, 17 — לא ישר זווית · 6,8,116, 8, 11 — לא ישר זווית · 10,10,1510, 10, 15 — לא ישר זווית

הפתרון:

4+5=91+1=2\begin{aligned}4 + 5 &= 9 \\ \quad 1 + 1 &= 2\end{aligned}

גם שורשים יכולים לתת משולש ישר זווית

144+169=313≠289144 + 169 = 313 \ne 289

ב-12,13,1712, 13, 17 לא מתקיים

בכל שלשה בודקים את הצלע הגדולה בתפקיד היתר. המלכודת: לפסול שלשה רק כי יש בה שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCO

במשולש ABCABC הזווית BB ישרה, AB=10AB = 10 ו-BC=24BC = 24. תלמיד חישב את רדיוס המעגל החוסם. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

AC2=102+242=676\begin{aligned}AC^2 &= 10^2 + 24^2 \\ &= 676\end{aligned}
AC=26AC = 26
O אמצע ACO \text{ אמצע } AC
R=AC=26\begin{aligned}R &= AC \\ &= 26\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: R=AC=26R = AC = 26 → R=AC2=13R = \frac{AC}{2} = 13

הפתרון:

R=OA=AC2\begin{aligned}R &= OA \\ &= \frac{AC}{2}\end{aligned}

המרכז באמצע היתר, והרדיוס הוא חצי ממנו

R=13R = 13. המלכודת: לזהות נכון את המרכז ואז לקחת את כל היתר כרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABC

במשולשים ABCABC ו-DEFDEF נתון AB=DE=11AB = DE = 11, BC=EF=7BC = EF = 7 ו-∠A=∠D\angle A = \angle D. מה אפשר להסיק?

  1. המשולשים בוודאות אינם חופפים
  2. המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ
  3. לא ניתן לקבוע אם המשולשים חופפים
  4. המשולשים חופפים לפי צ.צ.ז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא ניתן לקבוע אם המשולשים חופפים

הפתרון:

∠A מול BC=7\angle A \text{ מול } BC = 7

הזווית נמצאת מול הצלע הקטנה

7<117 < 11

צ.צ.ז דורש את הזווית מול הגדולה — לא חל

התשובה: «לא ניתן לקבוע». ייתכן שהם חופפים וייתכן שלא. המלכודת: «בוודאות אינם חופפים» — אי אפשר להסיק גם את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת