סדרה 3 — מאתגר · מקומות גאומטריים ומשפט חפיפה רביעי · כיתה י׳

סדרה 3 שואלת שאלות שבהן צריך לבחור את הכלי: חיתוך של שני מקומות גאומטריים, מרכז המעגל החוסם בתוך משוואה, תיכונים מאונכים, המקרה הדו-משמעי של שתי צלעות וזווית, ושתי הוכחות מלאות.

בכל שאלה של «כמה» — חשבו אם יש יותר מפתרון אחד. שבע נכונות ומעלה — עברו לסדרה 4.

תרגילים

תרגיל 1

נתון קטע $AB = 8$ . מחפשים נקודות שמרחקן מ- $A$ שווה למרחקן מ- $B$ , וגם מרחקן מ- $A$ שווה ל- $5$ .

יש ____ נקודות כאלה, והמרחק ביניהן הוא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: יש 2 נקודות כאלה, והמרחק ביניהן הוא 6

הפתרון:

PA = PB

התנאי הראשון: $P$ על האנך האמצעי של $AB$

PA = 5

התנאי השני: $P$ על מעגל שמרכזו $A$ ורדיוסו $5$

\begin{aligned}PM &= \sqrt{5^2 - 4^2} \\ &= 3\end{aligned}

שתי נקודות על האנך, $3$ מעל $M$ ו- $3$ מתחתיו

3 + 3 = 6

שתי נקודות, במרחק $6$ זו מזו. המלכודת: למצוא רק את הנקודה שמעל הקטע. נקודה שעונה על שני תנאים נמצאת בחיתוך של שני מקומות גאומטריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 13$ ו- $BC = 10$ . $O$ מרכז המעגל החוסם. מצאו את המרחק של $O$ מהצלע $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.96

הפתרון:

\begin{aligned}AD &= \sqrt{169 - 25} \\ &= 12\end{aligned}

הגובה, שעליו נמצא $O$

\begin{aligned}R^2 &= 25 + (12 - R)^2 \Rightarrow R \\ &= \frac{169}{24}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ODB$

\begin{aligned}OD &= 12 - \frac{169}{24} \\ &= \frac{119}{24} \approx 4.96\end{aligned}

$OD \approx 4.96$ . המלכודת: לענות $R$ — השאלה שואלת על המרחק מהבסיס, $12 - R$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC$ , ו- $O$ מרכז המעגל החוסם אותו. הוכיחו כי הישר $AO$ הוא האנך האמצעי של $BC$ .

$AB = AC$
$O$ מרכז המעגל החוסם

$AO$ הוא האנך האמצעי של $BC$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = AC$ — נתון
$OB = OC$ — רדיוסים במעגל החוסם
$A$ על האנך האמצעי של $BC$ — נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו
$O$ על האנך האמצעי של $BC$ — נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו
$AO$ הוא האנך האמצעי של $BC$ — דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד

הפתרון:

AB = AC

נתון

OB = OC

רדיוסים במעגל החוסם

\Rightarrow

$A$ על האנך האמצעי של $BC$ — נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו

\Rightarrow

$O$ על האנך האמצעי של $BC$ — נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו

\Rightarrow

$AO$ הוא האנך האמצעי של $BC$ — דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד

כיוון (ב) של האנך האמצעי, פעמיים. המלכודת: להניח ש- $AO$ מאונך ל- $BC$ ואז להוכיח שהוא עובר באמצע — ההנחה עצמה צריכה הוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ התיכונים $AD = 15$ ו- $BE = 12$ מאונכים זה לזה, ונחתכים ב- $G$ . מצאו את $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.81

הפתרון:

\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} \cdot 15 \\ &= 10 \\ \quad BG &= \frac{2}{3} \cdot 12 \\ &= 8\end{aligned}

יחס $2:1$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{10^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{164} \approx 12.81\end{aligned}

פיתגורס במשולש $AGB$ , הזווית ב- $G$ ישרה

$AB = \sqrt{164} \approx 12.81$ . המלכודת: $\sqrt{15^2 + 12^2}$ — הזווית הישרה ב- $G$ , ולכן משתמשים רק בחלקים שמ- $G$ לקודקודים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: אם מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש הם אותה נקודה $O$ , המשולש שווה צלעות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= OB \Rightarrow \angle OAB \\ &= \angle OBA\end{aligned}

$O$ מרכז החוסם: המשולש $OAB$ שווה שוקיים

\tfrac{1}{2}\angle A = \tfrac{1}{2}\angle B

$O$ מרכז החסום: $AO$ ו- $BO$ חוצי זוויות

\begin{aligned}\angle A &= \angle B \\ &= \angle C\end{aligned}

אותו טיעון על $B$ ו- $C$ — כל הזוויות שוות

נכון. המלכודת: להסתפק בדוגמה של משולש שווה צלעות — «הוכיחו» דורש טיעון לכל משולש שבו המרכזים מתלכדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה ל- $8$ , ורדיוס המעגל החסום $3$ . מצאו את הניצב השני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\frac{8b}{2} = \frac{3(8 + b + c)}{2}

השטח בשתי דרכים: ניצבים, ו- $\frac{rP}{2}$

3c = 5b - 24

מסדרים

\begin{aligned}9(64 + b^2) &= (5b - 24)^2 \Rightarrow 16b^2 \\ &= 240b\end{aligned}

מציבים $c^2 = 64 + b^2$ ומעלים בריבוע

\begin{aligned}b &= 15 \\ \quad c &= 17\end{aligned}

בדיקה: $\frac{2 \cdot 60}{40} = 3$

$b = 15$ . המלכודת: אחרי העלאה בריבוע חובה לבדוק — $c = \frac{5b - 24}{3}$ חייב לצאת חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון $AB = 6$ , $AC = 10$ ו- $\angle B = 50^\circ$ . כמה משולשים $ABC$ שאינם חופפים זה לזה מקיימים את הנתונים?

משולש אחד בדיוק
אין משולש כזה
שני משולשים
אינסוף משולשים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א משולש אחד בדיוק

הפתרון:

\angle B \text{ מול } AC = 10

הזווית מול הצלע הגדולה מבין השתיים

10 > 6 \Rightarrow \text{צ.צ.ז}

כל שני משולשים כאלה חופפים — ולכן יש אחד

התשובה: «משולש אחד בדיוק». המלכודת: «שני משולשים» — המקרה הדו-משמעי קורה רק כשהזווית מול הצלע הקטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $BC = 6$ ו- $\angle A = 30^\circ$ . יש שני משולשים כאלה. מצאו את ההפרש בין שני האורכים האפשריים של $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.63

הפתרון:

\begin{aligned}BH &= 5 \\ \quad AH &= 5\sqrt{3}\end{aligned}

$BH$ גובה; הניצב מול $30^\circ$ שווה למחצית היתר

\begin{aligned}HC &= \sqrt{36 - 25} \\ &= \sqrt{11}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $BHC$

AC = 5\sqrt{3} \pm \sqrt{11}

שני מקומות ל- $C$ , מכל צד של $H$

(5\sqrt{3} + \sqrt{11}) - (5\sqrt{3} - \sqrt{11}) = 2\sqrt{11} \approx 6.63

ההפרש $2\sqrt{11} \approx 6.63$ . המלכודת: למצוא רק את $AC$ הארוך — הזווית מול הצלע הקטנה, ולכן שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אורכי הצלעות של משולש ישר זווית הם $a - 7$ , $a$ ו- $a + 1$ . מצאו את $a$ ואת שטח המשולש.

$a =$ ____, ושטח המשולש ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a =$ 12, ושטח המשולש 30

הפתרון:

(a - 7)^2 + a^2 = (a + 1)^2

הצלע הגדולה, $a + 1$ , היא היתר

\begin{aligned}a^2 - 16a + 48 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 4 \ \text{או} \ a \\ &= 12\end{aligned}

a = 4 \Rightarrow a - 7 < 0

נפסל — אורך שלילי

\begin{aligned}5 \\ 12 \\ 13: \quad S &= \frac{5 \cdot 12}{2} \\ &= 30\end{aligned}

$a = 12$ , $S = 30$ . המלכודת: להשאיר את $a = 4$ — שני פתרונות למשוואה, פתרון אחד למשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במרובע $ABCD$ הזוויות $B$ ו- $D$ ישרות, ו- $AB = AD$ . הוכיחו כי האלכסון $AC$ חוצה את הזווית $BAD$ .

$\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$
$AB = AD$

$AC$ חוצה את $\angle BAD$

להציג את התשובה והפתרון

$AC = AC$ — צלע משותפת
$AB = AD$ — נתון
$\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$ — נתון
$AC$ הצלע הגדולה במשולשים $ABC$ ו- $ADC$ — במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$ — צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
$\angle BAC = \angle DAC$ — במשולשים חופפים מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
$AC$ חוצה את $\angle BAD$ — הגדרת חוצה זווית

הפתרון:

AC = AC

צלע משותפת

AB = AD

נתון

\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נתון

\Rightarrow

$AC$ הצלע הגדולה במשולשים $ABC$ ו- $ADC$ — במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה

\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

\angle BAC = \angle DAC

במשולשים חופפים מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

\Rightarrow

$AC$ חוצה את $\angle BAD$ — הגדרת חוצה זווית

היתר המשותף והניצב השווה מספיקים. המלכודת: צ.ז.צ — הזווית הישרה אינה בין $AC$ ל- $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev