סדרה 4 — מתקדם · מקומות גאומטריים ומשפט חפיפה רביעי · כיתה י׳

סדרה 4 מערבבת את כל הנושאים בשאלות של שני שלבים ויותר: שני מקומות גאומטריים שנחתכים, מרכז הכובד ומרכז המעגל החוסם על אותו תיכון, תנאי קיום של שני משולשים, ושתי הוכחות שבונות משפט מתוך מקום גאומטרי.

כאן כדאי לשרטט לבד לפני שמסתכלים בשרטוט: מה שנראה ברור בשרטוט הנתון לא תמיד כתוב בנתונים. שש נכונות ומעלה — עברו לסדרה 5.

תרגילים

תרגיל 1

הישרים $k$ ו- $m$ מקבילים, והמרחק ביניהם $10$ . הנקודה $A$ על הישר $k$ . מחפשים נקודות שמרחקן מ- $k$ שווה למרחקן מ- $m$ , ומרחקן מ- $A$ שווה ל- $13$ .

יש ____ נקודות כאלה, והמרחק ביניהן ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: יש 2 נקודות כאלה, והמרחק ביניהן 24

הפתרון:

\begin{aligned}d(P, k) &= d(P, m) \\ &= 5\end{aligned}

המקום הראשון: ישר האמצע, במרחק $5$ מ- $k$

PA = 13

המקום השני: מעגל שמרכזו $A$

\sqrt{13^2 - 5^2} = 12

כל נקודה נמצאת $12$ ימינה או שמאלה מהאנך מ- $A$

12 + 12 = 24

שתי נקודות, במרחק $24$ . המלכודת: למדוד $13$ לאורך ישר האמצע עצמו, במקום לחשב את ההיטל $12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ , $I$ היא נקודת החיתוך של חוצה הזווית $A$ וחוצה הזווית $B$ . הוכיחו כי $I$ נמצאת על חוצה הזווית $C$ .

$AI$ חוצה את $\angle A$
$BI$ חוצה את $\angle B$

$I$ על חוצה הזווית $C$

להציג את התשובה והפתרון

$I$ במרחק שווה מ- $AB$ ומ- $AC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית
$I$ במרחק שווה מ- $BA$ ומ- $BC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית
$I$ במרחק שווה מ- $CA$ ומ- $CB$ — כלל המעבר
$I$ בתוך הזווית $C$ — חוצי הזוויות $A$ ו- $B$ עוברים בתוך המשולש, ולכן גם נקודת החיתוך שלהם
$I$ על חוצה הזווית $C$ — נקודה בתוך זווית שמרחקה משוקי הזווית שווה נמצאת על חוצה הזווית

הפתרון:

\Rightarrow

$I$ במרחק שווה מ- $AB$ ומ- $AC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית

\Rightarrow

$I$ במרחק שווה מ- $BA$ ומ- $BC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית

\Rightarrow

$I$ במרחק שווה מ- $CA$ ומ- $CB$ — כלל המעבר

\Rightarrow

$I$ בתוך הזווית $C$ — חוצי הזוויות $A$ ו- $B$ עוברים בתוך המשולש, ולכן גם נקודת החיתוך שלהם

\Rightarrow

$I$ על חוצה הזווית $C$ — נקודה בתוך זווית שמרחקה משוקי הזווית שווה נמצאת על חוצה הזווית

שני כיווני המקום הגאומטרי של חוצה הזווית, והנקודה היא מרכז המעגל החסום. המלכודת: לשכוח לציין ש- $I$ בתוך הזווית $C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הוא חד זווית. $BC = 24$ ורדיוס המעגל החוסם $13$ . מצאו את $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.63

הפתרון:

\begin{aligned}OD &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ODB$ ; $O$ על האנך האמצעי של $BC$

\begin{aligned}AD &= AO + OD \\ &= 13 + 5 \\ &= 18\end{aligned}

במשולש חד זווית $O$ בתוך המשולש, בין $A$ ל- $D$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{12^2 + 18^2} \\ &= \sqrt{468} \approx 21.63\end{aligned}

$AB \approx 21.63$ . המלכודת: $AD = 13 - 5 = 8$ — זה המשולש הקהה, שבו $O$ מחוץ למשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . $O$ מרכז המעגל החוסם ו- $G$ מרכז הכובד. מצאו את $OG$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 15 \\ \quad O \text{ אמצע } AB\end{aligned}

מרכז המעגל החוסם באמצע היתר

CO = 7.5

התיכון ליתר

\begin{aligned}G \in CO \\ \quad GO &= \frac{1}{3} \cdot 7.5 \\ &= 2.5\end{aligned}

מרכז הכובד על אותו תיכון, שליש ממנו ליד הצלע

$OG = 2.5$ . המלכודת: $\frac{2}{3} \cdot 7.5 = 5$ — זה $CG$ , מהקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: אם מרכז הכובד של משולש $ABC$ נמצא על הגובה מ- $A$ , אז $AB = AC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

G \in AD

הישר $AG$ הוא התיכון מ- $A$ , כי $G$ על כל תיכון

\begin{aligned}AD \perp BC \\ \quad BD &= DC\end{aligned}

אותו ישר הוא גם הגובה — אז הוא האנך האמצעי של $BC$

\Rightarrow AB = AC

$A$ על האנך האמצעי של $BC$ — כיוון (א)

נכון. המלכודת: לחשוב שכל ישר דרך $A$ ו- $G$ הוא רק גובה — הוא בו בזמן גם התיכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אורכי צלעות המשולש $7$ , $24$ ו- $25$ . מהם רדיוס המעגל החסום $r$ ורדיוס המעגל החוסם $R$ ?

$r = 6$ , $R = 25$
$r = 3$ , $R = 25$
$r = 12.5$ , $R = 3$
$r = 3$ , $R = 12.5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $r = 3$ , $R = 12.5$

הפתרון:

7^2 + 24^2 = 25^2

ישר זווית, לפי פיתגורס ההפוך

\begin{aligned}R &= \frac{25}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

חצי היתר

\begin{aligned}r &= \frac{2 \cdot 84}{56} \\ &= 3\end{aligned}

$S = \frac{7 \cdot 24}{2} = 84$ , $P = 56$

התשובה: « $r = 3$ , $R = 12.5$ ». המלכודות: $R = 25$ שוכח את החצי, $r = 6$ שוכח את החלוקה ב-2 של השטח, והאחרונה מחליפה בין החסום לחוסם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון $\angle A = 30^\circ$ ו- $AB = 12$ . מה האורך השלם הקטן ביותר של $BC$ שעבורו יש שני משולשים $ABC$ שאינם חופפים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}BH &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

המרחק מ- $B$ לשוק השנייה

BC = 6

משולש אחד — ישר זווית

6 < BC < 12

שני משולשים: הזווית מול הצלע הקטנה, והמעגל חותך את השוק פעמיים

BC = 7

השלם הקטן ביותר בתחום

$BC = 7$ . המלכודת: $BC = 6$ — שם המעגל רק נוגע בשוק ונותן משולש אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

קודקודי המשולש $A(2,5)$ , $B(8,1)$ , $C(-1,3)$ . תלמיד מצא את מרכז הכובד דרך התיכון $AD$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}D &= \left( \frac{8 - 1}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) \\ &= (3.5, 2)\end{aligned}

G = A + \tfrac{2}{3}(D - A)

D - A = (1.5, -3)

\begin{aligned}G &= (2, 5) + (1, -2) \\ &= (3, 4)\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $G = (2, 5) + (1, -2) = (3, 4)$ → $G = (2, 5) + (1, -2) = (3, 3)$

הפתרון:

\tfrac{2}{3}(1.5, -3) = (1, -2)

נכון

5 + (-2) = 3

השיעור השני

\begin{aligned}\frac{2 + 8 - 1}{3} &= 3 \\ \quad \frac{5 + 1 + 3}{3} &= 3\end{aligned}

בדיקה בנוסחת הממוצע

$G = (3,3)$ . השיטה נכונה, והטעות בחיבור האחרון. המלכודת: לא לבדוק — נוסחת הממוצע תופסת טעות כזאת בשנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במרובע $ABCD$ נתון $AB = 36$ , $BC = 77$ , $CD = 40$ , $DA = 75$ והאלכסון $AC = 85$ . מצאו את שטח המרובע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2886

הפתרון:

\begin{aligned}36^2 + 77^2 &= 1296 + 5929 \\ &= 7225 \\ &= 85^2\end{aligned}

$\angle B = 90^\circ$

\begin{aligned}40^2 + 75^2 &= 1600 + 5625 \\ &= 7225 \\ &= 85^2\end{aligned}

$\angle D = 90^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{36 \cdot 77}{2} + \frac{40 \cdot 75}{2} \\ &= 1386 + 1500 \\ &= 2886\end{aligned}

$S = 2886$ . המלכודת: לחבר את אורכי הצלעות בזוגות בלי לבדוק איזו זווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. $M$ אמצע היתר $AB$ , ו- $K$ אמצע הניצב $AC$ . הוכיחו כי $MA = MC$ .

$\angle ACB = 90^\circ$
$M$ אמצע $AB$ , $K$ אמצע $AC$

$MA = MC$

להציג את התשובה והפתרון

$MK \parallel BC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$BC \perp AC$ — נתון — הזווית $C$ ישרה
$MK \perp AC$ — ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני
$MK$ הוא האנך האמצעי של $AC$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו
$MA = MC$ — כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

הפתרון:

MK \parallel BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית

BC \perp AC

נתון — הזווית $C$ ישרה

MK \perp AC

ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני

\Rightarrow

$MK$ הוא האנך האמצעי של $AC$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו

MA = MC

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

כך מוכיחים שהתיכון ליתר שווה למחצית היתר — דרך מקום גאומטרי. המלכודת: לצטט את המשפט עצמו כנימוק, כשהוא מה שמוכיחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev