סדרה 5 — לקראת הבגרות · מקומות גאומטריים ומשפט חפיפה רביעי · כיתה י׳

סדרה 5 בנויה כמו שאלות הבגרות: הוכחות של כמה שורות, «הוכיחו או הפריכו», חישובים שדורשים שני משפטים ברצף, ושאלה אחת שמשלימה את ההוכחה שהגבהים נפגשים בנקודה אחת.

בכל «הוכיחו» כתבו טענה ונימוק לכל שורה, ובכל «הפריכו» — דוגמה נגדית עם מספרים. חמש נכונות ומעלה כאן זו כבר רמת בגרות.

תרגילים

תרגיל 1

דרך כל קודקוד של המשולש $ABC$ מעבירים ישר המקביל לצלע שמולו, ונוצר המשולש $PQR$ ( $A$ על $QR$ ). $AD$ הגובה לצלע $BC$ . הוכיחו כי $AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$ .

$QR \parallel BC$ , $RP \parallel AC$ , $PQ \parallel AB$
$AD \perp BC$

$AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$

להציג את התשובה והפתרון

$ABCQ$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים
$ACBR$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים
$AQ = BC$ — במקבילית צלעות נגדיות שוות
$AR = BC$ — במקבילית צלעות נגדיות שוות
$AQ = AR$ — כלל המעבר
$AD \perp BC$ — נתון — גובה
$AD \perp QR$ — ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני
$AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו

הפתרון:

\Rightarrow

$ABCQ$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים

\Rightarrow

$ACBR$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים

AQ = BC

במקבילית צלעות נגדיות שוות

AR = BC

במקבילית צלעות נגדיות שוות

AQ = AR

כלל המעבר

AD \perp BC

נתון — גובה

AD \perp QR

ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני

\Rightarrow

$AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו

כך כל גובה של $ABC$ הוא אנך אמצעי של $PQR$ , והאנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת — לכן גם הגבהים. המלכודת: לסמן את הישר $QR$ כמקביל ל- $AC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

קודקודי המשולש $A(0,0)$ , $B(8,0)$ ו- $C(2,6)$ . מצאו את מרכז המעגל החוסם $O$ .

$O =$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $O =$ ( 4 , 2 )

הפתרון:

x_O = 4

האנך האמצעי של $AB$ הוא הישר $x = 4$

\begin{aligned}OA^2 &= OC^2: \ 16 + y^2 \\ &= 4 + (y - 6)^2\end{aligned}

כיוון (א) — $O$ שווה מרחק מ- $A$ ומ- $C$

\begin{aligned}16 &= 40 - 12y \Rightarrow y \\ &= 2\end{aligned}

$O(4, 2)$ , ובדיקה: $OA^2 = OB^2 = OC^2 = 20$ . המלכודת: לקחת את מרכז הכובד $(\frac{10}{3}, 2)$ — שיעור ה- $y$ יוצא אותו דבר, אבל ה- $x$ לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $AD$ התיכון לצלע $BC$ ו- $G$ מרכז הכובד. מצאו את $AG$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.81

הפתרון:

CD = 4

$D$ אמצע $BC$

\begin{aligned}AD &= \sqrt{6^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{52}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ACD$

AG = \frac{2}{3}\sqrt{52} \approx 4.81

$AG \approx 4.81$ . המלכודת: לחשב את התיכון ליתר, $5$ — השאלה על התיכון לניצב $BC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: אם במשולש $ABC$ התיכון $AD$ שווה למחצית הצלע $BC$ , אז $\angle BAC = 90^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}DA &= DB \\ &= DC\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$ ו- $AD = \frac{1}{2}BC$

\begin{aligned}\angle DAB &= \angle B \\ \quad \angle DAC &= \angle C\end{aligned}

שני משולשים שווי שוקיים

\begin{aligned}2(\angle B + \angle C) &= 180^\circ \Rightarrow \angle BAC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABC$

נכון — זה המשפט ההפוך לתיכון ליתר. המלכודת: לענות «לא» כי המשפט הישר כבר מוכר; משפט הפוך צריך הוכחה משלו, וכאן היא מצליחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ נתון $AB = 16$ , $BC = 10$ ו- $\angle A = 30^\circ$ . יש שני משולשים כאלה. מצאו את האורך הגדול מבין שני האורכים האפשריים של $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19.86

הפתרון:

\begin{aligned}BH &= 8 \\ \quad AH &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

$BH$ גובה לשוק $AC$ ; הניצב מול $30^\circ$ שווה למחצית היתר

\begin{aligned}HC &= \sqrt{100 - 64} \\ &= 6\end{aligned}

פיתגורס במשולש $BHC$

AC = 8\sqrt{3} + 6 \approx 19.86 \quad \text{או} \quad 8\sqrt{3} - 6 \approx 7.86

שני הפתרונות

$AC \approx 19.86$ . המלכודת: לחשוב שיש פתרון אחד — $10 < 16$ , הזווית מול הצלע הקטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 20$ ו- $BC = 24$ . $O$ מרכז המעגל החוסם ו- $I$ מרכז המעגל החסום. מהו המרחק $OI$ ?

$3.5$
$9.5$
$6.5$
$2.5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $2.5$

הפתרון:

\begin{aligned}AD &= \sqrt{400 - 144} \\ &= 16\end{aligned}

הגובה — שני המרכזים עליו

\begin{aligned}R^2 &= 144 + (16 - R)^2 \Rightarrow R \\ &= 12.5 \\ \quad OD &= 3.5\end{aligned}

מרכז המעגל החוסם

\begin{aligned}r &= \frac{2 \cdot 192}{64} \\ &= 6 \Rightarrow ID \\ &= 6\end{aligned}

מרכז המעגל החסום במרחק $r$ מהבסיס

\begin{aligned}OI &= 6 - 3.5 \\ &= 2.5\end{aligned}

שני המרכזים מעל הבסיס, $I$ גבוה יותר

התשובה: $2.5$ . המלכודות: $3.5$ הוא $OD$ בלבד, $6.5 = R - r$ מחסר רדיוסים במקום מרחקים מהבסיס, ו- $9.5 = OD + ID$ מניח שהם משני צדי הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במרובע $ABCD$ הזוויות $B$ ו- $D$ ישרות, ו- $AB = CD$ . הוכיחו כי $ABCD$ מלבן.

$\angle B = \angle D = 90^\circ$
$AB = CD$

$ABCD$ מלבן

להציג את התשובה והפתרון

$AC = CA$ — צלע משותפת
$AB = CD$ — נתון
$\angle B = \angle D = 90^\circ$ — נתון
$AC$ הצלע הגדולה במשולשים $ABC$ ו- $CDA$ — במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה
$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
$BC = DA$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
$ABCD$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות שווים
$ABCD$ מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה

הפתרון:

AC = CA

צלע משותפת

AB = CD

נתון

\begin{aligned}\angle B &= \angle D \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נתון

\Rightarrow

$AC$ הצלע הגדולה במשולשים $ABC$ ו- $CDA$ — במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה

\triangle ABC \cong \triangle CDA

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

BC = DA

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

\Rightarrow

$ABCD$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות שווים

\Rightarrow

$ABCD$ מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה

המלכודת: להתאים את $AB$ ל- $AD$ — ההתאמה הנכונה $AB \leftrightarrow CD$ , ולכן המשולש השני נכתב $CDA$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונות הנקודות $A(1,1)$ , $B(4,5)$ ו- $C(9,-5)$ . הוכיחו בעזרת משפט פיתגורס ההפוך שהמשולש $ABC$ ישר זווית, וחשבו את שטחו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}AB^2 &= 9 + 16 \\ &= 25 \\ \quad AC^2 &= 64 + 36 \\ &= 100\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC^2 &= 25 + 100 \\ &= 125 \\ &= AB^2 + AC^2\end{aligned}

פיתגורס ההפוך: $\angle A = 90^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 10}{2} \\ &= 25\end{aligned}

$S = 25$ . המלכודת: לחשב $\frac{AB \cdot BC}{2}$ — הזווית הישרה ב- $A$ , מול הצלע הגדולה $BC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ , $G$ מרכז הכובד ו- $AD$ תיכון. נתון $AG = 3x - 2$ ו- $GD = x + 1$ .

$x =$ ____, ואורך התיכון $AD =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 4, ואורך התיכון $AD =$ 15

הפתרון:

3x - 2 = 2(x + 1)

$AG = 2 \cdot GD$

x = 4

\begin{aligned}AD &= 10 + 5 \\ &= 15\end{aligned}

$AG = 10$ , $GD = 5$

$x = 4$ , $AD = 15$ . המלכודת: $2(3x - 2) = x + 1$ — להכפיל את הקטע הלא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האם ייתכן שמרכז המעגל החוסם משולש נמצא על אחת מצלעותיו, אבל לא באמצעה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}O \in AB \\ \quad OA &= OB\end{aligned}

$O$ מרכז המעגל החוסם

\Rightarrow O \text{ אמצע } AB

נקודה על קטע שרחוקה באותה מידה משני קצותיו היא אמצעו

לא ייתכן. אם $O$ על צלע, הוא אמצעה — והמשולש ישר זווית, עם הצלע הזאת כיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev