תרגול · מקומות גאומטריים ומשפט חפיפה רביעי · כיתה י׳

עשרה תרגילים על כל הפרק: ארבעת המקומות הגאומטריים, מרכז המעגל החוסם והחסום, מרכז הכובד והיחס $2:1$ , משפט החפיפה הרביעי ומשפט פיתגורס ההפוך. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

הנקודה $P$ נמצאת על האנך האמצעי של הקטע $AB$ , ו- $M$ אמצע הקטע. נתון $AB = 16$ ו- $PM = 15$ . מצאו את $PA$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

\begin{aligned}AM &= 8 \\ \quad PM \perp AB\end{aligned}

$M$ אמצע, והאנך האמצעי מאונך לקטע

\begin{aligned}PA &= \sqrt{8^2 + 15^2} \\ &= \sqrt{289} \\ &= 17\end{aligned}

פיתגורס במשולש $PMA$

$PA = 17$ , וגם $PB = 17$ : כל נקודה על האנך האמצעי רחוקה באותה מידה מקצות הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$G$ מרכז הכובד של המשולש $ABC$ , ו- $CF$ תיכון שאורכו $27$ . מצאו את $GF$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

CG : GF = 2 : 1

מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ מהקודקוד

\begin{aligned}GF &= \frac{1}{3} \cdot 27 \\ &= 9\end{aligned}

$GF = 9$ ו- $CG = 18$ . המלכודת: $GF = 13.5$ — חצי ולא שליש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונים שני ישרים שנחתכים בנקודה $O$ . מהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן משני הישרים שווה?

ישר שעובר דרך $O$ ומאונך לאחד הישרים
מעגל שמרכזו $O$
ישר אחד — חוצה הזווית החדה בלבד
שני ישרים שחוצים את הזוויות שבין הישרים, ומאונכים זה לזה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שני ישרים שחוצים את הזוויות שבין הישרים, ומאונכים זה לזה

הפתרון:

d(P, \ell_1) = d(P, \ell_2)

נקודה שמרחקה משוקי זווית שווה נמצאת על חוצה הזווית

\begin{aligned}\alpha + \beta &= 180^\circ \Rightarrow \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שני הישרים יוצרים ארבע זוויות: שני חוצים, מאונכים

ישרים נחתכים יוצרים זוויות חדות וזוויות קהות. גם נקודה בתוך הזווית הקהה יכולה להיות במרחק שווה, ולכן יש שני חוצים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 15$ ו- $BC = 18$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש. כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.375

הפתרון:

\begin{aligned}AD &= \sqrt{15^2 - 9^2} \\ &= 12\end{aligned}

$AD$ גובה לבסיס, והוא גם האנך האמצעי של $BC$

\begin{aligned}OB &= OA \\ &= R \\ \quad OD &= 12 - R\end{aligned}

$O$ על האנך האמצעי $AD$

R^2 = 9^2 + (12 - R)^2

פיתגורס במשולש $ODB$

\begin{aligned}0 &= 81 + 144 - 24R \Rightarrow R \\ &= \frac{225}{24} \\ &= 9.375\end{aligned}

$R = 9.375$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 8$ ו- $BC = 15$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\sqrt{8^2 + 15^2} = 17

היתר

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 15}{2} \\ &= 60 \\ \quad P &= 8 + 15 + 17 \\ &= 40\end{aligned}

שטח והיקף

\begin{aligned}r &= \frac{2S}{P} \\ &= \frac{120}{40} \\ &= 3\end{aligned}

$r = 3$ . המלכודת: $\frac{S}{P} = 1.5$ — שכחו שכל משולש קטן הוא חצי בסיס כפול גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שלושה קטעים באורכים $9$ , $40$ ו- $42$ הם צלעות של משולש שאחת מזוויותיו ישרה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}9^2 + 40^2 &= 81 + 1600 \\ &= 1681\end{aligned}

סכום ריבועי שתי הצלעות הקצרות

42^2 = 1764 \neq 1681

הטענה שגויה: לפי משפט פיתגורס ההפוך, המשולש ישר זווית רק אם השוויון מתקיים. $1681 = 41^2$ — עם צלע $41$ הוא היה ישר זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בונים בית ספר אזורי בנגב, במרחק שווה משלושה יישובים $A$ , $B$ ו- $C$ . הכביש מ- $C$ ל- $A$ באורך $10$ ק״מ, הכביש מ- $C$ ל- $B$ באורך $24$ ק״מ, ושני הכבישים מאונכים זה לזה. מה יהיה המרחק מבית הספר לכל יישוב, בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC\end{aligned}

בית הספר הוא מרכז המעגל החוסם את המשולש $ABC$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{10^2 + 24^2} \\ &= 26\end{aligned}

הזווית $C$ ישרה

\begin{aligned}R &= \frac{AB}{2} \\ &= 13\end{aligned}

במשולש ישר זווית מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר

בית הספר יעמוד באמצע הקטע $AB$ , $13$ ק״מ מכל יישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $BC = 8$ ו- $\angle A = 30^\circ$ . יש שני משולשים כאלה. מצאו את האורך הקטן מבין שני האורכים האפשריים של $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.1

הפתרון:

\begin{aligned}BH &= 6 \\ \quad AH &= \sqrt{144 - 36} \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

$BH$ גובה לישר $AC$ ; הניצב מול $30^\circ$ שווה למחצית היתר

\begin{aligned}HC &= \sqrt{64 - 36} \\ &= \sqrt{28} \approx 5.29\end{aligned}

פיתגורס במשולש $BHC$

AC = 6\sqrt{3} \pm \sqrt{28} \approx 15.68 \ \text{או} \ 5.10

$C$ משני צדי $H$

$AC \approx 5.10$ . הזווית הנתונה נמצאת מול הצלע הקצרה ( $8 < 12$ ), ולכן אין חפיפה — ויש שני משולשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . $G$ מרכז הכובד של המשולש. מצאו את $CG$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{81 + 144} \\ &= 15\end{aligned}

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

$M$ אמצע היתר, והוא מרכז המעגל החוסם: $MA = MB = MC$

\begin{aligned}CG &= \frac{2}{3} \cdot 7.5 \\ &= 5\end{aligned}

$CM$ תיכון, ו- $G$ מחלק אותו ביחס $2:1$

$CG = 5$ — שליש מהיתר. שני מרכזים שונים יושבים כאן על אותו תיכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חברת תקשורת רוצה להציב אנטנה במרחק שווה משני יישובים $A$ ו- $B$ שביניהם $8$ ק״מ, וגם במרחק $5$ ק״מ בדיוק מ- $A$ . יש שתי נקודות אפשריות. מה המרחק בין שתי הנקודות, בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

PA = PB

מקום גאומטרי ראשון: האנך האמצעי של $AB$

PA = 5

מקום גאומטרי שני: מעגל שמרכזו $A$ ורדיוסו $5$

\begin{aligned}PM &= \sqrt{5^2 - 4^2} \\ &= 3\end{aligned}

$M$ אמצע $AB$ ; פיתגורס

\begin{aligned}P_1P_2 &= 3 + 3 \\ &= 6\end{aligned}

נקודה אחת מכל צד של $AB$

שתי הנקודות הן החיתוך של שני המקומות הגאומטריים, והמרחק ביניהן $6$ ק״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev