סדרה 4 — מתקדם · פרופורציה ודמיון · כיתה י׳

סדרה 4 משלבת את הפרק עם מה שכבר למדתם: מיתרים ומשיקים במעגל, מקבילית, מרכז הכובד, שטחים עם גובה משותף, ומשוואה ריבועית שנולדת מדמיון. יש כאן גם הוכחה מלאה ושאלת «האם ייתכן».

שני מקורות ליחס שטחים, ואסור לבלבל: משולשים דומים — $k^2$ ; גובה משותף — יחס הבסיסים. לפני שכותבים יחס שטחים, שאלו איזה מהשניים יש כאן.

תרגילים

תרגיל 1

במעגל נחתכים המיתרים $AB$ ו- $CD$ בנקודה $P$ . הוכיחו כי $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ .

$AB$ ו- $CD$ מיתרים באותו מעגל
$AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle CAB = \angle CDB$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
$\angle APC = \angle DPB$ — זוויות קודקודיות
$\triangle APC \sim \triangle DPB$ — משפט דמיון ז.ז
$\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$ — במשולשים דומים צלעות מתאימות פרופורציוניות
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ — כפל בהצלבה

הפתרון:

\begin{aligned}\angle CAB &= \angle CDB \\ \; \angle APC &= \angle DPB\end{aligned}

שתי זוויות

\triangle APC \sim \triangle DPB \Rightarrow \frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}

ז.ז וצלעות מתאימות

המלכודת: לכתוב את השוויון כ«משפט» בלי דמיון. בתכנית הוא תרגיל — מוכיחים אותו בכל פעם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במקבילית $ABCD$ הנקודה $E$ על הצלע $DC$ , ו- $DE : EC = 1 : 2$ . הקטע $AE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ . נתון $BD = 20$ . מצאו את $FD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}\angle FDE &= \angle FBA \\ \quad \angle DFE &= \angle BFA\end{aligned}

$DC \parallel AB$ : זוויות מתחלפות, וזוויות קודקודיות

\triangle FDE \sim \triangle FBA \Rightarrow \frac{FD}{FB} = \frac{DE}{BA}

ז.ז

\begin{aligned}\frac{DE}{BA} &= \frac{DE}{DC} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

במקבילית $AB = DC$ , ו- $DC$ הוא שלושה חלקים

\begin{aligned}FD &= \frac{1}{4} \cdot 20 \\ &= 5\end{aligned}

«חלק על שלם»: $BD = FD + FB$

$FD = 5$ . המלכודת: $\frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$ — להעתיק את היחס $DE : EC$ . מול $AB$ עומד $DC$ השלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הקטע $AM$ הוא תיכון, ו- $G$ מרכז הכובד. דרך $G$ עובר ישר המקביל ל- $BC$ , והוא חותך את $AB$ ב- $D$ ואת $AC$ ב- $E$ . נתון $BC = 18$ . מצאו את $DE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\frac{AG}{AM} = \frac{2}{3}

מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2 : 1$ מהקודקוד

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AG}{AM} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט תאלס המורחב במשולש $ABM$ ( $DG \parallel BM$ )

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט תאלס המורחב במשולש $ABC$

DE = 12

$DE = 12$ . המלכודת: $\frac{DE}{BC} = \frac{2}{1}$ או $\frac{1}{3}$ — יחס $2 : 1$ הוא «חלק על חלק»; מול צלע שלמה צריך $\frac{2}{3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ ו- $AC = 15$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). שטח המשולש $ABC$ הוא $60$ . מצאו את שטח המשולש $ABD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} &= \frac{BD}{BC} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

גובה משותף מ- $A$ — השטחים ביחס הבסיסים

\begin{aligned}S_{ABD} &= 60 \cdot \frac{2}{5} \\ &= 24\end{aligned}

$24$ . המלכודת: $60 \cdot \frac{4}{25}$ — להפעיל $k^2$ על משולשים שאינם דומים. $ABD$ ו- $ADC$ חולקים גובה, לא צורה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

האם ייתכן? במשולש $ABC$ נתון $AB = 5$ ו- $AC = 10$ . חוצה הזווית $A$ פוגש את $BC$ בנקודה $D$ , ו- $BD = 4$ , $DC = 7$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית מחייב

\frac{4}{7} \ne \frac{1}{2}

הנתונים סותרים את המשפט

לא ייתכן. אם $BC = 11$ , חוצה הזווית חייב לחלק אותה ל- $\frac{11}{3}$ ו- $\frac{22}{3}$ . המלכודת: לבדוק רק את אי-שוויון המשולש ( $5 + 10 > 11$ ) ולענות «כן».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle ACB$ . נתון $AB = 10$ , $DC = 15$ ו- $BD = x$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\triangle ABD \sim \triangle CBA

ז.ז: $\angle BAD = \angle C$ ו- $\angle B$ משותפת

\begin{aligned}\frac{AB}{CB} &= \frac{BD}{BA} \Rightarrow AB^2 \\ &= BD \cdot BC\end{aligned}

צלעות מתאימות, כפל בהצלבה

\begin{aligned}100 &= x(x + 15) \Rightarrow x^2 + 15x - 100 \\ &= 0\end{aligned}

$BC = x + 15$

\begin{aligned}(x + 20)(x - 5) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

$x = -20$ נפסל: אורך חיובי

$x = 5$ . המלכודת: $100 = x \cdot 15$ — לקחת את $DC$ במקום $BC$ השלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר. נתון $CD = 6$ ו- $AD = 3$ . מצאו את $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.42

הפתרון:

\triangle ACD \sim \triangle CBD \Rightarrow \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}

ז.ז: זווית ישרה ב- $D$ , ו- $\angle ACD = \angle B$

\begin{aligned}DB &= \frac{36}{3} \\ &= 12 \\ \quad AB &= 15\end{aligned}

\triangle CBD \sim \triangle ABC \Rightarrow \frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BC}

ז.ז: זווית ישרה ו- $\angle B$ משותפת

\begin{aligned}BC^2 &= 12 \cdot 15 \\ &= 180 \Rightarrow BC \\ &= \sqrt{180} \approx 13.42\end{aligned}

בדיקה: $6^2 + 12^2 = 180$

$BC \approx 13.42$ . המלכודת: $BC^2 = BD \cdot AD = 36$ — לערבב את שוויון הגובה עם שוויון הניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ , $AD : DB = 2 : 3$ , ושטח המשולש $ADE$ הוא $12$ . תלמיד חישב את שטח הטרפז $DBCE$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{4}{25}

\frac{S_{ADE}}{S_{DBCE}} = \frac{4}{25}

S_{DBCE} = 75

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{S_{ADE}}{S_{DBCE}} = \frac{4}{25}$ → $S_{ABC} = 12 \cdot \frac{25}{4} = 75 \Rightarrow S_{DBCE} = 75 - 12 = 63$

הפתרון:

S_{ABC} = 75

מהשורה השנייה

S_{DBCE} = 63

הטרפז הוא ההפרש

השורה השלישית שגויה: הטרפז אינו משולש דומה ל- $ADE$ . היחס הנכון הוא $\frac{12}{63} = \frac{4}{21}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שטחי שני משולשים דומים הם $20$ ו- $45$ . רדיוס המעגל החסום במשולש הקטן הוא $2$ . מהו רדיוס המעגל החסום במשולש הגדול?

$3$
$\frac{4}{3}$
$2.25$
$4.5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $3$

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= \frac{45}{20} \\ &= \frac{9}{4} \Rightarrow k \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

מהשטחים ליחס הדמיון

\begin{aligned}r_2 &= 2 \cdot \frac{3}{2} \\ &= 3\end{aligned}

רדיוס הוא אורך — גדל פי $k$

התשובה: « $3$ ». המלכודת: « $4.5$ » — לכפול ביחס השטחים. רדיוס גדל פי $k$ , לא פי $k^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק $PT$ וחותך $PAB$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PT = 8$ , $AB = 12$ ו- $PA = x$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\angle PTA &= \angle PBT \\ \quad \angle P &= \angle P\end{aligned}

זווית בין משיק למיתר, וזווית משותפת

\triangle PTA \sim \triangle PBT \Rightarrow PT^2 = PA \cdot PB

ז.ז וכפל בהצלבה

\begin{aligned}64 &= x(x + 12) \Rightarrow (x + 16)(x - 4) \\ &= 0\end{aligned}

x = 4

$x = -16$ נפסל

$x = 4$ . המלכודת: $64 = 12x$ — לקחת רק את המיתר $AB$ במקום החותך השלם $PB = x + 12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev