סדרה 3 — מאתגר · פרופורציה ודמיון · כיתה י׳

סדרה 3 דורשת לבחור את הכלי בעצמכם: מקבילית שנוצרת משני ישרים מקבילים, ארבעת המשולשים של טרפז, חוצה זווית עם פיתגורס, דוגמה נגדית ל«צ.צ.ז», דמיון בלי מקבילים, משיק וחותך, ומעבר משטחים להיקפים.

כשאין מקבילים בשרטוט, חפשו זווית משותפת וזווית שווה נוספת. וכשנתונים שטחים — קודם מוציאים שורש, ורק אז עובדים עם אורכים.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הנקודות $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ו- $F$ על $BC$ , כך ש- $DE \parallel BC$ ו- $EF \parallel AB$ . נתון $AD = 6$ , $DB = 4$ ו- $BC = 15$ . מצאו את $FC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{10} \Rightarrow DE \\ &= 9\end{aligned}

משפט תאלס המורחב

\begin{aligned}DBFE \text{ מקבילית} \Rightarrow BF &= DE \\ &= 9\end{aligned}

שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות

\begin{aligned}FC &= 15 - 9 \\ &= 6\end{aligned}

$FC = 6$ . המלכודת: לחשב $\frac{FC}{BC} = \frac{AD}{AB}$ ולקבל $9$ . $F$ מחלקת את $BC$ כמו ש- $E$ מחלקת את $AC$ : $\frac{CF}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{DB}{AB} = 0.4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB = 6$ , $DC = 9$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $12$ . מצאו את שטח הטרפז.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

\begin{aligned}\triangle AOB \sim \triangle COD \\ \quad k &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

ז.ז — מתחלפות וקודקודיות

\begin{aligned}S_{COD} &= 12 \cdot 2.25 \\ &= 27\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}} &= \frac{OD}{OB} \\ &= 1.5 \Rightarrow S_{AOD} \\ &= 18\end{aligned}

גובה משותף מ- $A$ — יחס הבסיסים

S_{BOC} = 18

באותו אופן, עם גובה משותף מ- $B$ לישר $AC$

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 12 + 27 + 18 + 18 \\ &= 75\end{aligned}

$75$ . המלכודת: $S_{AOD} = 12 \cdot 2.25$ . המשולשים $AOD$ ו- $AOB$ אינם דומים — ביניהם יחס הבסיסים, בחזקה ראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 9$ ו- $BC = 12$ . $CE$ חוצה את הזווית $C$ ( $E$ על $AB$ ). מצאו את $CE$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.65

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}\frac{AE}{EB} &= \frac{CA}{CB} \\ &= \frac{15}{12} \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית — הצלעות הכולאות את $\angle C$

\begin{aligned}EB &= \frac{4}{9} \cdot 9 \\ &= 4\end{aligned}

«חלק על שלם»

\begin{aligned}CE &= \sqrt{12^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{160} \approx 12.65\end{aligned}

פיתגורס במשולש $CBE$

$CE \approx 12.65$ . המלכודת: $\frac{AE}{EB} = \frac{AB}{BC}$ — צלעות שאינן כולאות את $\angle C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

AC = AD, והזווית B משותפת.

הוכיחו או הפריכו: אם במשולשים $ABC$ ו- $A'B'C'$ מתקיים $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$ ו- $\angle B = \angle B'$ , אז המשולשים דומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 10 \\ \quad AC &= AD \\ &= 7 \\ \quad \angle B &= 40^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית בשרטוט: $C$ ו- $D$ על אותה קרן מ- $B$

\begin{aligned}\frac{AB}{AB} &= \frac{AC}{AD} \\ &= 1 \\ \quad \angle ABC &= \angle ABD\end{aligned}

הנתונים של הטענה מתקיימים במשולשים $ABC$ ו- $ABD$

BC \approx 10.4 \ne BD \approx 4.9

יחס דמיון $1$ היה מחייב חפיפה — והמשולשים אינם חופפים, ולכן אינם דומים

לא נכון. המלכודת: לקרוא את זה כצ.ז.צ. הזווית $B$ אינה כלואה בין $AB$ ל- $AC$ — היא מול $AC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הזווית BAD שווה לזווית C.

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . איזו טענה נכונה?

$\triangle ABD \sim \triangle CBA$
$\triangle ABD \sim \triangle ABC$
$\triangle ABD \sim \triangle ACD$
$\triangle ADB \sim \triangle CBA$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\triangle ABD \sim \triangle CBA$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAD &= \angle BCA \\ \quad \angle B &= \angle B\end{aligned}

זווית נתונה וזווית משותפת — ז.ז

A \leftrightarrow C, \quad B \leftrightarrow B, \quad D \leftrightarrow A

כל קודקוד עובר לקודקוד של הזווית השווה לו

התשובה: « $\triangle ABD \sim \triangle CBA$ ». המלכודת: « $\triangle ABD \sim \triangle ABC$ » — הזווית ב- $A$ שווה לזווית ב- $C$ , ולכן $A$ מתאים ל- $C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הזווית BAD שווה לזווית C.

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . נתון $AB = 6$ ו- $BC = 9$ . מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\triangle ABD \sim \triangle CBA

ז.ז: $\angle BAD = \angle C$ , ו- $\angle B$ משותפת

\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BA}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}AB^2 &= BD \cdot BC \Rightarrow 36 \\ &= 9 \cdot BD\end{aligned}

כפל בהצלבה

BD = 4

$BD = 4$ . המלכודת: לכתוב $AB^2 = BD \cdot DC$ . בפרופורציה נכנסת הצלע השלמה $BC$ , כי היא צלע של המשולש הגדול $CBA$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק $PT$ ( $T$ נקודת ההשקה) וחותך שפוגש את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PA = 4$ ו- $AB = 5$ . הוכיחו כי $\triangle PTA \sim \triangle PBT$ , ומצאו את $PT$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\angle PTA = \angle PBT

הזווית בין משיק למיתר $TA$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $TA$

\angle P = \angle P

זווית משותפת

\triangle PTA \sim \triangle PBT \Rightarrow \frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT}

ז.ז

\begin{aligned}PT^2 &= 4 \cdot 9 \\ &= 36 \Rightarrow PT \\ &= 6\end{aligned}

$PB = PA + AB = 9$

$PT = 6$ . המלכודת: $PT^2 = PA \cdot AB = 20$ — בפרופורציה נכנס החותך כולו $PB$ , לא החלק שבתוך המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 3$ , $DB = 6$ , $AE = 4$ , $EC = 8$ ו- $BC = 12$ . סדרו את שלבי הפתרון שמוצא את $DE$ .

כותבים $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ לפי משפט תאלס המורחב
מחשבים: $\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$ ו- $\frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$
מסיקים $DE \parallel BC$ לפי המשפט ההפוך למשפט תאלס
מציבים $\frac{DE}{12} = \frac{3}{9}$
מקבלים $DE = 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מחשבים: $\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$ ו- $\frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$ · מסיקים $DE \parallel BC$ לפי המשפט ההפוך למשפט תאלס · כותבים $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ לפי משפט תאלס המורחב · מציבים $\frac{DE}{12} = \frac{3}{9}$ · מקבלים $DE = 4$

הפתרון:

\frac{3}{6} = \frac{4}{8} \Rightarrow DE \parallel BC

קודם הקבלה

\begin{aligned}\frac{DE}{12} &= \frac{3}{9} \Rightarrow DE \\ &= 4\end{aligned}

ורק אחר כך תאלס המורחב

המלכודת: להתחיל בתאלס המורחב. בלי שהוכחנו $DE \parallel BC$ אסור להשתמש בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שטחי שני משולשים דומים הם $32$ ו- $50$ , וסכום ההיקפים שלהם הוא $54$ . מצאו את ההיקף של המשולש הגדול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

\begin{aligned}k^2 &= \frac{32}{50} \\ &= \frac{16}{25} \Rightarrow k \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

מהשטחים אל יחס הדמיון — מוציאים שורש

\begin{aligned}P_1 &= 4t \\ \quad P_2 &= 5t \\ \quad 9t &= 54\end{aligned}

ההיקפים ביחס $k$

P_2 = 30

$P_1 = 24$

$30$ . המלכודת: לחלק את $54$ ביחס $32 : 50$ ולקבל $\approx 32.9$ — יחס השטחים אינו יחס ההיקפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שלושה ישרים מקבילים $AD$ , $BE$ ו- $CF$ חותכים שני ישרים: האחד בנקודות $A$ , $B$ , $C$ והשני בנקודות $D$ , $E$ , $F$ . נתון $AB = x$ , $BC = x + 4$ , $DE = 6$ ו- $EF = 9$ . השלימו.

$x =$ ____, $BC =$ ____, $AC =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 8, $BC =$ 12, $AC =$ 20

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AB}{BC} &= \frac{DE}{EF} \Rightarrow \frac{x}{x+4} \\ &= \frac{6}{9}\end{aligned}

משפט תאלס לשלושה ישרים מקבילים

\begin{aligned}9x &= 6x + 24 \Rightarrow x \\ &= 8\end{aligned}

כפל בהצלבה

\begin{aligned}BC &= 12 \\ \quad AC &= 20\end{aligned}

המלכודת: $\frac{x}{x+4} = \frac{9}{6}$ — להפוך את הסדר באגף אחד, ולקבל $x$ שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev