סדרה 2 — בינוני · פרופורציה ודמיון · כיתה י׳

סדרה 2 מחברת שני צעדים: דמיון באלכסוני טרפז, תאלס עם משוואה, צ.ז.צ בסדר אותיות לא צפוי, שטח של טרפז שנשאר, חוצה זווית עם היקף, ומיתרים נחתכים במעגל. בסוף — הוכחה ראשונה בטענה ונימוק.

לפני כל חישוב כתבו איזה משולש דומה לאיזה, ובאיזה סדר. רוב הטעויות בסדרה הזאת הן אותיות במקום הלא נכון, לא חשבון.

תרגילים

תרגיל 1

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB = 10$ , $DC = 15$ ו- $BD = 25$ . מצאו את $BO$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ABO &= \angle CDO \\ \quad \angle AOB &= \angle COD\end{aligned}

זוויות מתחלפות וזוויות קודקודיות

\begin{aligned}\triangle AOB \sim \triangle COD \Rightarrow \frac{BO}{DO} &= \frac{AB}{CD} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

ז.ז

\begin{aligned}BO &= \frac{2}{5} \cdot 25 \\ &= 10\end{aligned}

«חלק על שלם»

$BO = 10$ . המלכודת: $BO = \frac{2}{3} \cdot 25$ . היחס $\frac{2}{3}$ הוא בין $BO$ ל- $OD$ , והאלכסון השלם הוא חמישה חלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = x$ , $DB = x + 3$ , $AE = 4$ ו- $EC = 6$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{x}{x+3} = \frac{4}{6}

משפט תאלס

6x = 4x + 12

כפל בהצלבה

x = 6

בדיקה: $\frac{6}{9} = \frac{4}{6}$

$x = 6$ . המלכודת: לכפול בהצלבה רק את $x$ ולשכוח את $+3$ : $6x = 4x + 3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ ו- $AC = 9$ . הנקודה $D$ על $AC$ , ו- $AD = 4$ . איזו טענת דמיון נכונה?

$\triangle ABD \sim \triangle ACB$
המשולשים $ABD$ ו- $ABC$ אינם דומים
$\triangle ABD \sim \triangle ABC$
$\triangle ADB \sim \triangle ACB$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\triangle ABD \sim \triangle ACB$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3} \\ \quad \frac{AB}{AC} &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

שני יחסים שווים

\angle A = \angle A

הזווית הכלואה משותפת

A \leftrightarrow A, \; D \leftrightarrow B, \; B \leftrightarrow C

$AD$ מתאימה ל- $AB$ , ו- $AB$ מתאימה ל- $AC$ — צ.ז.צ

התשובה: « $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ ». המלכודת: « $\triangle ABD \sim \triangle ABC$ » — אותן אותיות, סדר שגוי. הסדר חייב להתאים את $D$ ל- $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . הנקודה $D$ על $AC$ , ו- $AD = 4$ . מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\triangle ABD \sim \triangle ACB

צ.ז.צ: $\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}$ וזווית $A$ משותפת

\frac{BD}{CB} = \frac{2}{3}

$BD$ מול $\angle A$ במשולש הקטן, ו- $CB$ מול $\angle A$ בגדול

\begin{aligned}BD &= 12 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 8\end{aligned}

$BD = 8$ . המלכודת: להניח $BD \parallel$ לצלע כלשהי ולהפעיל תאלס. אין כאן מקבילים — יש דמיון בסדר אותיות אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ , ו- $AD : DB = 2 : 3$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $75$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ , «חלק על שלם»

\begin{aligned}S_{ADE} &= 75 \cdot \frac{4}{25} \\ &= 12\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 75 - 12 \\ &= 63\end{aligned}

$63$ . המלכודת: $k = \frac{2}{3}$ — מהיחס בין החלקים. אז $S_{ADE} = 33\frac{1}{3}$ , והטרפז יוצא שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $A$ , $BD = 4$ ו- $DC = 6$ . היקף המשולש הוא $35$ . מצאו את $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= 10 \Rightarrow AB + AC \\ &= 25\end{aligned}

ההיקף פחות $BC$

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{BD}{DC} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}AB &= 2t \\ \; AC &= 3t \\ \; 5t &= 25 \Rightarrow AB \\ &= 10\end{aligned}

$AC = 15$

$AB = 10$ . המלכודת: לחלק את כל ההיקף $35$ ביחס $2 : 3$ ולקבל $14$ — גם $BC$ נכנס לחשבון בטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB = 6$ , $DE = 9$ , ושטח המשולש $ABC$ הוא $24$ . תלמיד חישב את שטח המשולש $DEF$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

S_{DEF} = S_{ABC} \cdot k

\begin{aligned}S_{DEF} &= 24 \cdot 1.5 \\ &= 36\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S_{DEF} = S_{ABC} \cdot k$ → $S_{DEF} = S_{ABC} \cdot k^2 = 24 \cdot 2.25 = 54$

הפתרון:

\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{DEF} &= 24 \cdot 2.25 \\ &= 54\end{aligned}

השורה השנייה שגויה, והשלישית ממשיכה אותה. $S_{DEF} = 54$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: משולש שצלעותיו $5$ , $7$ ו- $9$ דומה למשולש שצלעותיו $10$ , $14$ ו- $17$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{10}{5} &= 2 \\ \quad \frac{14}{7} &= 2 \\ \quad \frac{17}{9} \ne 2\end{aligned}

משווים צלע קצרה לקצרה, בינונית לבינונית, ארוכה לארוכה

\Rightarrow

שני יחסים שווים — לא מספיק: צ.צ.צ דורש שלושה יחסים שווים

לא נכון: $17 \ne 18$ . המלכודת: לבדוק שני יחסים ולעצור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במעגל נחתכים המיתרים $AB$ ו- $CD$ בנקודה $P$ . נתון $PA = 5$ , $PB = 8$ ו- $PC = 4$ . הוכיחו כי $\triangle APC \sim \triangle DPB$ , ומצאו את $PD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\angle CAB = \angle CDB

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $CB$

\angle APC = \angle DPB

זוויות קודקודיות

\triangle APC \sim \triangle DPB \Rightarrow \frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}

ז.ז

\begin{aligned}PD &= \frac{5 \cdot 8}{4} \\ &= 10\end{aligned}

$PD = 10$ . המלכודת: $\frac{PA}{PB} = \frac{PC}{PD}$ נותן $PD = 6.4$ — שני קטעים של אותו מיתר אינם צלעות מתאימות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . הוכיחו כי $OA \cdot OD = OB \cdot OC$ .

$ABCD$ טרפז, $AB \parallel DC$
$AC$ ו- $BD$ נחתכים ב- $O$

$OA \cdot OD = OB \cdot OC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle OAB = \angle OCD$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
$\angle AOB = \angle COD$ — זוויות קודקודיות
$\triangle AOB \sim \triangle COD$ — משפט דמיון ז.ז
$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ — במשולשים דומים צלעות מתאימות פרופורציוניות
$OA \cdot OD = OB \cdot OC$ — כפל בהצלבה

הפתרון:

\triangle AOB \sim \triangle COD

ז.ז

\begin{aligned}\frac{OA}{OC} &= \frac{OB}{OD} \Rightarrow OA \cdot OD \\ &= OB \cdot OC\end{aligned}

כפל בהצלבה

המלכודת: לנמק «משפט תאלס». הקטעים $OA$ ו- $OC$ נמצאים על ישר אחד משני צידי $O$ — מה שמחבר אותם כאן הוא דמיון המשולשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev