סדרה 1 — קל · פרופורציה ודמיון · כיתה י׳

סדרה 1 מתרגלת את הכלים של הפרק אחד אחד: משפט תאלס, תאלס המורחב וההפוך לו, שלושת משפטי הדמיון, יחס ההיקפים ויחס השטחים, משפט חוצה הזווית, וחלוקת קטע ביחס נתון.

כל תרגיל כאן הוא צעד אחד או שניים. תשע נכונות ומעלה — עברו לסדרה 2. פחות מזה — חזרו ליחידה שבה נמצא הכלי שהכשיל אתכם.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל לצלע $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 3$ , $DB = 6$ ו- $AE = 4$ . מצאו את $EC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תאלס

\frac{3}{6} = \frac{4}{EC}

מציבים

\begin{aligned}EC &= \frac{4 \cdot 6}{3} \\ &= 8\end{aligned}

כפל בהצלבה

$EC = 8$ . המלכודת: $\frac{AD}{DB} = \frac{EC}{AE}$ — סדר הפוך באגף אחד, שנותן $EC = 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ . נתון $AD = 5$ , $AB = 20$ ו- $BC = 16$ . מצאו את $DE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}

משפט תאלס המורחב

\frac{DE}{16} = \frac{5}{20}

מציבים

DE = 4

$DE = 4$ . המלכודת: לחשב $DB = 15$ ולכתוב $\frac{DE}{16} = \frac{5}{15}$ . מול הצלע השלמה $BC$ עומדת הצלע השלמה $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

צלעות המשולש $ABC$ הן $3$ , $5$ ו- $6$ , וצלעות המשולש $DEF$ הן $6$ , $10$ ו- $12$ . מה נכון?

המשולשים דומים לפי צ.ז.צ
המשולשים חופפים
המשולשים אינם דומים, כי לא נתונה אף זווית
המשולשים דומים לפי צ.צ.צ, ביחס $1 : 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד המשולשים דומים לפי צ.צ.צ, ביחס $1 : 2$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{6}{3} &= \frac{10}{5} \\ &= \frac{12}{6} \\ &= 2\end{aligned}

שלושה יחסים שווים, מהצלע הקצרה לארוכה

\triangle ABC \sim \triangle DEF

צ.צ.צ — לא צריך אף זווית

התשובה: «המשולשים דומים לפי צ.צ.צ, ביחס $1 : 2$ ». המלכודת: לחשוב שבלי זווית אין דמיון — שלושה יחסי צלעות מספיקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ . נתון $AB = 4$ , $DE = 10$ , והיקף המשולש $ABC$ הוא $18$ . מצאו את היקף המשולש $DEF$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}P_{DEF} &= 18 \cdot 2.5 \\ &= 45\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ל- $k$

$45$ . המלכודת: לכפול ב- $k^2 = 6.25$ ולקבל $112.5$ . היקף הוא אורך — הוא גדל פי $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

יחס הדמיון בין משולש גדול למשולש קטן הוא $3$ . שטח המשולש הקטן הוא $7$ סמ״ר. מהו שטח המשולש הגדול, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 9\end{aligned}

יחס השטחים

\begin{aligned}S_2 &= 7 \cdot 9 \\ &= 63\end{aligned}

$63$ סמ״ר. המלכודת: $7 \cdot 3 = 21$ — השטח גדל פי $k^2$ , לא פי $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ ו- $BD = 6$ . מצאו את $DC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

משפט חוצה הזווית

\frac{6}{DC} = \frac{10}{15}

מציבים

\begin{aligned}DC &= \frac{6 \cdot 15}{10} \\ &= 9\end{aligned}

$DC = 9$ . המלכודת: $DC = 6$ — לחשוב שחוצה הזווית הוא גם תיכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 4$ , $DB = 5$ , $AE = 8$ ו- $EC = 10$ . הוכיחו או הפריכו: $DE \parallel BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{4}{5} \\ \quad \frac{AE}{EC} &= \frac{8}{10} \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

שני יחסים שווים

DE \parallel BC

המשפט ההפוך למשפט תאלס

נכון. המלכודת: לחשוב שצריך $AD = AE$ . המשפט ההפוך דורש יחסים שווים, לא קטעים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הנקודה $D$ על הקטע $AB$ מחלקת אותו ביחס $AD : DB = 2 : 3$ , ו- $AB = 35$ . השלימו.

$AD =$ ____, $DB =$ ____, $\frac{AD}{AB} =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AD =$ 14, $DB =$ 21, $\frac{AD}{AB} =$ 0.4

הפתרון:

\begin{aligned}AD &= 2t \\ \quad DB &= 3t\end{aligned}

חמישה חלקים שווים

\begin{aligned}5t &= 35 \Rightarrow t \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}AD &= 14 \\ \; DB &= 21 \\ \; \frac{AD}{AB} &= \frac{2}{5} \\ &= 0.4\end{aligned}

«חלק על שלם»

המלכודת: $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$ . היחס $2 : 3$ הוא «חלק על חלק»; «חלק על שלם» הוא $\frac{2}{2 + 3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ביחס דמיון $k$ . מיינו: איזה גודל של $DEF$ גדל פי $k$ , ואיזה פי $k^2$ ?

פי $k$
פי $k^2$

הגובה לצלע $EF$
ההיקף
השטח
התיכון לצלע $DF$
חוצה הזווית $D$
רדיוס המעגל החסום
שטח המעגל החוסם
שטח המשולש שהתיכון $DM$ חותך מ- $DEF$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הגובה לצלע $EF$ — פי $k$ · התיכון לצלע $DF$ — פי $k$ · ההיקף — פי $k$ · השטח — פי $k^2$ · רדיוס המעגל החסום — פי $k$ · שטח המעגל החוסם — פי $k^2$ · חוצה הזווית $D$ — פי $k$ · שטח המשולש שהתיכון $DM$ חותך מ- $DEF$ — פי $k^2$

הפתרון:

\text{אורך} \to k

כל קטע מתאים: גבהים, תיכונים, חוצי זוויות, רדיוסים, היקף

\text{שטח} \to k^2

כל שטח, גם של מעגל או של חלק מתאים במשולש

המלכודת: «שטח המעגל החוסם» — המעגל הוא לא המשולש, אבל השטח שלו תלוי ב- $R^2$ , והרדיוס גדל פי $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר $AB$ . נתון $AD = 9$ ו- $DB = 16$ . הוכיחו כי $\triangle ACD \sim \triangle CBD$ , ומצאו את $CD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle CDB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

$CD$ גובה

\begin{aligned}\angle ACD &= 90^\circ - \angle A \\ &= \angle B\end{aligned}

שתיהן משלימות את $\angle A$

\triangle ACD \sim \triangle CBD \Rightarrow \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}

ז.ז

\begin{aligned}CD^2 &= 9 \cdot 16 \\ &= 144 \Rightarrow CD \\ &= 12\end{aligned}

$CD = 12$ . המלכודת: $CD = \frac{9 + 16}{2} = 12.5$ — ממוצע במקום פרופורציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev