פותרים יחד · פרופורציה ודמיון · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל כלי של הפרק: דמיון באלכסוני טרפז, יחס השטחים, משפט חוצה הזווית, דמיון במעגל והגובה ליתר. בשאלות עם בחירה אתם בוחרים את הצעד הבא; בחירה שגויה מסבירה למה, ואפשר לנסות שוב.

לפני כל לחיצה כתבו על דף טענה ונימוק, ובכל דמיון — את סדר האותיות. אחרי כל שאלה יש «תורכם» לפתור לבד, ובסוף היחידה תרגיל תאום לכל שאלה.

1. אלכסוני הטרפז

טרפז ABCD (AB מקביל ל-DC). האלכסונים נחתכים ב-O.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 1 — אלכסוני הטרפז

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB = 6$ , $DC = 15$ ו- $AC = 14$ . (א) הוכיחו כי $\triangle AOB \sim \triangle COD$ . (ב) מצאו את $AO$ . (ג) נתון ששטח המשולש $AOB$ הוא $8$ . מצאו את שטח המשולש $COD$ ואת שטח המשולש $AOD$ .

סעיף (א): אילו זוויות שוות מספיקות?

$\angle OAB = \angle OCD$ (מתחלפות) ו- $\angle AOB = \angle COD$ (קודקודיות)

להציג את התשובה והפתרון

כן. שתי זוויות — משפט דמיון ז.ז.

$\angle OAB = \angle ODC$

להציג את התשובה והפתרון

אלה לא זוויות מתחלפות: $\angle OAB$ נשענת על האלכסון $AC$ , ו- $\angle ODC$ על $BD$ .

$AO = OC$ ו- $BO = OD$

להציג את התשובה והפתרון

האלכסונים חוצים זה את זה רק במקבילית, לא בטרפז.

\triangle AOB \sim \triangle COD \quad (A \leftrightarrow C,\; O \leftrightarrow O,\; B \leftrightarrow D)

ז.ז, והסדר נקבע לפי הזוויות השוות.

סעיף (ב): מה יחס הדמיון, ואיך מגיעים ל- $AO$ ?

$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD} = \frac{6}{15}$ , ולכן $AO = \frac{6}{21} \cdot 14$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AO$ ו- $OC$ הם «חלק» ו«חלק», והשלם הוא $AC = 14$ — שבעה חלקים שווים של $2$ .

$\frac{AO}{AC} = \frac{6}{15}$ , ולכן $AO = 5.6$

להציג את התשובה והפתרון

$AC$ אינו צלע של אף אחד מהמשולשים הדומים. היחס $\frac{6}{15}$ הוא בין $AO$ ל- $OC$ .

$AO = OC = 7$

להציג את התשובה והפתרון

רק במקבילית. כאן $AB \ne DC$ .

\begin{aligned}AO &= \frac{6}{6 + 15} \cdot 14 \\ &= 4 \\ \quad OC &= 10\end{aligned}

סעיף (ג): שטח המשולש $COD$ ?

$8 \cdot \left(\frac{15}{6}\right)^2 = 50$

להציג את התשובה והפתרון

כן. יחס השטחים של משולשים דומים הוא $k^2$ .

$8 \cdot \frac{15}{6} = 20$

להציג את התשובה והפתרון

זה $k$ , לא $k^2$ . ובמקרה $20$ הוא דווקא שטח $AOD$ — ראו את הצעד הבא.

\begin{aligned}S_{COD} &= 8 \cdot \frac{225}{36} \\ &= 50\end{aligned}

ושטח המשולש $AOD$ , שאינו דומה לאף אחד מהם?

ל- $AOB$ ול- $AOD$ אותו גובה מ- $A$ לישר $BD$ , ולכן $\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}} = \frac{OD}{OB} = \frac{15}{6}$

להציג את התשובה והפתרון

כן. גובה משותף — השטחים ביחס הבסיסים, בחזקה ראשונה.

$\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}} = \left(\frac{15}{6}\right)^2$

להציג את התשובה והפתרון

$k^2$ רק למשולשים דומים. $AOD$ ו- $AOB$ אינם דומים.

\begin{aligned}S_{AOD} &= 8 \cdot \frac{15}{6} \\ &= 20\end{aligned}

וגם $S_{BOC} = 20$ .

להציג את התשובה והפתרון

(ב) $AO = 4$ . (ג) $S_{COD} = 50$ ו- $S_{AOD} = 20$ . המלכודת: להפעיל $k^2$ על משולשים שאינם דומים, או לחלק את $AC$ ביחס $6 : 15$ כאילו הוא צלע.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: בשאלה 1, מהו שטח הטרפז כולו?

להציג את התשובה והפתרון

$S_{AOB} + S_{COD} + S_{AOD} + S_{BOC} = 8 + 50 + 20 + 20 = 98$ .

2. יחס השטחים

DE מקביל ל-BC, ו-AD:DB = 3:2.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 2 — שטח הטרפז שנשאר

\begin{aligned}DE \parallel BC \\ \quad AD : DB &= 3 : 2 \\ \quad S_{ADE} &= 18 \\ \quad S_{DBCE} &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». את הטרפז $DBCE$ לא מחשבים ישירות: מחשבים את כל המשולש ומחסירים.

דמיון

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle ADE = \angle ABC$ (מתאימות), ו- $\angle A$ משותפת.

יחס

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{3}{3 + 2} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

מול הצלע השלמה $AB$ — «חלק על שלם», לא $\frac{3}{2}$ .

שטחים

\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= k^2 \\ &= \frac{9}{25}\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

משולש

\begin{aligned}S_{ABC} &= 18 \cdot \frac{25}{9} \\ &= 50\end{aligned}

טרפז

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 50 - 18 \\ &= 32\end{aligned}

הטרפז הוא המשולש הגדול פחות הקטן.

המלכודת: $\frac{S_{ADE}}{S_{DBCE}} = \frac{9}{25}$ . הטרפז אינו משולש דומה — היחס הנכון הוא $\frac{18}{32} = \frac{9}{16}$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: $DE \parallel BC$ ו- $AD : DB = 1 : 3$ . איזה חלק משטח המשולש $ABC$ הוא הטרפז $DBCE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$k = \frac{1}{4}$ , ולכן $S_{ADE} = \frac{1}{16} S_{ABC}$ והטרפז הוא $\frac{15}{16}$ מהשטח.

3. חוצה זווית וישר מקביל

AD חוצה את זווית A, ו-DE מקביל ל-AB.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 3 — חוצה זווית וישר מקביל

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 18$ ו- $BC = 20$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). דרך $D$ מעבירים ישר המקביל ל- $AB$ , והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$ . (א) מצאו את $BD$ . (ב) הוכיחו כי $AE = DE$ . (ג) מצאו את $DE$ .

סעיף (א): איך מתחילים?

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{18}$

להציג את התשובה והפתרון

כן. משפט חוצה הזווית: כל קטע ליד הצלע הצמודה לו.

$BD = DC = 10$

להציג את התשובה והפתרון

חוצה זווית הוא תיכון רק כש- $AB = AC$ .

\begin{aligned}BD &= \frac{12}{12 + 18} \cdot 20 \\ &= 8 \\ \quad DC &= 12\end{aligned}

סעיף (ב): מה נותנים הישרים המקבילים $DE$ ו- $AB$ ?

$\angle EDA = \angle DAB$ — זוויות מתחלפות

להציג את התשובה והפתרון

כן. והחותך הוא $AD$ .

$\angle EDA = \angle DAE$ — זוויות מתחלפות

להציג את התשובה והפתרון

$\angle DAE$ נמצאת בין $AD$ ל- $AC$ , לא בין המקבילים. השוויון נכון, אבל רק אחרי צעד נוסף.

\begin{aligned}\angle EDA &= \angle DAB \\ &= \angle DAE\end{aligned}

הצעד השני: $AD$ חוצה זווית.

מה המסקנה במשולש $AED$ ?

$AE = DE$ : מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

להציג את התשובה והפתרון

כן. המשולש $AED$ שווה שוקיים.

$AD = DE$

להציג את התשובה והפתרון

הזוויות השוות נמצאות ליד $AD$ — הצלעות שמולן הן $DE$ ו- $AE$ .

AE = DE

סעיף (ג): איך מוצאים את $DE$ ?

$\triangle CDE \sim \triangle CBA$ , ולכן $\frac{DE}{BA} = \frac{CD}{CB} = \frac{12}{20}$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $DE \parallel AB$ — משפט תאלס המורחב במשולש $CBA$ .

$\frac{DE}{AB} = \frac{BD}{BC} = \frac{8}{20}$

להציג את התשובה והפתרון

הקודקוד של המשולש הקטן הוא $C$ , ולכן הקטע מ- $C$ הוא $CD = 12$ .

\begin{aligned}DE &= 12 \cdot \frac{12}{20} \\ &= 7.2\end{aligned}

בדיקה: $CE = 18 \cdot \frac{12}{20} = 10.8$ , ו- $AE = 18 - 10.8 = 7.2 = DE$ .

להציג את התשובה והפתרון

(א) $BD = 8$ . (ג) $DE = AE = 7.2$ . המלכודת: בסעיף (ג) לקחת את $BD$ במקום $CD$ — הקודקוד המשותף הוא $C$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: בשאלה 3, מצאו את היחס $\frac{CE}{EA}$ בשתי דרכים.

להציג את התשובה והפתרון

בתאלס: $\frac{CE}{EA} = \frac{CD}{DB} = \frac{12}{8} = 1.5$ . ובמספרים: $\frac{10.8}{7.2} = 1.5$ . וזה גם $\frac{AC}{AB} = \frac{18}{12}$ .

4. מיתרים נחתכים

המיתרים AB ו-CD נחתכים בנקודה P.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 4 — מיתרים נחתכים

במעגל נחתכים המיתרים $AB$ ו- $CD$ בנקודה $P$ . (א) הוכיחו כי $\triangle APC \sim \triangle DPB$ . (ב) הוכיחו כי $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ . (ג) נתון $PA = 4$ , $PB = 9$ ו- $PC = 3$ . מצאו את $PD$ .

סעיף (א): איזה זוג זוויות שוות נותן המעגל?

$\angle CAB = \angle CDB$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $CB$

להציג את התשובה והפתרון

כן. ובנוסף $\angle APC = \angle DPB$ קודקודיות.

$\angle CAB = \angle ABD$

להציג את התשובה והפתרון

אלה היו זוויות מתחלפות אילו $AC \parallel DB$ . אין נתון כזה.

$\angle CAB = \angle ADC$ — זוויות היקפיות

להציג את התשובה והפתרון

הן לא נשענות על אותה קשת: $\angle CAB$ נשענת על הקשת $CB$ , ו- $\angle ADC$ על הקשת $AC$ .

\begin{aligned}\angle CAP &= \angle BDP \\ \quad \angle APC &= \angle DPB \Rightarrow \triangle APC \sim \triangle DPB\end{aligned}

ז.ז. ההתאמה: $A \leftrightarrow D$ , $P \leftrightarrow P$ , $C \leftrightarrow B$ .

סעיף (ב): איזו פרופורציה כותבים?

$\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $PA$ מתאימה ל- $PD$ , ו- $PC$ ל- $PB$ . כפל בהצלבה נותן את המבוקש.

$\frac{PA}{PB} = \frac{PC}{PD}$

להציג את התשובה והפתרון

$PA$ ו- $PB$ נמצאים באותו מיתר, לא במשולשים מתאימים. כפל בהצלבה היה נותן $PA \cdot PD = PB \cdot PC$ — לא נכון.

\begin{aligned}\frac{PA}{PD} &= \frac{PC}{PB} \Rightarrow PA \cdot PB \\ &= PC \cdot PD\end{aligned}

כפל בהצלבה.

סעיף (ג): מהו $PD$ ?

$PD = \frac{4 \cdot 9}{3} = 12$

להציג את התשובה והפתרון

כן.

$PD = \frac{9 \cdot 3}{4} = 6.75$

להציג את התשובה והפתרון

זה הפתרון של הפרופורציה ההפוכה מהסעיף הקודם.

\begin{aligned}3 \cdot PD &= 36 \Rightarrow PD \\ &= 12\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

$PD = 12$ . המלכודת: לכתוב את השוויון $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ בלי להוכיח. בבגרות הוא נובע מדמיון, ואת הדמיון מוכיחים בכל פעם.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$ , ו- $P$ אמצע $CD$ . נתון $PA = 2$ ו- $PB = 8$ . מהו $CD$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$PC \cdot PD = 16$ ו- $PC = PD$ , ולכן $PC = 4$ ו- $CD = 8$ .

5. הגובה ליתר

במשולש ABC הזווית C ישרה, ו-CD הגובה ליתר.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 5 — הגובה ליתר

\begin{aligned}\angle ACB &= 90^\circ \\ \quad CD \perp AB \\ \quad AD &= 4 \\ \quad DB &= 9\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מבקשים: (א) להוכיח ש- $\triangle ACD \sim \triangle CBD$ ; (ב) למצוא את $CD$ ; (ג) למצוא את יחס השטחים שלהם.

זווית

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle CDB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

$CD$ גובה.

זווית

\begin{aligned}\angle ACD &= 90^\circ - \angle A \\ &= \angle B\end{aligned}

במשולש $ACD$ : $\angle ACD = 90^\circ - \angle A$ . במשולש $ABC$ : $\angle B = 90^\circ - \angle A$ .

דמיון

\triangle ACD \sim \triangle CBD \quad (A \leftrightarrow C,\; C \leftrightarrow B,\; D \leftrightarrow D)

ז.ז.

פרופורציה

\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}

$AD$ מול $\angle ACD$ , ו- $CD$ מול $\angle B$ — צלעות מתאימות.

\begin{aligned}CD^2 &= 4 \cdot 9 \\ &= 36 \Rightarrow CD \\ &= 6\end{aligned}

שטחים

\begin{aligned}k &= \frac{CD}{BD} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{S_{ACD}}{S_{CBD}} \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

בדיקה: לשני המשולשים אותו גובה $CD$ , והבסיסים $4$ ו- $9$ .

המלכודת: לכתוב $CD^2 = AD \cdot DB$ כנוסחה מוכנה. בבחינה מוכיחים את הדמיון ומגיעים לשוויון דרכו.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: בשאלה 5, הוכיחו בדמיון כי $AC^2 = AD \cdot AB$ ומצאו את $AC$ .

להציג את התשובה והפתרון

$\triangle ACD \sim \triangle ABC$ (זווית ישרה ו- $\angle A$ משותפת), ולכן $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$ . $AC^2 = 4 \cdot 13 = 52$ , ו- $AC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21$ .

תרגילים תאומים. חמשת התרגילים שלמטה בנויים כמו חמש השאלות, עם נתונים אחרים.

תרגילים

תרגיל 1

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB = 4$ , $DC = 10$ ו- $BD = 21$ . מצאו את $BO$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}\angle OBA &= \angle ODC \\ \quad \angle AOB &= \angle COD\end{aligned}

מתחלפות וקודקודיות

\triangle AOB \sim \triangle COD

ז.ז

\begin{aligned}\frac{BO}{OD} &= \frac{AB}{DC} \\ &= \frac{4}{10}\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}BO &= \frac{4}{14} \cdot 21 \\ &= 6\end{aligned}

«חלק על שלם»: $BD = BO + OD$

$BO = 6$ . המלכודת: $BO = \frac{4}{10} \cdot 21 = 8.4$ — היחס $\frac{4}{10}$ הוא בין שני החלקים, לא בין חלק לאלכסון כולו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ), ו- $AD : DB = 1 : 2$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $45$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז — זוויות מתאימות וזווית משותפת

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

חלק על שלם

\begin{aligned}S_{ADE} &= 45 \cdot \frac{1}{9} \\ &= 5\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 45 - 5 \\ &= 40\end{aligned}

$40$ . המלכודת: $k = \frac{1}{2}$ מהיחס $AD : DB$ , או $S_{ADE} = 45 \cdot \frac{1}{3} = 15$ — שתי הטעויות נותנות טרפז שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 9$ ו- $BC = 10$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ , ודרך $D$ עובר $DE \parallel AB$ ( $E$ על $AC$ ). מצאו את $DE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.6

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{6}{9} \Rightarrow BD \\ &= 4 \\ \; DC &= 6\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{CD}{CB} \\ &= \frac{6}{10}\end{aligned}

משפט תאלס המורחב במשולש $CBA$

\begin{aligned}DE &= 6 \cdot 0.6 \\ &= 3.6\end{aligned}

בדיקה: $AE = 9 - 5.4 = 3.6 = DE$

$DE = 3.6$ . המלכודת: $\frac{DE}{AB} = \frac{BD}{BC}$ נותן $2.4$ — הקודקוד של המשולש הקטן הוא $C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במעגל נחתכים המיתרים $AB$ ו- $CD$ בנקודה $P$ . נתון $PA = 6$ , $PB = 8$ ו- $PD = 12$ . מצאו את $PC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\angle CAP &= \angle BDP \\ \quad \angle APC &= \angle DPB\end{aligned}

זוויות היקפיות על הקשת $CB$ , וזוויות קודקודיות

\triangle APC \sim \triangle DPB \Rightarrow \frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}

ז.ז

\begin{aligned}PC &= \frac{6 \cdot 8}{12} \\ &= 4\end{aligned}

כפל בהצלבה

$PC = 4$ . המלכודת: $\frac{PA}{PB} = \frac{PC}{PD}$ — לשים באותו יחס שני קטעים מאותו מיתר. נותן $PC = 9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר $AB$ . נתון $AD = 2$ ו- $DB = 8$ . מצאו את $CD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\angle ACD = \angle B

שתיהן משלימות את $\angle A$ ל- $90^\circ$

\triangle ACD \sim \triangle CBD \Rightarrow \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}

ז.ז — וזווית ישרה ב- $D$

\begin{aligned}CD^2 &= 2 \cdot 8 \\ &= 16 \Rightarrow CD \\ &= 4\end{aligned}

$CD = 4$ . המלכודת: $CD^2 = AD \cdot AB = 20$ — זה השוויון של הניצב $AC$ , לא של הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1. אלכסוני הטרפז

2. יחס השטחים

3. חוצה זווית וישר מקביל

4. מיתרים נחתכים

5. הגובה ליתר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev