משפט חוצה הזווית

שני כבישים יוצאים מקיבוץ $A$ : אחד אל העיירה $B$ , באורך $6$ ק״מ, והשני אל העיירה $C$ , באורך $9$ ק״מ. בין העיירות עובר כביש ישר באורך $10$ ק״מ. סוללים דרך חדשה שיוצאת מ- $A$ וחוצה בדיוק את הזווית שבין שני הכבישים, עד הכביש $BC$ . היא פוגשת אותו בנקודה $D$ .

AD חוצה את הזווית שבין AB ל-AC.

נחשו לפני שממשיכים: $D$ באמצע $BC$ ? ואם לא — היא קרובה יותר ל- $B$ או ל- $C$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא באמצע. $D$ קרובה יותר ל- $B$ , לצד של הכביש הקצר. בהמשך נחשב: $BD = 4$ ק״מ ו- $DC = 6$ ק״מ — אותו יחס כמו $6 : 9$ .

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

משפט חוצה הזווית: חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים שהיחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית.

כל קטע נמצא ליד הצלע «שלו»: $BD$ צמוד ל- $AB$ , ו- $DC$ צמוד ל- $AC$ . ההוכחה משתמשת במשפט תאלס, ורעיון אחד בה חוזר בהרבה שאלות: מעבירים ישר מקביל.

דרך C מעבירים ישר מקביל ל-AD, עד שהוא פוגש את המשך BA בנקודה E.

פעילות אינטראקטיבית

הוכחת משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}\angle BAD &= \angle DAC \;\Rightarrow\; \frac{BD}{DC} \\ &= \frac{AB}{AC}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הבנייה נמצאת בשרטוט שמעל.

בנייה

CE \parallel DA

דרך $C$ מעבירים ישר מקביל ל- $AD$ . הוא פוגש את המשך $BA$ בנקודה $E$ .

מתאימות

\angle AEC = \angle BAD

זוויות מתאימות בין המקבילים $CE$ ו- $DA$ .

מתחלפות

\angle ACE = \angle DAC

זוויות מתחלפות בין אותם מקבילים.

חוצה

\angle AEC = \angle ACE

$\angle BAD = \angle DAC$ , כי $AD$ חוצה זווית.

שווה שוקיים

AE = AC

במשולש $ACE$ מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות.

תאלס

\frac{BD}{DC} = \frac{BA}{AE}

במשולש $BCE$ הישר $AD$ מקביל לצלע $EC$ .

מסקנה

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

מציבים $AE = AC$ .

שימו לב: אין כאן דמיון משולשים. תאלס ומשולש שווה שוקיים מספיקים.

לעשות את הפעילות ב-elev

במשולש שווה שוקיים $AB = AC$ . מה אומר המשפט על חוצה זווית הראש?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1$ , כלומר $D$ אמצע $BC$ : חוצה זווית הראש הוא גם תיכון. תכונה שהכרתם — והמשפט מכליל אותה לכל משולש.

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

המשפט ההפוך: אם הנקודה $D$ על הצלע $BC$ מקיימת $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ , אז $AD$ חוצה את הזווית $A$ . כך מוכיחים חציית זווית מתוך אורכים בלבד, בלי למדוד אף זווית. בתכנית לומדים את המשפט ואת ההפוך לו לחוצה הזווית הפנימית בלבד.

מיחס אל אורכים

בשאלות נתון בדרך כלל $BC$ כולו, ולא $BD$ ו- $DC$ בנפרד. כאן חוזרות הפעולות על פרופורציה מהיחידה של תאלס. בחרו את הצעד הנכון:

פעילות אינטראקטיבית

חוצה זווית כשנתונה הצלע השלמה

במשולש $ABC$ נתון $AB = 8$ , $AC = 12$ ו- $BC = 15$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $BD$ .

מה כותבים קודם?

$\frac{BD}{DC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

כן. הצלעות הכולאות את הזווית $A$ הן $AB$ ו- $AC$ , ו- $BD$ צמוד ל- $AB$ .

$\frac{BD}{DC} = \frac{12}{8}$

להציג את התשובה והפתרון

הפוך. $BD$ צמוד ל- $AB$ , ולכן $AB$ במונה.

$BD = DC = 7.5$

להציג את התשובה והפתרון

חוצה זווית הוא תיכון רק כש- $AB = AC$ .

\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}

היחס בין שני החלקים.

איך עוברים מהיחס אל $BD$ ?

$BD = 2t$ ו- $DC = 3t$ , ולכן $5t = 15$

להציג את התשובה והפתרון

כן. חלוקה ביחס $2 : 3$ היא חמישה חלקים שווים.

$BD = \frac{2}{3} \cdot 15$

להציג את התשובה והפתרון

זה נותן $BD = 10$ ו- $DC = 5$ , כלומר יחס $2 : 1$ . «חלק על חלק» לא כופלים בשלם.

\begin{aligned}5t &= 15 \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}

האורך של חלק אחד.

מהם האורכים?

$BD = 6$ ו- $DC = 9$

להציג את התשובה והפתרון

בדיקה: $6 + 9 = 15$ ו- $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

$BD = 9$ ו- $DC = 6$

להציג את התשובה והפתרון

החלפתם. הקטע הקצר צמוד לצלע הקצרה $AB$ .

\begin{aligned}BD &= 6 \\ \quad DC &= 9\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

$BD = 6$ . בקיצור: $BD = \frac{AB}{AB + AC} \cdot BC$ — «חלק על שלם» מול הצלע השלמה.

לעשות את הפעילות ב-elev

BD = \frac{AB}{AB + AC} \cdot BC

כלל נוח לבדיקה. בבגרות כותבים את שלבי הפרופורציה.

חוצה זווית במשולש ישר זווית

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 6$ ו- $BC = 8$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ . מצאו את $BD$ ואת $AD$ .

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{6}{10} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= 3t \\ \; DC &= 5t \\ \; 8t &= 8 \Rightarrow t \\ &= 1\end{aligned}

חלוקה ביחס $3 : 5$

BD = 3

\begin{aligned}AD &= \sqrt{6^2 + 3^2} \\ &= \sqrt{45} \\ &= 3\sqrt{5} \approx 6.71\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ABD$

שלוש טעויות של חוצה הזווית.

\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB}

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

כל קטע ליד הצלע הצמודה לו.

BD = DC

\begin{aligned}BD &= DC \iff AB \\ &= AC\end{aligned}

חוצה זווית הוא תיכון רק במשולש שווה שוקיים.

\frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AC}

\frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AB + AC}

מול הצלע השלמה $BC$ עומד הסכום $AB + AC$ .

$AB = 5$ , $AC = 7$ ו- $BC = 9$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ . מהו $DC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$DC = \frac{7}{12} \cdot 9 = 5.25$ . בדיקה: $BD = 3.75$ , ו- $\frac{3.75}{5.25} = \frac{5}{7}$ .

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 9$ ו- $BC = 10$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ . מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= 2t \\ \; DC &= 3t \\ \; 5t &= 10\end{aligned}

BD = 4

$BD = 4$ . המלכודת: $BD = 5$ — לחשוב שחוצה הזווית פוגש את $BC$ באמצע. או $BD = 6$ — יחס הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $A$ . נתון $AB = 8$ , $AC = 12$ ו- $BD = 4$ . מצאו את $DC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{4}{DC} = \frac{8}{12}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}DC &= \frac{4 \cdot 12}{8} \\ &= 6\end{aligned}

כפל בהצלבה

$DC = 6$ . המלכודת: $\frac{4}{DC} = \frac{12}{8}$ נותן $DC = \frac{8}{3}$ — ואז הקטע הקצר ליד הצלע הארוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $A$ , $BD = 3$ ו- $DC = 5$ . היקף המשולש הוא $32$ . מצאו את $AC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}AB + AC &= 32 - 8 \\ &= 24\end{aligned}

$BC = 3 + 5 = 8$

\frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}AB &= 3t \\ \; AC &= 5t \\ \; 8t &= 24\end{aligned}

AC = 15

$AB = 9$

$AC = 15$ . המלכודת: לחלק את כל ההיקף $32$ ביחס $3 : 5$ — גם $BC$ נכנס לחלוקה בטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $A$ . איזה מהשוויונות הבאים אינו נכון?

$\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$
$\frac{DC}{BD} = \frac{AC}{AB}$
$\frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AB + AC}$
$\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB}$

הפתרון:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

המשפט

\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}

החלפת האמצעים

\frac{BD}{BD + DC} = \frac{AB}{AB + AC}

«חלק על שלם»

התשובה: « $\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB}$ » — היחס הפוך. המלכודת: לפסול את « $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$ » כי הוא נראה אחרת; הוא אותה פרופורציה אחרי החלפת האמצעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הנקודה $D$ על הצלע $BC$ של המשולש $ABC$ . נתון $BD = 4$ , $DC = 6$ , $AB = 10$ ו- $AC = 15$ . הוכיחו או הפריכו: $AD$ חוצה את הזווית $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

\Rightarrow \angle BAD = \angle DAC

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

נכון. המלכודת: לחפש זוויות שוות. כאן היחס הוא הנתון, והמשפט ההפוך מסיק ממנו את חציית הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $A$ . נתון $BD = 3$ , $DC = 5$ , $AB = x$ ו- $AC = x + 4$ . השלימו.

$x =$ ____, ולכן $AB =$ ____ ו- $AC =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 6, ולכן $AB =$ 6 ו- $AC =$ 10

הפתרון:

\frac{x}{x+4} = \frac{3}{5}

משפט חוצה הזווית

5x = 3x + 12

כפל בהצלבה

x = 6

$AB = 6$ , $AC = 10$

בדיקה: $6^2 + 8^2 = 10^2$ — המשולש ישר זווית. המלכודת: $\frac{x}{x+4} = \frac{5}{3}$ , יחס הפוך, שנותן $x$ שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 5$ ו- $BC = 12$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ . מצאו את $BD$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.33

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס

\frac{BD}{DC} = \frac{5}{13}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{5}{18} \cdot 12 \\ &= \frac{10}{3} \approx 3.33\end{aligned}

«חלק על שלם»

$BD = \frac{10}{3} \approx 3.33$ . המלכודת: $\frac{BD}{DC} = \frac{5}{12}$ — לקחת את הניצב $BC$ במקום היתר $AC$ . הצלעות הכולאות את $\angle A$ הן $AB$ ו- $AC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $A$ . דרך $D$ מעבירים $DE \parallel AB$ ( $E$ על $AC$ ). הוכיחו כי $\frac{CE}{EA} = \frac{AC}{AB}$ .

$AD$ חוצה את $\angle BAC$
$DE \parallel AB$

$\frac{CE}{EA} = \frac{AC}{AB}$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}$ — משפט חוצה הזווית
$\frac{CE}{EA} = \frac{CD}{DB}$ — משפט תאלס — $DE \parallel AB$ חותך את שוקי הזווית $C$
$\frac{CE}{EA} = \frac{AC}{AB}$ — כלל המעבר — שני היחסים שווים ל- $\frac{CD}{DB}$

הפתרון:

\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}

חוצה הזווית

\frac{CE}{EA} = \frac{CD}{DB}

תאלס

שני משפטים שונים נותנים שני יחסים עם אגף משותף. המלכודת: להפוך את היחס של חוצה הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ : $AB = 8$ , $AC = 12$ , $BC = 15$ , ו- $AD$ חוצה את הזווית $A$ . תלמיד חישב את $BD$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{8}{12}\end{aligned}

\begin{aligned}BD &= \frac{8}{12} \cdot 15 \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}DC &= 15 - 10 \\ &= 5\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $BD = \frac{8}{12} \cdot 15 = 10$ → $BD = \frac{8}{8 + 12} \cdot 15 = 6$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{BC} &= \frac{AB}{AB + AC} \\ &= \frac{8}{20}\end{aligned}

«חלק על שלם»

\begin{aligned}BD &= 6 \\ \quad DC &= 9\end{aligned}

בדיקה: $\frac{6}{9} = \frac{8}{12}$

השורה השנייה שגויה. בדיקה פשוטה חושפת אותה: $\frac{10}{5} = 2 \ne \frac{2}{3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ ו- $BC = 20$ . חוצה הזווית $A$ פוגש את $BC$ ב- $D$ , וחוצה הזווית $B$ פוגש את $AD$ ב- $I$ . מצאו את היחס $\frac{AI}{ID}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.25

הפתרון:

\begin{aligned}BD &= \frac{10}{25} \cdot 20 \\ &= 8\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש $ABC$

\frac{AI}{ID} = \frac{BA}{BD}

משפט חוצה הזווית במשולש $ABD$ : $BI$ חוצה את $\angle B$

\begin{aligned}\frac{AI}{ID} &= \frac{10}{8} \\ &= 1.25\end{aligned}

$\frac{AI}{ID} = 1.25$ . המלכודת: להשתמש בכל $BC = 20$ במשולש $ABD$ . במשולש $ABD$ הצלעות הכולאות את $\angle B$ הן $BA$ ו- $BD$ , ולא $BC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev