פרופורציה ודמיון · פרופורציה ודמיון · כיתה י׳

בצהריים, בחצר בית ספר בבאר שבע, מקל שגובהו $1.5$ מטר מטיל צל של $2$ מטר. באותו רגע עמוד תאורה מטיל צל של $12$ מטר. איך יודעים את גובה העמוד בלי לטפס עליו?

AB העמוד ו-BC הצל שלו. DE המקל ו-EF הצל שלו. קרני השמש AC ו-DF מקבילות.

למה המשולש $ABC$ והמשולש $DEF$ «נראים אותו דבר»? אילו זוויות בהם שוות?

להציג את התשובה והפתרון

בשניהם יש זווית ישרה (עמוד ומקל מאונכים לקרקע), וזווית השמש שווה: $\angle ACB = \angle DFE$ , כי הקרניים מקבילות. שתי זוויות שוות — המשולשים דומים, ולכן $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{12}{2}$ והעמוד בגובה $9$ מטר.

משולשים דומים

שני משולשים דומים אם הזוויות המתאימות בהם שוות, והצלעות המתאימות פרופורציוניות. היחס הקבוע בין צלעות מתאימות הוא יחס הדמיון $k$ .

חופפות הן מקרה פרטי של דומות, כשיחס הדמיון הוא 1. כל מה שנכון לדמיון נכון גם לחפיפה, אבל לא להפך.

שלושת משפטי הדמיון

\text{ז.ז}

שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של המשולש השני. השלישית שווה ממילא, כי סכום הזוויות $180^\circ$ .

\text{צ.ז.צ}

שתי צלעות פרופורציוניות, והזווית הכלואה ביניהן שווה.

\text{צ.צ.צ}

שלוש הצלעות פרופורציוניות: שלושה יחסים שווים.

במשולש אחד $AB = 4$ , $AC = 6$ ו- $\angle B = 40^\circ$ . במשולש שני $DE = 6$ , $DF = 9$ ו- $\angle E = 40^\circ$ . האם אפשר להסיק דמיון לפי צ.ז.צ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. היחסים שווים ( $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ ), אבל הזווית $B$ אינה כלואה בין $AB$ ל- $AC$ — היא מול $AC$ . צ.ז.צ דורש את הזווית שבין שתי הצלעות.

בפועל כמעט תמיד משתמשים ב-ז.ז — ולכן מחפשים קודם כול זוויות שוות: קודקודיות, מתחלפות בין מקבילים, או זווית משותפת לשני המשולשים.

ההוכחה הראשונה: ישר מקביל לצלע

פעילות אינטראקטיבית

ישר המקביל לצלע יוצר משולש דומה

DE \parallel BC \;\Rightarrow\; \triangle ADE \sim \triangle ABC

לחצו «להתחיל». טענה אחת בכל לחיצה, עם הנימוק שלה.

נתון

DE \parallel BC

$D$ על $AB$ ו- $E$ על $AC$ .

זווית

\angle ADE = \angle ABC

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.

זווית

\angle A = \angle A

זווית משותפת לשני המשולשים.

מסקנה

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז. הסדר: $A \leftrightarrow A$ , $D \leftrightarrow B$ , $E \leftrightarrow C$ .

מכאן יחס הדמיון: $k = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ — בדיוק משפט תאלס המורחב.

לעשות את הפעילות ב-elev

ישר המקביל לצלע במשולש יוצר משולש הדומה למשולש המקורי.

$DE \parallel BC$

להציג את התשובה והפתרון

נתון

$\angle ADE = \angle ABC$

להציג את התשובה והפתרון

זוויות מתאימות בין מקבילים

$\angle A$ משותפת לשני המשולשים

להציג את התשובה והפתרון

אותה זווית עצמה

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$

להציג את התשובה והפתרון

משפט דמיון ז.ז

ומאיפה באים צ.ז.צ ו-צ.צ.צ? מוכיחים אותם בעזרת משפט תאלס המורחב: מקצים על צלע של המשולש הגדול קטע באורך הצלע המתאימה בקטן, מעבירים ישר מקביל ומראים חפיפה. לכן הסדר הוא תאלס ואחריו דמיון — ולא להפך.

סדר האותיות

כשכותבים $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , הכתיבה מצהירה ש- $A$ מתאימה ל- $D$ , $B$ ל- $E$ ו- $C$ ל- $F$ . סדר לא נכון הופך כל יחס שנרשום אחריו ללא נכון.

נתון $\triangle ABC \sim \triangle EFD$ . איזו צלע מתאימה ל- $BC$ , ואיזו זווית שווה ל- $\angle C$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$B \leftrightarrow F$ ו- $C \leftrightarrow D$ , ולכן $BC$ מתאימה ל- $FD$ , ו- $\angle C = \angle D$ .

יחס הדמיון — אורכים, היקפים ושטחים

כאן נמצאת ההפתעה של הפרק. אם יחס הדמיון הוא $k$ , אז כל אורך גדל פי $k$ — ולכן גם ההיקף. אבל השטח גדל פי $k^2$ .

\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \qquad \frac{S_2}{S_1} \\ &= k^2\end{aligned}

הסיבה פשוטה: שטח הוא אורך כפול אורך. אם שניהם גדלו פי $k$ , המכפלה גדלה פי $k \times k$ . ובגופים — הנפח הוא שלושה אורכים, ולכן פי $k^3$ .

k

כל קטע מתאים: צלעות, גבהים, תיכונים וחוצי זוויות מתאימים, היקפים, ורדיוסי המעגל החוסם והחסום.

k^2

שטחים של המשולשים, ושל כל חלק מתאים בהם.

יחס הדמיון בין משולש קטן למשולש גדול הוא $\frac{2}{3}$ . הגובה לצלע הגדולה במשולש הגדול הוא $12$ . מהו הגובה המתאים במשולש הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

גובה הוא אורך, ולכן פי $k$ : $12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ .

משטח אל צלע

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB = 6$ ו- $DE = 9$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $20$ . מצאו את שטח המשולש $DEF$ .

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון, מצלעות מתאימות

\begin{aligned}\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} &= k^2 \\ &= 2.25\end{aligned}

השטחים ביחס בריבוע

\begin{aligned}S_{DEF} &= 20 \cdot 2.25 \\ &= 45\end{aligned}

ולא $30$

דמיון מצולעים

במשולשים די בזוויות. במצולעים אחרים לא — צריך גם זוויות שוות וגם יחס צלעות קבוע, שני התנאים יחד.

שתי הטעויות של הדמיון.

\frac{S_2}{S_1} = k

= k^2

האורכים פי $k$ , השטחים פי $k$ בריבוע. זו הטעות ששווה סעיף שלם.

\begin{aligned}\angle A &= \angle A' \\ \ \dots \\ \ \angle D &= \angle D' \Rightarrow ABCD \sim A'B'C'D'\end{aligned}

כל הזוויות שוות מבטיחות דמיון רק במשולשים, לא במרובעים: לריבוע ולמלבן אותן זוויות בדיוק, והם אינם דומים.

יחס הדמיון בין שני משולשים הוא $k$ . מהו יחס השטחים ומהו יחס ההיקפים?

להציג את התשובה והפתרון

היקפים — $k$ ; שטחים — $k^2$ . וביחס לנפחים בגופים דומים: $k^3$ .

תרגילים

תרגיל 1

איזה מהנתונים הבאים מספיק כדי לקבוע ששני משולשים דומים?

זווית אחת שווה, ויחס של שתי צלעות כלשהן שווה
שני יחסי צלעות שווים
שני המשולשים שווי שוקיים
שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של המשולש השני

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של המשולש השני

הפתרון:

180^\circ - \alpha - \beta

שתי זוויות קובעות את השלישית — משפט ז.ז

\text{צ.ז.צ}

עם זווית אחת צריך שהיא תהיה בין שתי הצלעות, לא «כלשהן»

התשובה: «שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של המשולש השני». המלכודת: «זווית ויחס של שתי צלעות כלשהן» — בלי שהזווית כלואה, זה לא צ.ז.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ל- $ABCD$ , שצלעותיו $4$ ו- $4$ , ול- $EFGH$ , שצלעותיו $6$ ו- $3$ , יש אותן זוויות: ארבע זוויות ישרות. האם המרובעים דומים?

לא — יחסי הצלעות אינם שווים
רק אם ההיקפים שווים
כן, כי כל הזוויות שוות
רק אם השטחים שווים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא — יחסי הצלעות אינם שווים

הפתרון:

\frac{6}{4} = 1.5 \ne \frac{3}{4}

שני יחסי צלעות שונים

\Rightarrow

זוויות בלבד — לא מספיק: ז.ז הוא משפט של משולשים בלבד

התשובה: «לא — יחסי הצלעות אינם שווים». המלכודת: להעביר את ז.ז למרובעים. במצולע שאינו משולש צריך זוויות שוות וגם צלעות פרופורציוניות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

יחס הדמיון בין שני משולשים הוא $3:5$ . היקף הקטן 24. מהו היקף הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{P_1}{P_2} &= k \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

ההיקפים ביחס הדמיון עצמו

\begin{aligned}\frac{24}{P_2} &= \frac{3}{5} \Rightarrow P_2 \\ &= 40\end{aligned}

כפל בהצלבה

$P_2 = 40$ . המלכודת: להעלות בריבוע ולקבל $66\frac{2}{3}$ — ההיקף גדל כמו הצלע, פי $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

יחס הדמיון בין שני משולשים הוא $3:5$ . שטח הקטן 18. מהו שטח הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{S_1}{S_2} &= k^2 \\ &= \frac{9}{25}\end{aligned}

השטחים ביחס בריבוע

\begin{aligned}\frac{18}{S_2} &= \frac{9}{25} \Rightarrow S_2 \\ &= 50\end{aligned}

כפל בהצלבה

$S_2 = 50$ . המלכודת: $\frac{18}{S_2} = \frac{3}{5}$ נותן $30$ — השטח גדל פי $k^2$ , לא פי $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שטחי שני משולשים דומים הם $9$ ו- $25$ . מהו יחס ההיקפים?

$1:3$
$3:5$
$9:25$
$81:625$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $3:5$

הפתרון:

k^2 = \frac{9}{25}

יחס השטחים

k = \frac{3}{5}

מוציאים שורש

\begin{aligned}\frac{P_1}{P_2} &= k \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

וההיקפים ביחס $k$

התשובה: « $3:5$ ». המלכודת: « $9:25$ » — להעתיק את יחס השטחים. מהשטח אל הצלע מוציאים שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

היקפי שני משולשים דומים הם 12 ו-30. פי כמה גדול שטח הגדול משטח הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.25

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{30}{12} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס הדמיון מההיקפים

k^2 = 6.25

השטחים ביחס בריבוע

פי $6.25$ . המלכודת: לענות $2.5$ — היקף גדול פי $2.5$ נותן שטח גדול פי $6.25$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ , הישר $DE$ מקביל לצלע $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). הוכיחו: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ .

$DE \parallel BC$
$D$ על $AB$ ו- $E$ על $AC$

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle A = \angle A$ — זווית משותפת לשני המשולשים
$\angle ADE = \angle ABC$ — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים $DE \parallel BC$
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ — ז.ז — שתי זוויות שוות בהתאמה

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ABC \\ \quad \angle A &= \angle A\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים, וזווית משותפת

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז

המלכודת: לנמק ב«צ.צ.צ» או לצטט את משפט תאלס. שתי זוויות שוות מספיקות, ואין צורך באף אורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 16$ ו- $BC = 14$ . הנקודה $D$ על $AB$ כך ש- $AD = 8$ , והנקודה $E$ על $AC$ כך ש- $AE = 6$ . מצאו את $DE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AC} &= \frac{8}{16} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad \frac{AE}{AB} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שני יחסים שווים

\angle A = \angle A

הזווית הכלואה משותפת

\triangle ADE \sim \triangle ACB

צ.ז.צ — $D \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow B$

\begin{aligned}\frac{DE}{CB} &= \frac{1}{2} \Rightarrow DE \\ &= 7\end{aligned}

$DE = 7$ . המלכודת: להניח $DE \parallel BC$ ולהשוות $\frac{AD}{AB}$ ל- $\frac{AE}{AC}$ — היחסים $\frac{8}{12}$ ו- $\frac{6}{16}$ שונים. $D$ מתאימה ל- $C$ , לא ל- $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

AB העמוד ו-BC הצל שלו. DE המקל ו-EF הצל שלו. קרני השמש AC ו-DF מקבילות.

מקל שגובהו $1.5$ מטר מטיל צל שאורכו $2$ מטר. באותו רגע עמוד מטיל צל שאורכו $12$ מטר. מה גובה העמוד, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ABC &= \angle DEF \\ &= 90^\circ \\ \quad \angle ACB &= \angle DFE\end{aligned}

זווית ישרה וזווית השמש

\triangle ABC \sim \triangle DEF

ז.ז

\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \Rightarrow \frac{AB}{1.5} \\ &= \frac{12}{2}\end{aligned}

צלעות מתאימות

AB = 9

$9$ מטר. המלכודת: $\frac{AB}{12} = \frac{2}{1.5}$ — גובה מול צל באגף אחד, וצל מול גובה באגף השני. נותן $16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: אילו נתונים על $\triangle ABC$ ו- $\triangle DEF$ מבטיחים שהם דומים?

מבטיח דמיון
לא מבטיח

זווית אחת שווה
שלושה יחסי צלעות שווים
שני יחסי צלעות שווים והזווית שביניהן שווה
שני יחסי צלעות שווים וזווית שאינה ביניהן שווה
שני משולשים ישרי זווית
שני משולשים שווי צלעות
שני משולשים שווי שוקיים שזוויות הראש שלהם שוות
שתי זוויות שוות בהתאמה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שתי זוויות שוות בהתאמה — מבטיח דמיון · שלושה יחסי צלעות שווים — מבטיח דמיון · שני יחסי צלעות שווים והזווית שביניהן שווה — מבטיח דמיון · שני יחסי צלעות שווים וזווית שאינה ביניהן שווה — לא מבטיח · זווית אחת שווה — לא מבטיח · שני משולשים שווי צלעות — מבטיח דמיון · שני משולשים ישרי זווית — לא מבטיח · שני משולשים שווי שוקיים שזוויות הראש שלהם שוות — מבטיח דמיון

הפתרון:

\Rightarrow

שלושת משפטי הדמיון: ז.ז, צ.ז.צ, צ.צ.צ

60^\circ, 60^\circ

שווי צלעות: ז.ז

\alpha, \; \frac{180^\circ - \alpha}{2}

שווי שוקיים עם זווית ראש שווה: כל הזוויות שוות

המלכודת: «שני משולשים ישרי זווית» — זווית ישרה היא זווית אחת בלבד. צריך עוד זווית חדה שווה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

משולשים דומים

שלושת משפטי הדמיון

ההוכחה הראשונה: ישר מקביל לצלע

סדר האותיות

יחס הדמיון — אורכים, היקפים ושטחים

דמיון מצולעים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev