משפט תאלס · פרופורציה ודמיון · כיתה י׳

שתי דרכי עפר בעמק יזרעאל יוצאות מאותו צומת $A$ . שתי תעלות השקיה מקבילות חוצות אותן: הקרובה לצומת בנקודות $D$ ו- $E$ , והרחוקה בנקודות $B$ ו- $C$ . על הדרך הראשונה מדדו $AD = 30$ מטר ו- $DB = 20$ מטר, ועל השנייה $AE = 45$ מטר. אפשר לדעת כמה זה $EC$ בלי ללכת ולמדוד?

שתי הדרכים יוצאות מהצומת A. התעלות DE ו-BC מקבילות.

ישר מקביל לצלע — היחס לא משתנה

בווידג'ט: כש- $D$ בדיוק באמצע $AB$ , איפה נמצאת $E$ ?

להציג את התשובה והפתרון

באמצע $AC$ . היחס $\frac{AD}{DB}$ שווה ל- $1$ , ולכן גם $\frac{AE}{EC} = 1$ . זה משפט קטע האמצעים מכיתה ט — מקרה פרטי של מה שלומדים עכשיו.

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תאלס: שני ישרים מקבילים החותכים את שוקי הזווית מקצים על השוקיים קטעים פרופורציוניים.

בחזרה לשדה: $\frac{30}{20} = \frac{45}{EC}$ , ולכן $30 \cdot EC = 900$ ו- $EC = 30$ מטר. אותו משפט עובד גם בלי משולש: שלושה ישרים מקבילים או יותר שחותכים שני ישרים מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים.

משחקים עם הפרופורציה

לפעמים נתון «חלק על חלק» ( $\frac{AD}{DB}$ ) ושואלים על «חלק על שלם» ( $\frac{AD}{AB}$ ). שלוש פעולות מותרות על כל פרופורציה $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , ובשלושתן מכפלת ההצלבה $ad = bc$ נשארת נכונה:

\begin{aligned}\frac{a}{b} &= \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a+b}{b} \\ &= \frac{c+d}{d}\end{aligned}

מוסיפים $1$ לשני האגפים: מ«חלק על חלק» ל«שלם על חלק».

\begin{aligned}\frac{a}{b} &= \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{a+b} \\ &= \frac{c}{c+d}\end{aligned}

הופכים, מוסיפים $1$ והופכים שוב: «חלק על שלם».

\begin{aligned}\frac{a}{b} &= \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} \\ &= \frac{b}{d}\end{aligned}

מחליפים בין האמצעים: שני הקטעים של שוק אחת באותו אגף.

פעילות אינטראקטיבית

מ«חלק על חלק» אל «חלק על שלם»

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{AE}{EC} \;\Rightarrow\; \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{AE}{AC}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל שורה היא פעולה מותרת אחת על הפרופורציה.

הופכים

\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE}

אם שני שברים שווים, גם ההפכיים שלהם שווים.

מוסיפים 1

\frac{DB}{AD} + 1 = \frac{EC}{AE} + 1

מוסיפים אותו מספר לשני האגפים.

מכנה משותף

\frac{AD + DB}{AD} = \frac{AE + EC}{AE}

כותבים כל אגף כשבר אחד.

שלם

\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}

$D$ על $AB$ , ולכן $AD + DB = AB$ . כך גם $AE + EC = AC$ .

הופכים שוב

\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}

זו הצורה השנייה של משפט תאלס, «חלק על שלם».

אותה דרך בדיוק עוברת גם מ- $\frac{AD}{DB}$ אל $\frac{DB}{AB}$ . כדאי לדעת לעשות אותה, לא לשנן את התוצאה.

לעשות את הפעילות ב-elev

משפט תאלס המורחב — גם הצלע השלישית

DE מקביל ל-BC: המשולש ADE קטן, והמשולש ABC גדול.

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AE}{AC} \\ &= \frac{DE}{BC}\end{aligned}

משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לצלע במשולש מקצה על שתי הצלעות האחרות קטעים הפרופורציוניים לצלעות המשולש — וגם הקטע $DE$ עצמו נכנס לפרופורציה.

ב- $\frac{DE}{BC}$ המכנה הוא צלע שלמה. לכן גם היחסים שלצידו חייבים להיות «חלק על שלם»: $\frac{AD}{AB}$ , ולא $\frac{AD}{DB}$ .

$DE \parallel BC$ , $AD = 2$ , $DB = 3$ ו- $BC = 10$ . מהו $DE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{DE}{10} = \frac{2}{5}$ , ולכן $DE = 4$ . מי שכתב $\frac{DE}{10} = \frac{2}{3}$ קיבל $6.67$ — הוא ערבב «חלק על חלק» עם צלע שלמה.

המשפט המורחב עובד גם כשהמקבילים נמצאים משני צידי הקודקוד: הישרים $AD$ ו- $BC$ נחתכים ב- $O$ , ו- $AB \parallel CD$ . הקטעים יושבים על המשכי שוקי הזווית, והצורה נראית כמו שעון חול.

AD ו-BC נחתכים ב-O, ו-AB מקביל ל-CD.

\begin{aligned}\frac{OA}{OD} &= \frac{OB}{OC} \\ &= \frac{AB}{DC}\end{aligned}

המשפט ההפוך למשפט תאלס

המשפט ההפוך למשפט תאלס: אם ישר חותך את שוקי הזווית ומקצה עליהן קטעים פרופורציוניים, אז הוא מקביל לישר השני. כך מוכיחים הקבלה מתוך מספרים בלבד, בלי למדוד אף זווית.

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow DE \parallel BC

מספיק. זה המשפט ההפוך.

\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow DE \parallel BC

מספיק. אותו יחס, בצורת «חלק על שלם».

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \;\nRightarrow\; DE \parallel BC

לא מספיק. היחס קובע את אורך $DE$ אבל לא את הכיוון שלו: יש לפעמים שתי נקודות $E$ על $AC$ שנותנות אותו אורך.

למה אי אפשר להוכיח את משפט תאלס בעזרת דמיון משולשים?

להציג את התשובה והפתרון

כי משפטי הדמיון עצמם מוכחים בעזרת תאלס. הוכחה כזאת הייתה מעגלית: היא משתמשת במה שרוצים להוכיח. תאלס הוא היסוד, והדמיון נבנה עליו.

קודם הקבלה, אחר כך אורך

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 4$ , $DB = 6$ , $AE = 5$ , $EC = 7.5$ ו- $BC = 20$ . הוכיחו כי $DE \parallel BC$ ומצאו את $DE$ .

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

חישוב מהנתונים

\begin{aligned}\frac{AE}{EC} &= \frac{5}{7.5} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

חישוב מהנתונים

DE \parallel BC

המשפט ההפוך למשפט תאלס

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{4}{10}\end{aligned}

משפט תאלס המורחב — מותר רק אחרי שהוכחנו הקבלה

\begin{aligned}DE &= 20 \cdot 0.4 \\ &= 8\end{aligned}

התוצאה

שלוש הטעויות של תאלס.

\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

מול צלע שלמה עומד «חלק על שלם».

\frac{AD}{DB} = \frac{EC}{AE}

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

בשני האגפים אותו סדר: הקטע הקרוב לקודקוד במונה.

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \Rightarrow DE \parallel BC

\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow DE \parallel BC

המשפט ההפוך מדבר רק על קטעים שעל שוקי הזווית.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל לצלע $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 6$ , $DB = 4$ ו- $AE = 9$ . מצאו את $EC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תאלס

\frac{6}{4} = \frac{9}{EC}

מציבים

\begin{aligned}EC &= \frac{9 \cdot 4}{6} \\ &= 6\end{aligned}

כפל בהצלבה

$EC = 6$ . המלכודת: לכתוב $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{EC}$ — שלם באגף אחד וחלק באגף השני — ולקבל $15$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ . נתון $AD = 4$ , $DB = 6$ ו- $BC = 15$ . מצאו את $DE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 4 + 6 \\ &= 10\end{aligned}

הצלע השלמה

\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}

משפט תאלס המורחב

\begin{aligned}DE &= 15 \cdot \frac{4}{10} \\ &= 6\end{aligned}

$DE = 6$ . המלכודת: $\frac{DE}{15} = \frac{4}{6}$ נותן $10$ — «חלק על חלק» מול צלע שלמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הקטעים $AD$ ו- $BC$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AB \parallel CD$ . נתון $OA = 6$ , $OD = 9$ ו- $AB = 8$ . מצאו את $CD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\frac{OA}{OD} = \frac{AB}{DC}

משפט תאלס המורחב (המקבילים משני צידי הקודקוד $O$ )

\frac{6}{9} = \frac{8}{CD}

מציבים

\begin{aligned}CD &= \frac{8 \cdot 9}{6} \\ &= 12\end{aligned}

$CD = 12$ . המלכודת: להפוך את היחס ולקבל $5\frac{1}{3}$ — הצלע $CD$ נמצאת בצד של $OD$ , הקטע הארוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 3$ , $AB = 9$ , $DE = 2$ ו- $BC = 6$ . הוכיחו או הפריכו: $DE \parallel BC$ בהכרח.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{DE}{BC}\end{aligned}

היחסים אכן שווים, אבל זה לא היחס שבמשפט ההפוך

\begin{aligned}AC &= 12: \quad AE \\ &= 4 \;\text{או}\; AE \\ &= 1.25\end{aligned}

דוגמה נגדית: המעגל שמרכזו $D$ ורדיוסו $2$ חותך את $AC$ בשתי נקודות

\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3} \ne \frac{1.25}{12}

בנקודה $AE = 1.25$ (בשרטוט) $DE = 2$ , אבל $DE$ אינו מקביל ל- $BC$

לא נכון. המלכודת: להפעיל את המשפט ההפוך על יחס שמופיע בו $DE$ . המשפט ההפוך דורש קטעים על שתי שוקי הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ . איזה מהשוויונות הבאים אינו נכון בהכרח?

$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$
$\frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}$
$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AE}{AC} \\ &= \frac{DE}{BC}\end{aligned}

משפט תאלס המורחב — שלם מול שלם

\begin{aligned}\frac{DB}{AB} &= 1 - \frac{AD}{AB} \\ &= 1 - \frac{AE}{AC} \\ &= \frac{EC}{AC}\end{aligned}

גם «החלק התחתון על השלם» שווה בשתי השוקיים

התשובה: « $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$ ». המלכודת: $DE$ שייך למשולש הקטן, ולכן הוא עומד מול יחס של «חלק על שלם».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ , ו- $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}$ . נתון $AB = 20$ ו- $BC = 25$ . השלימו.

$AD =$ ____, $DB =$ ____, $DE =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AD =$ 8, $DB =$ 12, $DE =$ 10

הפתרון:

\begin{aligned}AD &= 2t \\ \; DB &= 3t \\ \; 5t &= 20\end{aligned}

חלוקה ביחס $2:3$ היא חמישה חלקים שווים

\begin{aligned}t &= 4 \Rightarrow AD \\ &= 8 \\ \; DB &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}DE &= 25 \cdot \frac{8}{20} \\ &= 10\end{aligned}

משפט תאלס המורחב

המלכודת: $DE = 25 \cdot \frac{2}{3}$ . מול $BC$ השלם צריך $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}$ , לא $\frac{2}{3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ . נתון $AD = x$ , $DB = 6$ , $AE = 4$ ו- $EC = x + 2$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\frac{x}{6} = \frac{4}{x+2}

משפט תאלס

x^2 + 2x - 24 = 0

כפל בהצלבה

(x + 6)(x - 4) = 0

פירוק

x = 4

$x = -6$ נפסל: אורך קטע חיובי

$x = 4$ . המלכודת: להשאיר את הפתרון $x = -6$ . בגאומטריה בודקים כל פתרון מול המשמעות שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שלושה ישרים מקבילים $AD$ , $BE$ ו- $CF$ חותכים שני ישרים: הראשון בנקודות $A$ , $B$ , $C$ והשני בנקודות $D$ , $E$ , $F$ . נתון $AB = 4$ , $BC = 6$ ו- $DE = 5$ . מצאו את $EF$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

משפט תאלס — המקבילים מקצים קטעים פרופורציוניים

\frac{4}{6} = \frac{5}{EF}

\begin{aligned}EF &= \frac{30}{4} \\ &= 7.5\end{aligned}

$EF = 7.5$ . המלכודת: לחשוב ש- $EF = BC = 6$ . הקטעים פרופורציוניים, לא שווים — הם שווים רק כשהחותכים מקבילים זה לזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 6$ , $DB = 4$ , $AE = 9$ ו- $EC = 6$ . הוכיחו כי $\angle ADE = \angle ABC$ .

$AD = 6$ , $DB = 4$
$AE = 9$ , $EC = 6$

$\angle ADE = \angle ABC$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{AD}{DB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ — חישוב מהנתונים
$\frac{AE}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ — חישוב מהנתונים
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ — שני היחסים שווים ל- $\frac{3}{2}$
$DE \parallel BC$ — המשפט ההפוך למשפט תאלס
$\angle ADE = \angle ABC$ — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

הפתרון:

\frac{6}{4} = \frac{9}{6}

קודם מוכיחים הקבלה מהמספרים

DE \parallel BC \Rightarrow \angle ADE = \angle ABC

ורק אחר כך מסיקים זוויות

המלכודת: לנמק «משפט תאלס» במקום «המשפט ההפוך למשפט תאלס». כאן ההקבלה היא המסקנה, לא הנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$DE \parallel BC$ , $AD = 5$ , $DB = 10$ ו- $DE = 4$ . תלמיד חישב את $BC$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}

\frac{5}{10} = \frac{4}{BC}

BC = 8

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$ → $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \Rightarrow \frac{5}{15} = \frac{4}{BC} \Rightarrow BC = 12$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 5 + 10 \\ &= 15\end{aligned}

הצלע השלמה

\begin{aligned}\frac{5}{15} &= \frac{4}{BC} \Rightarrow BC \\ &= 12\end{aligned}

משפט תאלס המורחב

השורה הראשונה שגויה, ושתי האחרות רק ממשיכות אותה. $BC = 12$ , לא $8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ישר מקביל לצלע — היחס לא משתנה

משחקים עם הפרופורציה

משפט תאלס המורחב — גם הצלע השלישית

המשפט ההפוך למשפט תאלס

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev