סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות מלאות בפורמט הבגרות, מפורקות לסעיפים: פונקציית שורש (סעיפים 1–4), היפרבולה (5–7), ופרבולה עם 1f\frac{1}{f} ו-f2f^2 (8–10). כל סעיף נשען על הקודם — פתרו לפי הסדר, והעתיקו לעצמכם את הנתון פעם אחת.

בבגרות, סעיף שנראה חדש כמעט תמיד משתמש בתשובה של הסעיף הקודם. אם מצאתם את נקודת החיתוך בסעיף ב, השיקוף בסעיף ד הוא שורה אחת.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=−2x+4+6f(x)=-2\sqrt{x+4}+6. א. תחום ההגדרה של ff הוא x≥cx\ge c. מהו cc?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

x+4≥0⇒x≥−4x+4\ge 0 \Rightarrow x\ge -4

תנאי השורש

המלכודת: לקחת את 6 או את −2-2 בחשבון. התחום נקבע רק ממה שבתוך השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=−2x+4+6f(x)=-2\sqrt{x+4}+6. ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

עם ציר ה-xx: x=x= ____ ; עם ציר ה-yy: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה-xx: x=x= 5 ; עם ציר ה-yy: y=y= 2

הפתרון:

−2x+4+6=0⇒x+4=3\begin{aligned}-2\sqrt{x+4}+6 &= 0 \Rightarrow \sqrt{x+4} \\ &= 3\end{aligned}

מבודדים את השורש

x+4=9⇒x=5\begin{aligned}x+4 &= 9 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

ציר xx: (5, 0)(5,\,0)

f(0)=−2⋅2+6=2\begin{aligned}f(0) &= -2\cdot 2+6 \\ &= 2\end{aligned}

ציר yy: (0, 2)(0,\,2) — x=0x=0 בתחום

המלכודת: לכתוב x+4=3x+4=3 — שוכחים להעלות בריבוע. בדיקה: −2⋅3+6=0-2\cdot 3+6=0 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=−2x+4+6f(x)=-2\sqrt{x+4}+6. ג. מהי קבוצת הערכים של ff?

  1. y≤2y\le 2
  2. y≥−4y\ge -4
  3. y≤6y\le 6
  4. y≥6y\ge 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y≤6y\le 6

הפתרון:

x+4≥0⇒−2x+4≤0\sqrt{x+4}\ge 0 \Rightarrow -2\sqrt{x+4}\le 0

המקדם שלילי

y≤6y\le 6

נקודת ההתחלה (−4, 6)(-4,\,6) היא הנקודה הגבוהה ביותר

המלכודת: לענות y≤2y\le 2 — זה רק החיתוך עם ציר ה-yy, לא הנקודה הגבוהה. התשובה: y≤6y\le 6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=−2x+4+6f(x)=-2\sqrt{x+4}+6. ד. נגדיר k(x)=f(−x)k(x)=f(-x). באיזה xx חותך הגרף של kk את ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

(5, 0)→(−5, 0)(5,\,0)\rightarrow(-5,\,0)

שיקוף בציר ה-yy מחליף את הסימן של xx

k(−5)=f(5)=0\begin{aligned}k(-5) &= f(5) \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה בהצבה

המלכודת: לפתור מחדש ולטעות בסימן, או לענות 5. השיקוף בציר ה-yy לא משנה גבהים, רק מעביר צד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה g(x)=3x−2−1g(x)=\frac{3}{x-2}-1. א. מהן האסימפטוטות של gg?

  1. x=2x=2 ו-y=3y=3
  2. x=2x=2 ו-y=−1y=-1
  3. x=2x=2 ו-y=1y=1
  4. x=−2x=-2 ו-y=−1y=-1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=2x=2 ו-y=−1y=-1

הפתרון:

x−2=0⇒x=2\begin{aligned}x-2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

אנכית

k=−1k=-1

אופקית

המלכודת: להפוך גם את הסימן של kk, או לבחור את המונה 3. התשובה: x=2x=2 ו-y=−1y=-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה g(x)=3x−2−1g(x)=\frac{3}{x-2}-1. ב. באיזה xx חותך הגרף של gg את ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

3x−2=1\frac{3}{x-2}=1

מציבים y=0y=0 ומעבירים אגף

x−2=3⇒x=5\begin{aligned}x-2 &= 3 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לענות x=2x=2 — שם האסימפטוטה, והגרף לא מגיע אליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה g(x)=3x−2−1g(x)=\frac{3}{x-2}-1. ג. נגדיר m(x)=g(x)+cm(x)=g(x)+c. עבור איזה cc עובר הגרף של mm דרך ראשית הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

g(0)=3−2−1=−52\begin{aligned}g(0) &= \frac{3}{-2}-1 \\ &= -\frac{5}{2}\end{aligned}

הגובה של gg ב-0

m(0)=−52+c=0\begin{aligned}m(0) &= -\frac{5}{2}+c \\ &= 0\end{aligned}

רוצים גובה 0

c=52=2.5\begin{aligned}c &= \frac{5}{2} \\ &= 2.5\end{aligned}

הזזה למעלה ב-2.5

המלכודת: לענות c=−2.5c=-2.5. אם הגרף נמצא ב-−2.5-2.5, צריך להעלות אותו — לחבר 2.52.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4f(x)=x^2-4, ונגדיר g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)} ו-h(x)=(f(x))2h(x)=\left(f(x)\right)^2. א. מהן האסימפטוטות של gg?

  1. x=−2x=-2, x=2x=2 ו-y=0y=0
  2. x=−2x=-2, x=2x=2 ו-y=−4y=-4
  3. y=−4y=-4 בלבד
  4. x=2x=2 ו-y=0y=0 בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x=−2x=-2, x=2x=2 ו-y=0y=0

הפתרון:

x2−4=0⇒x=±2\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

אנכיות באפסים של ff

⇒g≈0\Rightarrow g\approx 0

כש-ff גדלה מאוד: אופקית y=0y=0

המלכודת: לקחת את הגובה של הקדקוד, −4-4, לאסימפטוטה. הקדקוד הופך לנקודת קיצון של gg, לא לאסימפטוטה. התשובה: x=−2x=-2, x=2x=2 ו-y=0y=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4f(x)=x^2-4, ונגדיר g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)} ו-h(x)=(f(x))2h(x)=\left(f(x)\right)^2. ב. לפונקציה gg נקודת קיצון בין האסימפטוטות האנכיות. מהו שיעור ה-yy שלה? (תשובה עשרונית)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.25

הפתרון:

f(0)=−4f(0)=-4

המינימום של ff ב-x=0x=0

g(0)=1−4=−0.25\begin{aligned}g(0) &= \frac{1}{-4} \\ &= -0.25\end{aligned}

המקסימום של gg בקטע −2<x<2-2<x<2

המלכודת: לענות −4-4 או 0.250.25. ההופכי שומר על הסימן והופך את הגודל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4f(x)=x^2-4, ונגדיר g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)} ו-h(x)=(f(x))2h(x)=\left(f(x)\right)^2. ג. הוכיחו או הפריכו: הגרף של hh נוגע בציר ה-xx בשתי נקודות, ול-hh יש נקודת מקסימום מקומי (0, 16)(0,\,16).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

h(±2)=0h(\pm 2)=0

באפסים של ff הגרף של hh נוגע בציר — מינימום

h(0)=(−4)2=16\begin{aligned}h(0) &= (-4)^2 \\ &= 16\end{aligned}

הגובה ב-0

−4≤f(x)<0 בסביבת 0⇒0<h(x)≤16-4\le f(x)<0\ \text{בסביבת } 0 \Rightarrow 0<h(x)\le 16

בסביבה ∣f∣|f| הכי גדול ב-0 — מקסימום מקומי

הטענה נכונה. המלכודת: להעתיק את המינימום של ff ב-0 כמינימום של hh. שם ff שלילית ורחוקה מאפס — ולכן f2f^2 מקבלת מקסימום מקומי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת