סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הסדרה המתקדמת בודקת את מה שקל לפספס: סדר הטרנספורמציות, מה כפל במספר שלילי עושה לקבוצת ערכים, ומה קורה לערכים שבין −1-1 ל-1 כשעוברים ל-1f\frac{1}{f} או ל-f2f^2. יש כאן גם שאלת «האם ייתכן» והוכחה של סימטריה.

כשהסדר חשוב — הציבו. כתבו מה קורה ל-x\sqrt{x} אחרי הצעד הראשון, ואז החליפו xx לפי הצעד השני. שורה אחת של הצבה חוסכת ניחוש.

תרגילים

תרגיל 1

עבור איזה ערך של kk עובר הגרף של y=2x−1+ky=\frac{2}{x-1}+k דרך ראשית הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

0=20−1+k0=\frac{2}{0-1}+k

מציבים (0,0)(0,0)

0=−2+k⇒k=2\begin{aligned}0 &= -2+k \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לחשוב שהיפרבולה לא יכולה לעבור בראשית. רק האסימפטוטות «אסורות» — והן כאן x=1x=1, y=2y=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גרף מהמשפחה y=ax−p+ky=a\sqrt{x-p}+k יוצא מהנקודה (−3, 2)(-3,\,2) ועובר דרך (1, −4)(1,\,-4). מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

y=ax+3+2y=a\sqrt{x+3}+2

מנקודת ההתחלה

−4=a4+2-4=a\sqrt{4}+2

הצבה

2a=−6⇒a=−3\begin{aligned}2a &= -6 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לחשוב ש-aa חייב להיות חיובי כי השורש חיובי. הגרף יורד מנקודת ההתחלה — ולכן a<0a<0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזו סדרת טרנספורמציות מעבירה את הגרף של y=xy=\sqrt{x} לגרף של y=4−x+1y=\sqrt{4-x}+1?

  1. שיקוף בציר ה-y, אחר כך הזזה שמאלה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
  2. שיקוף בציר ה-x, אחר כך הזזה ימינה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
  3. שיקוף בציר ה-y, אחר כך הזזה ימינה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
  4. הזזה ימינה ב-4, אחר כך שיקוף בציר ה-y, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שיקוף בציר ה-y, אחר כך הזזה ימינה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1

הפתרון:

4−x=−(x−4)\sqrt{4-x}=\sqrt{-(x-4)}

מוציאים מינוס מהסוגריים

x → −x → −(x−4)\sqrt{x}\ \rightarrow\ \sqrt{-x}\ \rightarrow\ \sqrt{-(x-4)}

שיקוף, ואחריו החלפת xx ב-x−4x-4: ימינה ב-4

x−4 → −x−4\sqrt{x-4}\ \rightarrow\ \sqrt{-x-4}

בסדר ההפוך (קודם ימינה ואז שיקוף) מתקבלת פונקציה אחרת

המלכודת: הסדר. «ימינה ב-4 ואז שיקוף בציר ה-yy» נותן −x−4\sqrt{-x-4}, שמוגדרת רק עבור x≤−4x\le -4. התשובה: שיקוף בציר ה-y, הזזה ימינה ב-4, ולמעלה ב-1 — הגרף יוצא מ-(4, 1)(4,\,1) שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

קבוצת הערכים של ff היא −2≤y≤6-2\le y\le 6. מהו הערך הגדול ביותר של g(x)=−12f(x+5)+1g(x)=-\frac{1}{2}f(x+5)+1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f(x+5): −2≤y≤6f(x+5):\ -2\le y\le 6

הזזה אופקית לא משנה את קבוצת הערכים

−12f: −3≤y≤1-\frac{1}{2}f:\ -3\le y\le 1

כפל במספר שלילי הופך את כיוון אי-השוויון

+1: −2≤y≤2+1:\ -2\le y\le 2

הזזה למעלה

המלכודת: להציב את הערך הגדול ביותר של ff, 6, ולקבל −12⋅6+1=−2-\frac{1}{2}\cdot 6+1=-2 — אבל זה הערך הקטן ביותר של gg. כפל במספר שלילי הופך את הסדר: המקסימום של gg מגיע מהמינימום של ff, −12⋅(−2)+1=2-\frac{1}{2}\cdot(-2)+1=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונות f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 ו-g(x)=x+1g(x)=x+1. הגרף של h=fgh=\frac{f}{g} הוא ישר שחסרה בו נקודה אחת. השלימו את הנקודה החסרה.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= -1 , y=y= -2

הפתרון:

g(x)≠0⇒x≠−1g(x)\neq 0 \Rightarrow x\neq -1

תחום ההגדרה

h(x)=(x−1)(x+1)x+1=x−1\begin{aligned}h(x) &= \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \\ &= x-1\end{aligned}

צמצום

x=−1: y=−1−1=−2\begin{aligned}x &= -1:\ y \\ &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה שהישר y=x−1y=x-1 היה עובר בה

המלכודת: להציב x=−1x=-1 בפונקציה המקורית — שם 00\frac{0}{0}. את גובה החור קוראים מהישר המצומצם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

האם ייתכן? קיימת פונקציה ff המוגדרת לכל xx, כך ש-1f\frac{1}{f} מוגדרת לכל xx, ולכל xx מתקיים (f(x))2<f(x)\left(f(x)\right)^2<f(x).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(x)=1x2+2f(x)=\frac{1}{x^2+2}

דוגמה

0<f(x)≤120<f(x)\le\frac{1}{2}

הערכים בין 0 ל-1, ואף פעם לא 0

1f(x)=x2+2\frac{1}{f(x)}=x^2+2

מוגדרת לכל xx

0<t<1⇒t2<t0<t<1 \Rightarrow t^2<t

ולכן הריבוע קטן מהערך

כן, ייתכן. מספיק ש-0<f(x)<10<f(x)<1 לכל xx. המלכודת: לחשוב שריבוע תמיד «מגדיל» — ולענות «לא» בלי לחפש דוגמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף של f
(2, −1)(1, 0)(3, 0)-1012345-2-112345xy

בשרטוט: הגרף של הפרבולה f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. מהי קבוצת הערכים של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}?

  1. y≠0y\neq 0
  2. y≥−1y\ge -1
  3. y≤−1y\le -1 או y>0y>0
  4. −1≤y<0-1\le y<0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y≤−1y\le -1 או y>0y>0

הפתרון:

f(x)≥−1f(x)\ge -1

הקדקוד (2,−1)(2,-1) הוא מינימום

−1≤f(x)<0⇒1f(x)≤−1-1\le f(x)<0 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}\le -1

ההופכי של מספר בין −1-1 ל-0

f(x)>0⇒1f(x)>0f(x)>0 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}>0

וכל ערך חיובי מתקבל — קרוב לאסימפטוטות גדול, רחוק מהן קרוב ל-0

המלכודת: לענות y≠0y\neq 0 כמו בהיפרבולה רגילה. הערכים בין −1-1 ל-0 לא מתקבלים, כי ff לא יורדת מתחת ל-−1-1. התשובה: y≤−1y\le -1 או y>0y>0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לגרף של y=a(x−p)3+ky=a(x-p)^3+k מרכז סימטריה (1, −2)(1,\,-2), והוא עובר דרך הנקודה (3, 14)(3,\,14). מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

y=a(x−1)3−2y=a(x-1)^3-2

ממרכז הסימטריה

14=a⋅23−214=a\cdot 2^3-2

הצבה

8a=16⇒a=2\begin{aligned}8a &= 16 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לחשב 23=62^3=6. וגם: מרכז סימטריה של חזקה אי-זוגית משחק את התפקיד של הקדקוד — ממנו קוראים pp ו-kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x, ונגדיר g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2. מיינו את הטענות.

  • נכונה
  • לא נכונה
  • g(−1)=3g(-1)=3
  • g(1)=1g(1)=1
  • g(3)=9g(3)=9
  • gg שלילית עבור 0<x<20<x<2
  • ל-gg נקודת מינימום ב-x=0x=0
  • ל-gg נקודת מינימום ב-x=1x=1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: g(1)=1g(1)=1 — נכונה · ל-gg נקודת מינימום ב-x=0x=0 — נכונה · g(3)=9g(3)=9 — נכונה · ל-gg נקודת מינימום ב-x=1x=1 — לא נכונה · g(−1)=3g(-1)=3 — לא נכונה · gg שלילית עבור 0<x<20<x<2 — לא נכונה

הפתרון:

f(1)=−1⇒g(1)=1\begin{aligned}f(1) &= -1 \Rightarrow g(1) \\ &= 1\end{aligned}

נכונה

f(0)=0⇒g(0)=0 מינימום\begin{aligned}f(0) &= 0 \Rightarrow g(0) \\ &= 0\ \text{מינימום}\end{aligned}

נכונה: g≥0g\ge 0

f(3)=3⇒g(3)=9\begin{aligned}f(3) &= 3 \Rightarrow g(3) \\ &= 9\end{aligned}

נכונה

x=1: ∣f(1)∣=1\begin{aligned}x &= 1:\ |f(1)| \\ &= 1\end{aligned}

שם ∣f∣|f| מקסימלי בקטע, ולכן לא נכונה: שם gg מקבלת מקסימום מקומי

f(−1)=3⇒g(−1)=9\begin{aligned}f(-1) &= 3 \Rightarrow g(-1) \\ &= 9\end{aligned}

לא נכונה

g≥0g\ge 0

לא נכונה: ריבוע אינו שלילי

המלכודת: להעתיק את המינימום של ff ב-x=1x=1 כמינימום של gg. שם f=−1f=-1, רחוק מאפס — ולכן זה מקסימום מקומי של f2f^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה g(x)=ax−p+kg(x)=\frac{a}{x-p}+k. הוכיחו שלכל t≠0t\neq 0 מתקיים g(p+t)+g(p−t)=2kg(p+t)+g(p-t)=2k, כלומר שהנקודה (p, k)(p,\,k) היא מרכז סימטריה של הגרף.

  • g(x)=ax−p+kg(x)=\frac{a}{x-p}+k
  • t≠0t\neq 0

g(p+t)+g(p−t)=2kg(p+t)+g(p-t)=2k

להציג את התשובה והפתרון
  1. g(p+t)=at+kg(p+t)=\frac{a}{t}+k — הצבת x=p+tx=p+t
  2. g(p−t)=−at+kg(p-t)=-\frac{a}{t}+k — הצבת x=p−tx=p-t
  3. g(p+t)+g(p−t)=2kg(p+t)+g(p-t)=2k — חיבור שתי השורות

הפתרון:

at+k−at+k=2k\frac{a}{t}+k-\frac{a}{t}+k=2k

השברים מבטלים זה את זה

המלכודת: לחשוב שצריך לדעת את aa. הביטול קורה לכל aa — ולכן כל היפרבולה מהמשפחה סימטרית סביב מפגש האסימפטוטות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת