סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בסדרה הזאת כבר לא קוראים תשובה מהנוסחה — מוצאים אותה: פרמטר לפי נקודה, פונקציה לפי שרטוט, קיצון של 1f\frac{1}{f} לפי הקדקוד של ff. ובסוף הוכחה אחת קצרה.

כשמחפשים פרמטר, קודם העיגון, אחר כך נקודה אחת. וכשמחפשים את הגרף של 1f\frac{1}{f} — קודם האפסים של ff, כי הם האסימפטוטות.

תרגילים

תרגיל 1

לפרבולה y=a(x−p)2+ky=a(x-p)^2+k קדקוד (2, −3)(2,\,-3), והיא עוברת דרך הנקודה (4, 5)(4,\,5). מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

y=a(x−2)2−3y=a(x-2)^2-3

מהקדקוד

5=a⋅22−35=a\cdot 2^2-3

הצבת הנקודה

4a=8⇒a=2\begin{aligned}4a &= 8 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לשכוח להעלות בריבוע ולקבל 2a=82a=8. (4−2)2=4(4-2)^2=4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הנקודה (6, 4)(6,\,4) נמצאת על הגרף של y=f(x)y=f(x). נגדיר g(x)=f(2x)−1g(x)=f(2x)-1. איזו נקודה נמצאת על הגרף של gg?

  1. (6, 3)(6,\,3)
  2. (12, 3)(12,\,3)
  3. (3, 3)(3,\,3)
  4. (3, 5)(3,\,5)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (3, 3)(3,\,3)

הפתרון:

2x=6⇒x=3\begin{aligned}2x &= 6 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

כדי ש-ff תקבל את הקלט 6

g(3)=f(6)−1=3\begin{aligned}g(3) &= f(6)-1 \\ &= 3\end{aligned}

הגובה יורד ב-1

המלכודת: לכפול את xx ב-2 ולקבל 12. בפנים הכפל מכווץ — מחלקים. התשובה: (3, 3)(3,\,3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לגרף של y=ax−p+ky=\frac{a}{x-p}+k אסימפטוטות x=1x=1 ו-y=−2y=-2, והוא חותך את ציר ה-xx בנקודה (−1, 0)(-1,\,0). מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

y=ax−1−2y=\frac{a}{x-1}-2

מהאסימפטוטות

0=a−2−20=\frac{a}{-2}-2

הצבת (−1,0)(-1,0)

a=−4a=-4

פתרון

המלכודת: לטעות בסימן של המכנה: −1−1=−2-1-1=-2, לא 00 ולא 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גרף מהמשפחה a/(x−p)+k
x = −1y = 2(0, 5)-5-4-3-2-101234-3-2-112345678xy

בשרטוט: גרף מהמשפחה y=ax−p+ky=\frac{a}{x-p}+k ושתי האסימפטוטות שלו. הגרף עובר דרך הנקודה (0, 5)(0,\,5). מהי הפונקציה?

  1. y=3x+1−2y=\frac{3}{x+1}-2
  2. y=−3x+1+2y=\frac{-3}{x+1}+2
  3. y=3x−1+2y=\frac{3}{x-1}+2
  4. y=3x+1+2y=\frac{3}{x+1}+2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד y=3x+1+2y=\frac{3}{x+1}+2

הפתרון:

x=−1⇒p=−1\begin{aligned}x &= -1 \Rightarrow p \\ &= -1\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית

y=2⇒k=2\begin{aligned}y &= 2 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

אסימפטוטה אופקית

5=a0+1+2⇒a=3\begin{aligned}5 &= \frac{a}{0+1}+2 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

הצבת הנקודה

המלכודת: לכתוב x−1x-1 עבור אסימפטוטה ב-−1-1, או לקבל aa שלילי. הענפים מימין-למעלה ומשמאל-למטה — a>0a>0. התשובה: y=3x+1+2y=\frac{3}{x+1}+2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x, ונגדיר g(x)=f(x+3)−2g(x)=f(x+3)-2. מהו שיעור ה-xx של קדקוד הפרבולה gg?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f(x)=(x−2)2−4f(x)=(x-2)^2-4

קדקוד ff: (2, −4)(2,\,-4)

x+3x+3

השינוי הפנימי: שמאלה ב-33

2−3=−12-3=-1

ה-xx של הקדקוד

(2,−4)→(−1, −6)(2,-4)\rightarrow(-1,\,-6)

והגובה ירד ב-2

המלכודת: להזיז ימינה ל-5. אפשר גם לפתוח סוגריים — אבל מעקב אחרי הקדקוד מהיר ובטוח יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אם ff אי-זוגית, אז הגרף של g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2 סימטרי ביחס לציר ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

g(−x)=(f(−x))2g(-x)=\left(f(-x)\right)^2

הגדרת gg

f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)

ff אי-זוגית

(−f(x))2=(f(x))2=g(x)\begin{aligned}\left(-f(x)\right)^2 &= \left(f(x)\right)^2 \\ &= g(x)\end{aligned}

ריבוע מוחק את המינוס

הטענה נכונה: gg זוגית. המלכודת: לחשוב שהריבוע של פונקציה אי-זוגית נשאר אי-זוגי. דוגמה: (x3)2=x6(x^3)^2=x^6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x2−2x−8f(x)=x^2-2x-8, ונגדיר g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. השלימו.

האסימפטוטות האנכיות של gg הן x=x= ____ (הקטנה) ו-x=x= ____ (הגדולה), ונקודת הקיצון של gg ביניהן היא ב-x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האסימפטוטות האנכיות של gg הן x=x= -2 (הקטנה) ו-x=x= 4 (הגדולה), ונקודת הקיצון של gg ביניהן היא ב-x=x= 1

הפתרון:

f(x)=(x−4)(x+2)f(x)=(x-4)(x+2)

האפסים של ff

x=−2+42=1\begin{aligned}x &= \frac{-2+4}{2} \\ &= 1\end{aligned}

הקדקוד של ff באמצע בין האפסים

f(1)=−9⇒g(1)=−19\begin{aligned}f(1) &= -9 \Rightarrow g(1) \\ &= -\frac{1}{9}\end{aligned}

מינימום של ff, ולכן מקסימום של gg

המלכודת: לחפש את הקיצון של gg במקום אחר. הקיצון של 1f\frac{1}{f} נמצא באותו xx כמו הקיצון של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונות f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2} ו-g(x)=2−xg(x)=\sqrt{2-x}. מהו תחום ההגדרה של f⋅gf\cdot g?

  1. −2≤x≤2-2\le x\le 2
  2. כל xx
  3. −2<x<2-2<x<2
  4. x≥−2x\ge -2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −2≤x≤2-2\le x\le 2

הפתרון:

x≥−2x\ge -2

התחום של ff

x≤2x\le 2

התחום של gg

−2≤x≤2-2\le x\le 2

החיתוך

המלכודת: להשמיט את הקצוות ולענות −2<x<2-2<x<2, או לקחת את התחום של אחת הפונקציות בלבד. ב-x=±2x=\pm 2 שני השורשים מוגדרים, והמכפלה שווה ל-0. התשובה: −2≤x≤2-2\le x\le 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

באיזה xx חותך הגרף של y=−(x+1)3+8y=-(x+1)^3+8 את ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

(x+1)3=8(x+1)^3=8

מבודדים את החזקה

x+1=2x+1=2

שורש שלישי יחיד

x=1x=1

בדיקה: −(2)3+8=0-(2)^3+8=0 ✓

המלכודת: לחפש שני פתרונות ±\pm. לחזקה שלישית פתרון אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה פונקציה זוגית ff המוגדרת לכל xx, ונגדיר g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3). הוכיחו שלכל tt מתקיים g(3+t)=g(3−t)g(3+t)=g(3-t), כלומר שהגרף של gg סימטרי ביחס לישר x=3x=3.

  • f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) לכל xx
  • g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3)

g(3+t)=g(3−t)g(3+t)=g(3-t)

להציג את התשובה והפתרון
  1. g(3+t)=f(t)g(3+t)=f(t) — הצבת x=3+tx=3+t בהגדרת gg
  2. g(3−t)=f(−t)g(3-t)=f(-t) — הצבת x=3−tx=3-t בהגדרת gg
  3. f(−t)=f(t)f(-t)=f(t) — ff זוגית
  4. g(3−t)=f(t)g(3-t)=f(t) — הצבה
  5. g(3+t)=g(3−t)g(3+t)=g(3-t) — שני הביטויים שווים ל-f(t)f(t)

הפתרון:

g(3±t)=f(±t)=f(t)\begin{aligned}g(3\pm t) &= f(\pm t) \\ &= f(t)\end{aligned}

שרשרת אחת

המלכודת: להציב x=tx=t. ציר הסימטריה זז יחד עם הגרף — ל-x=3x=3 — ולכן מציבים סביב 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת