סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עכשיו כל שאלה מחברת שני צעדים: הזזה ומתיחה יחד, תחום של שורש שיושב במכנה, קבוצת ערכים ולא רק אסימפטוטה. מומלץ לכתוב כל צעד בשורה נפרדת.

שאלות «תחום» ו«קבוצת ערכים» מתבלבלות בקלות. תחום — אילו xx מותר להציב. קבוצת ערכים — אילו yy יוצאים. אסימפטוטה אנכית שייכת לראשונה, אופקית לשנייה.

תרגילים

תרגיל 1

תארו את הגרף של y=3x+1−2y=3\sqrt{x+1}-2 ביחס לגרף של y=xy=\sqrt{x}.

  1. שמאלה ב-1, מתיחה אנכית פי 3, למטה ב-2
  2. שמאלה ב-1, כיווץ פי 3, למטה ב-2
  3. שמאלה ב-3, למטה ב-2
  4. ימינה ב-1, מתיחה אנכית פי 3, למטה ב-2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שמאלה ב-1, מתיחה אנכית פי 3, למטה ב-2

הפתרון:

x+1x+1

בפנים: שמאלה ב-1

3⋅3\cdot

בחוץ: מתיחה אנכית פי 3

−2-2

בחוץ: למטה ב-2

(0,0)→(−1, −2)(0,0)\rightarrow(-1,\,-2)

נקודת ההתחלה

המלכודת: לקרוא את ה-3 כהזזה. מקדם שכופל את הפונקציה מותח; הוא לא מזיז. התשובה: שמאלה ב-1, מתיחה פי 3, למטה ב-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הנקודה (−2, 6)(-2,\,6) נמצאת על הגרף של y=f(x)y=f(x). נגדיר g(x)=12f(x+1)g(x)=\frac{1}{2}f(x+1). השלימו את הנקודה המתאימה על הגרף של gg.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= -3 , y=y= 3

הפתרון:

x+1=−2⇒x=−3\begin{aligned}x+1 &= -2 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

כדי ש-ff תקבל את הקלט −2-2

12⋅6=3\frac{1}{2}\cdot 6=3

הגובה מתכווץ פי 2

המלכודת: להציב x=−2+1=−1x=-2+1=-1. פותרים x+1=−2x+1=-2 — פלוס בפנים מזיז שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי קבוצת הערכים של y=4x+2−1y=\frac{4}{x+2}-1?

  1. y>−1y>-1
  2. x≠−2x\neq -2
  3. y≠−2y\neq -2
  4. y≠−1y\neq -1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד y≠−1y\neq -1

הפתרון:

4x+2≠0\frac{4}{x+2}\neq 0

המונה 4 לא מתאפס

y≠−1y\neq -1

כל ערך חוץ מ-kk

המלכודת: לענות x≠−2x\neq -2 — זה תחום ההגדרה, לא קבוצת הערכים. או לחשוב שכל הגרף מעל האסימפטוטה. התשובה: y≠−1y\neq -1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הערך הקטן ביותר שמקבלת הפונקציה y=2(x−3)4−5y=2(x-3)^4-5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

(x−3)4≥0(x-3)^4\ge 0

חזקה זוגית

2(x−3)4−5≥−52(x-3)^4-5\ge -5

והשוויון מתקבל ב-x=3x=3

המלכודת: לענות 3 — זה ה-xx של הקדקוד. הערך הקטן ביותר הוא הגובה, k=−5k=-5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=−x−2+3f(x)=-\sqrt{x-2}+3. השלימו.

נקודת ההתחלה של הגרף היא x=x= ____ , y=y= ____ , והגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודת ההתחלה של הגרף היא x=x= 2 , y=y= 3 , והגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=x= 11

הפתרון:

p=2 k=3\begin{aligned}p &= 2 \\ \ k &= 3\end{aligned}

נקודת ההתחלה

x−2=3\sqrt{x-2}=3

חיתוך עם ציר ה-xx

x−2=9⇒x=11\begin{aligned}x-2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= 11\end{aligned}

מעלים בריבוע

המלכודת: לכתוב x−2=3x-2=3 ולשכוח להעלות בריבוע. בדיקה: −9+3=0-\sqrt{9}+3=0 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו תחום ההגדרה של h(x)=x+13−xh(x)=\frac{x+1}{\sqrt{3-x}}?

  1. x≤3x\le 3
  2. x≠3x\neq 3
  3. x<3x<3
  4. x>−1x>-1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x<3x<3

הפתרון:

3−x≥03-x\ge 0

השורש מוגדר

3−x≠0⇒x≠3\sqrt{3-x}\neq 0 \Rightarrow x\neq 3

המכנה אינו אפס

x<3x<3

יחד

המלכודת: לענות x≤3x\le 3 ולשכוח שהשורש יושב במכנה. ב-x=3x=3 מחלקים באפס. התשובה: x<3x<3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מיינו את הפונקציות: זוגיות או אי-זוגיות.

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • y=1xy=\frac{1}{x}
  • y=3x2y=\frac{3}{x^2}
  • y=∣x∣y=|x|
  • y=x3−xy=x^3-x
  • y=x4+2y=x^4+2
  • y=x5y=x^5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=x4+2y=x^4+2 — זוגית · y=x3−xy=x^3-x — אי-זוגית · y=∣x∣y=|x| — זוגית · y=1xy=\frac{1}{x} — אי-זוגית · y=x5y=x^5 — אי-זוגית · y=3x2y=\frac{3}{x^2} — זוגית

הפתרון:

(−x)4+2=x4+2(-x)^4+2=x^4+2

זוגית

(−x)3−(−x)=−(x3−x)(-x)^3-(-x)=-(x^3-x)

אי-זוגית

∣−x∣=∣x∣|-x|=|x|

זוגית

1−x=−1x\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}

אי-זוגית

(−x)5=−x5(-x)^5=-x^5

אי-זוגית

3(−x)2=3x2\frac{3}{(-x)^2}=\frac{3}{x^2}

זוגית

המלכודת: x3−xx^3-x. יש בה שני איברים, אבל שניהם בחזקה אי-זוגית — ולכן היא אי-זוגית. x4+2x^4+2 זוגית למרות הקבוע: קבוע הוא «חזקה אפס».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x2−9f(x)=x^2-9. כמה אסימפטוטות אנכיות יש לגרף של 1f(x)\frac{1}{f(x)}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2−9=0⇒x=±3\begin{aligned}x^2-9 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

האפסים של ff

x=−3x=3\begin{aligned}x &= -3 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

אסימפטוטה בכל אפס

המלכודת: לפתור x2=9x^2=9 ולקחת רק x=3x=3. לריבוע שני שורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אם ff מוגדרת עבור x=ax=a, אז גם f+gf+g מוגדרת עבור x=ax=a.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=xg(x)=x\begin{aligned}f(x) &= x \\ \quad g(x) &= \sqrt{x}\end{aligned}

דוגמה נגדית

a=−1: f(−1)=−1\begin{aligned}a &= -1:\ f(-1) \\ &= -1\end{aligned}

אבל g(−1)g(-1) לא מוגדרת, ולכן הסכום לא מוגדר

הטענה אינה נכונה. הסכום צריך את שתי הפונקציות. המלכודת: לבדוק רק את ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

תלמיד תיאר את הפרבולה y=−(x−4)2+1y=-(x-4)^2+1. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

y=−(x−4)2+1y=-(x-4)^2+1
x−4 ⇒ הזזה ימינה ב-4x-4\ \Rightarrow\ \text{הזזה ימינה } \text{ב-}4
הקדקוד: (−4, 1)\text{הקדקוד: }(-4,\,1)
a<0 ⇒ הקדקוד נקודת מקסימוםa<0\ \Rightarrow\ \text{הקדקוד נקודת מקסימום}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקדקוד: (−4, 1)\text{הקדקוד: }(-4,\,1) → הקדקוד: (4, 1)\text{הקדקוד: }(4,\,1)

הפתרון:

x−4=0⇒x=4\begin{aligned}x-4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

הקדקוד ב-x=4x=4, כמו שהשורה הקודמת אמרה

המלכודת: להפוך את הסימן פעמיים — פעם בהזזה ופעם בקדקוד. אם הגרף זז ימינה ב-4, הקדקוד ב-x=4x=4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת