הזזות ומתיחות של פונקציות · טרנספורמציות ופעולות על פונקציות · כיתה י׳

כל הפרק הזה נשען על רעיון אחד: לא מציירים גרף חדש — מזיזים גרף מוכר. מי שיודע איך נראית $y = x^2$ , יודע גם איך נראית $y = (x-3)^2 + 2$ , בלי לחשב אפילו נקודה אחת. בפרק נכיר שלושה סוגי שינויים: הזזה, מתיחה ושיקוף — ואחר כך נחבר, נכפול ונחלק פונקציות זו בזו.

הפרבולה המקורית והפרבולה המוזזת

y = x²
y = (x − 3)² + 2

הקדקוד עבר מ-

(0,0)

ל-

(3,2)

, וכל נקודה אחרת עברה בדיוק באותה הזזה: 3 ימינה ו-2 למעלה. הצורה עצמה לא השתנתה.

שינוי מחוץ לפונקציה — אנכי, וכצפוי

כשמשנים את התוצאה, הגרף זז אנכית, ובדיוק לכיוון שכתוב. פלוס — למעלה. כפול 2 — נמתח למעלה. מינוס בחוץ — נהפך.

f(x) + q

הזזה למעלה ב- $q$ (ולמטה אם $q$ שלילי).

a \cdot f(x)

מתיחה אנכית פי $a$ . נקודות על ציר ה- $x$ נשארות במקומן.

-f(x)

שיקוף בציר ה- $x$ .

שינוי בתוך הפונקציה — אופקי, והפוך

כשנוגעים ב- $x$ עצמו, הגרף זז אופקית — ולכיוון ההפוך מהסימן. זו הטעות מספר אחת של הפרק, ושווה להבין אותה פעם אחת לתמיד.

הגרף של $y = (x-3)^2$ — לאיזה כיוון הוא זז ביחס ל- $y = x^2$ , ולמה?

להציג את התשובה והפתרון

ימינה ב-3. הפרבולה $y = x^2$ מגיעה לאפס כאשר $x = 0$ ; הפרבולה $y = (x-3)^2$ מגיעה לאפס רק כאשר $x = 3$ — כלומר מאוחר יותר. הקדקוד עבר ימינה, למרות המינוס.

זה ההסבר כולו: כדי שהסוגריים ייתנו את אותו ערך כמו קודם, צריך להציב $x$ גדול יותר ב-3. הגרף «מחכה» שלוש יחידות לפני שהוא עושה מה שעשה — ולכן הוא מימין.

f(x - p)

הזזה ימינה ב- $p$ — למרות המינוס.

f(-x)

שיקוף בציר ה- $y$ .

למה דווקא $\sqrt{x}$ ולא פרבולה? כי $y = x^2$ סימטרית ביחס לציר ה- $y$ , ולכן השיקוף בציר ה- $y$ לא משנה בה כלום. אי אפשר ללמוד טרנספורמציה מדוגמה שבה לא רואים אותה. לחצו על $x^2$ בסוף, כשהכלל כבר ברור.

מתיחה וכיווץ אופקיים — מה שחסר עד כאן

ראינו ש- $a \cdot f(x)$ מותח לגובה. אבל אפשר גם להכפיל את $x$ בתוך הפונקציה, ואז קורה משהו אחר לגמרי.

f(2x)

הגרף מתכווץ לרוחב פי 2 — הכפל מקטין.

f\left(\tfrac{x}{2}\right)

הגרף נמתח לרוחב פי 2 — החילוק מגדיל.

למה הפוך? כי כדי להגיע לאותו ערך של הפונקציה, מספיק חצי מה- $x$ : מה ש- $f$ נתנה ב- $x=4$ , הפונקציה $f(2x)$ נותנת כבר ב- $x=2$ . הגרף מגיע לשם מוקדם יותר, ולכן נראה צר יותר.

שני הזוגות שמתבלבלים

שבע מתוך תשע הצורות מתנחשות לבד. שתיים לא — ותמיד אותן שתיים. שווה לראות כל זוג בבת אחת, על אותו גרף.

f(x+3) \ \ \text{מול} \ \ f(x)+3

אותו פלוס: אחד מזיז שמאלה, השני למעלה.

f(2x) \ \ \text{מול} \ \ 2f(x)

אותו כפל: אחד מכווץ לרוחב, השני מותח לגובה.

כלל אחד לזכור במקום ארבעה: מה שבחוץ קורה כצפוי, מה שבפנים קורה הפוך. פלוס בחוץ מעלה; פלוס בפנים מזיז שמאלה. כפל בחוץ מותח; כפל בפנים מכווץ.

הנקודה $(2,\, 7)$ נמצאת על הגרף של $y = f(x)$ . לאן היא עוברת בגרף של $y = f(2x)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ל- $(1,\, 7)$ . הגובה לא משתנה — נגענו ב- $x$ בלבד. כדי שהפונקציה תקבל את אותו $2$ שבפנים, צריך $x = 1$ . הנקודה מתקרבת לציר, ולכן הגרף מתכווץ.

ואותה נקודה $(2,\, 7)$ — לאן היא עוברת בגרף של $y = 2f(x)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ל- $(2,\, 14)$ . הפעם ה- $x$ לא זז והגובה מוכפל. שני שינויים שנראים זהים על הנייר, ושתי נקודות שונות לגמרי.

הרכבה — ובאיזה סדר

בביטוי $y = a \cdot f(x - p) + q$ יש שלוש טרנספורמציות יחד. הסדר שבו קוראים אותן הוא הסדר שבו מחשבים: קודם מה שקורה ל- $x$ , אחר כך הכפל, ולבסוף החיבור.

לקרוא גרף בלי לחשב

תארו את $y = -2\sqrt{x - 1} + 3$ ביחס ל- $y = \sqrt{x}$ .

x - 1

הזזה ימינה ביחידה אחת

\times 2

מתיחה אנכית פי 2

-

שיקוף בציר ה- $x$

+ 3

והזזה למעלה ב-3

(1,\, 3)

ולכן נקודת ההתחלה עברה מ- $(0,\,0)$ לכאן

שימו לב לשלב האחרון: נקודה מיוחדת אחת מספיקה. אם ידועה נקודת ההתחלה של הפונקציה המקורית, הטרנספורמציות אומרות לאן היא הלכה — וזה כל מה שצריך כדי לשרטט.

שתי הטעויות של הפרק.

f(x - 3) \ \rightarrow \ \text{שמאלה}

\rightarrow \ \text{ימינה}

בתוך הפונקציה הכיוון הפוך לסימן. מחוץ לה — כרגיל.

-f(x) = f(-x)

-f(x) \neq f(-x)

שני שיקופים שונים: מינוס בחוץ משקף בציר ה- $x$ ; מינוס בפנים משקף בציר ה- $y$ . רק בפונקציה אי-זוגית התוצאה במקרה שווה.

הגרף של $y = f(x-3) + 2$ ביחס ל- $y = f(x)$ — לאן זז?

להציג את התשובה והפתרון

3 ימינה ו-2 למעלה. בתוך הסוגריים הכיוון הפוך לסימן; מחוץ להן — כמו הסימן.

תרגילים

תרגיל 1

לאיזה כיוון זז הגרף של $y = (x - 4)^2$ ביחס ל- $y = x^2$ ?

למטה ב-4
שמאלה ב-4
למעלה ב-4
ימינה ב-4

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ימינה ב-4

הפתרון:

y=x^2:\ \text{קדקוד } (0,0)

הפונקציה המקורית מתאפסת ב- $x=0$

\begin{aligned}(x-4)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

הפונקציה החדשה מתאפסת רק ב- $x=4$

(0,0)\ \rightarrow\ (4,0)

הקדקוד עבר ימינה ב-4

המלכודת: המינוס שבתוך הסוגריים. בתוך הפונקציה הכיוון הפוך לסימן — $x-4$ מזיז ימינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הגרף של $y = 3f(x)$ ביחס ל- $y = f(x)$ :

נמתח אופקית
נמתח אנכית, ונקודות על ציר ה- $x$ לא זזות
זז 3 למעלה
זז 3 ימינה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב נמתח אנכית, ונקודות על ציר ה- $x$ לא זזות

הפתרון:

g(x)=3f(x)

כל ערך $y$ מוכפל ב-3, ה- $x$ לא משתנה

\begin{aligned}f(x_0) &= 0 \Rightarrow g(x_0) \\ &= 3\cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

נקודות על ציר ה- $x$ נשארות במקומן

המלכודת: לבלבל בין $3f(x)$ (מתיחה אנכית) לבין $f(x)+3$ (הזזה למעלה). בכפל, אפס נשאר אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

תארו את $y = -\sqrt{x + 2}$ ביחס ל- $y = \sqrt{x}$ .

ימינה ב-2, ושיקוף בציר ה- $y$
שמאלה ב-2, ושיקוף בציר ה- $x$
שמאלה ב-2 בלבד
למטה ב-2, ושיקוף

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שמאלה ב-2, ושיקוף בציר ה- $x$

הפתרון:

\sqrt{x}\ \rightarrow\ \sqrt{x+2}

פלוס בפנים — הזזה שמאלה ב-2

\sqrt{x+2}\ \rightarrow\ -\sqrt{x+2}

מינוס בחוץ — שיקוף בציר ה- $x$

(0,0)\ \rightarrow\ (-2,0)

נקודת ההתחלה, והגרף יורד ממנה

המלכודת: לחשוב שהמינוס שבחוץ משקף בציר ה- $y$ . מינוס בחוץ הופך את הגובה, לא את הצד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגרף של $y = f(x+3)$ ביחס ל- $y = f(x)$ — לאן זז?

3 יחידות למטה
3 יחידות שמאלה
3 יחידות למעלה
3 יחידות ימינה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 3 יחידות שמאלה

הפתרון:

\begin{aligned}x &= -3:\ \ f(x+3) \\ &= f(0)\end{aligned}

מה ש- $f$ עשתה ב-0, $g$ עושה כבר ב- $-3$

(0,\,f(0))\ \rightarrow\ (-3,\,f(0))

כל נקודה זזה 3 שמאלה

המלכודת: «פלוס זה ימינה». בתוך הפונקציה הכיוון הפוך לסימן — פלוס מזיז שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הגרף של $y = f(2x)$ ביחס ל- $y = f(x)$ —

נמתח לגובה פי 2
זז 2 ימינה
נמתח לרוחב פי 2
מתכווץ לרוחב פי 2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מתכווץ לרוחב פי 2

הפתרון:

g(x)=f(2x)

שינוי בתוך הפונקציה

g(2)=f(4)

הערך ש- $f$ מקבלת ב-4 מתקבל ב- $g$ כבר ב-2

(4,\,f(4))\ \rightarrow\ (2,\,f(4))

כל $x$ מתחלק ב-2 — הגרף מתכווץ לרוחב

המלכודת: לחשוב שכפל ב-2 תמיד «מגדיל». בתוך הפונקציה הכפל מכווץ לרוחב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו קדקוד הפרבולה $y = (x+4)^2 - 5$ ?

$(-4,\, -5)$
$(-4,\, 5)$
$(4,\, 5)$
$(4,\, -5)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $(-4,\, -5)$

הפתרון:

y=x^2:\ (0,0)

הקדקוד של הפרבולה הבסיסית

x+4

שמאלה ב- $4$ : שינוי פנימי — הפוך לסימן

-5

למטה ב- $5$ : שינוי חיצוני — כמו הסימן

(0,0)\ \rightarrow\ (-4,\,-5)

הקדקוד

המלכודת: לקרוא את שני הסימנים באותו אופן. $+4$ בפנים נותן $x=-4$ , ו- $-5$ בחוץ נותן $y=-5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון $g(x) = f(x-3) + 2$ , והנקודה $(1,\, 4)$ על $y = f(x)$ . מהו ה- $x$ של הנקודה המתאימה על $g$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

g(x)=f(x-3)+2

שינוי פנימי ושינוי חיצוני

\begin{aligned}x-3 &= 1 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

כדי ש- $f$ תקבל את הקלט 1

\begin{aligned}g(4) &= f(1)+2 \\ &= 4+2 \\ &= 6\end{aligned}

והגובה עולה ב-2

(1,4)\ \rightarrow\ (4,6)

הנקודה המתאימה

המלכודת: להציב $x=1-3=-2$ . כדי לקבל $f(1)$ צריך לפתור $x-3=1$ , ולכן $x$ גדל ב-3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הנקודה $(2,\,7)$ נמצאת על הגרף של $y=f(x)$ . התאימו לכל פונקציה את הנקודה המתאימה על הגרף שלה.

$y=f(x-2)$
$y=f(x)-2$
$y=2f(x)$
$y=f(2x)$

$(1,\,7)$
$(2,\,14)$
$(2,\,5)$
$(4,\,7)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=f(x-2)$ — $(4,\,7)$ · $y=f(x)-2$ — $(2,\,5)$ · $y=2f(x)$ — $(2,\,14)$ · $y=f(2x)$ — $(1,\,7)$

הפתרון:

\begin{aligned}x-2 &= 2 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

$f(x-2)$ : ימינה ב-2

7-2=5

$f(x)-2$ : למטה ב-2

2\cdot 7=14

$2f(x)$ : הגובה מוכפל

\begin{aligned}2x &= 2 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

$f(2x)$ : ה- $x$ מתחלק ב-2

המלכודת: שינוי בפנים משנה רק את $x$ , ושינוי בחוץ משנה רק את $y$ — אף פעם לא את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודה $(4,\,5)$ נמצאת על הגרף של $y=f(x)$ . נתונה $g(x)=-2f(x-1)+3$ . מהו שיעור ה- $y$ של הנקודה המתאימה על הגרף של $g$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

\begin{aligned}x-1 &= 4 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

קודם מה שקורה ל- $x$ : ימינה ב-1

\begin{aligned}-2\cdot f(4) &= -2\cdot 5 \\ &= -10\end{aligned}

מתיחה פי 2 ושיקוף בציר ה- $x$

-10+3=-7

ולבסוף הזזה למעלה ב-3

(4,5)\ \rightarrow\ (5,\,-7)

הנקודה המתאימה

המלכודת: הסדר. קודם כופלים ב- $-2$ ורק אחר כך מוסיפים 3. $-2\cdot(5+3)=-16$ היא טעות סדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f$ כלשהי, ונקודה $(a,\, b)$ על הגרף שלה. הוכיחו שהנקודה $(a-3,\, b)$ נמצאת על הגרף של $y = f(x+3)$ — כלומר שהגרף זז שמאלה.

$(a,\, b)$ נמצאת על $y = f(x)$ , כלומר $f(a) = b$
$g(x) = f(x+3)$

$g(a-3) = b$

להציג את התשובה והפתרון

$f(a) = b$ — נתון — הנקודה נמצאת על גרף $f$
$g(a-3) = f\left((a-3)+3\right)$ — הצבת $x = a-3$ בהגדרת $g$
$(a-3)+3 = a$ — כינוס איברים
$g(a-3) = f(a)$ — הצבת הפישוט בתוך הסוגריים
$g(a-3) = b$ — הצבת הנתון $f(a) = b$ — והנקודה אכן זזה שמאלה ב-3

הפתרון:

f(a)=b

הנתון

\begin{aligned}g(a-3) &= f\left((a-3)+3\right) \\ &= f(a) \\ &= b\end{aligned}

הצבה בהגדרת $g$

המלכודת: להציב $a+3$ . כדי שבתוך $f$ יתקבל $a$ , צריך להציב $x=a-3$ — ולכן הגרף זז שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שינוי מחוץ לפונקציה — אנכי, וכצפוי

שינוי בתוך הפונקציה — אופקי, והפוך

מתיחה וכיווץ אופקיים — מה שחסר עד כאן

שני הזוגות שמתבלבלים

הרכבה — ובאיזה סדר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev